适用于新教材2024版高考数学一轮总复习第八章立体几何与空间向量课时规范练35空间点直线平面之间的位置关系北师大版

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课时规范练35
基础巩固组
1.如图所示,α∩β=l,A∈α,B∈α,AB∩l=D,C∈β,C∉l,则平面ABC与平面β的交线是(　　)

A.直线AC
B.直线AB
C.直线CD
D.直线BC
答案:C
解析:由题意知,D∈l,l⊂β,∴D∈β.又D∈AB,∴D∈平面ABC,即点D在平面ABC与平面β的交线上.又C∈平面ABC,C∈β,∴点C在平面ABC与平面β的交线上,∴平面ABC∩平面β=CD.故选C.
2.如图所示,在空间四边形ABCD中,E,H分别是边AB,AD的中点,F,G分别是边BC,CD上的点,且,则下列说法正确的是(　　)

①E,F,G,H四点共面　②EF与GH异面③EF与GH的交点M可能在直线AC上,也可能不在直线AC上　④EF与GH的交点M一定在直线AC上
A.①③ B.①④
C.②③ D.②④
答案:B
解析:在空间四边形ABCD中,E,H分别是边AB,AD的中点,则EH∥BD,且EH=BD,F,G分别是边BC,CD上的点,且,则FG∥BD,且FG=BD,因此FG∥EH,点E,F,G,H四点共面,故①正确,②错误;FG∥EH,FG>EH,即四边形EFGH是梯形,则EF与GH必相交,令交点为M,点M在EF上,而EF在平面ACB上,则点M在平面ACB上,同理点M在平面ACD上,则点M是平面ACB与平面ACD的公共点,而AC是平面ACB与平面ACD的交线,所以点M一定在直线AC上,故④正确,③错误.
3.如图所示,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠BCA=60°,M,N分别是A1C1,CC1的中点,BC=CA=CC1,则BN与AM所成角的余弦值为(　　)

A. B.
C. D.
答案:A
解析:取BB1的中点Q,AC的中点P,连接C1Q,PQ,C1P,则BN∥C1Q,AM∥C1P,∴∠QC1P为BN与AM所成角.由题可知直三棱柱ABC-A1B1C1为正棱柱,设BC=2,则AM=BN=,PQ=2,在△PQC1中,可得cos∠PC1Q=,∴BN与AM所成角的余弦值为.

4.(多选)(2023·江苏南京一中高三检测)在四面体ABCD中,M,N,P,Q,E分别为AB,BC,CD,AD,AC的中点,则下列说法正确的是(　　)

A.M,N,P,Q四点共面
B.∠QME=∠CBD
C.△BCD∽△MEQ
D.四边形MNPQ为梯形
答案:ABC
解析:对于A,易知MQ∥BD,NP∥BD,则MQ∥NP,所以M,N,P,Q四点共面,故A正确;对于B,根据等角定理,得∠QME=∠CBD,故B正确;对于C,由等角定理,知∠QME=∠CBD,∠QEM=∠BCD,所以△BCD∽△MEQ,故C正确;对于D,易知MQ∥BD,MQ=BD,NP∥BD,NP=BD,所以MQ∥NP,MQ=NP,所以四边形MNPQ为平行四边形,故D不正确.故选ABC.
5.三条不同的直线a,b,c,若a∥b,c与a,b都相交,则a,b,c三条直线能确定的平面的个数是　　　　　. 
答案:1
解析:由直线a∥b,可得直线a,b可以唯一确定一个平面,设该平面为α.设a∩c=A,b∩c=B,可得A∈α,B∈α.因为A∈c,B∈c,所以c⊂α.所以a,b,c三条直线能确定的平面的个数是1.
综合提升组
6.若∠AOB=∠A'O'B',OA∥O'A',且OA与O'A'的方向相同,则OB与O'B'(　　)
A.一定平行且方向相同
B.一定平行且方向相反
C.一定不平行
D.不一定平行
答案:D
解析:如图, 若∠AOB=∠A'O'B',OA∥O'A',且OA与O'A'的方向相同,则OB与O'B'不一定平行.

7.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=1,DD1中点为Q,则过A,Q,B1三点的截面面积为　　　　　. 

答案:
解析:如图所示,取C1D1的中点P,连接PQ,PB1,AB1,AQ和DC1.∵P,Q分别是C1D1,DD1的中点,∴PQ∥C1D,且PQ=C1D.∵AB1∥C1D,∴PQ∥AB1,PQ=AB1.∴四边形AB1PQ是过A,Q,B1三点的截面,且四边形AB1PQ是梯形.∵AB=1,∴AB1=,PQ=,AQ=PB1=,且等腰梯形AB1PQ的高为.∴截面面积为××.

创新应用组
8.(2023·河南安阳高三开学考试)一封闭的正方体容器ABCD-A1B1C1D1,P,Q,R分别是AB,BC和C1D1的中点,由于某种原因,P,Q,R处各有一个小洞,当此容器内存水的表面恰好经过这三个小洞时,容器中水的上表面形状是(　　)
A.三角形 B.四边形
C.五边形 D.六边形
答案:D
解析:如图,设过P,Q,R三点的平面为平面α.分别取A1D1,A1A,CC1的中点F,E,M,连接RF,FE,EP,PQ,QM,MR,EM,QF,RP.易知RF∥PQ,所以F∈平面α.又RP∥MQ,所以M∈平面α.又EF∥RP,所以E∈平面α.所以过P,Q,R三点的平面为六边形RFEPQM.故容器中水的上表面的形状是六边形.