北京石景山区华奥学校2022--2023学年八年级下学期期末数学试卷（含答案）

这是一份北京石景山区华奥学校2022--2023学年八年级下学期期末数学试卷（含答案），共12页。试卷主要包含了选择题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共8小题；共40分）
1. 下列方程中，关于 x 的一元二次方程是
A. 3x+12=2x+1B. 1x2+1x-2=0
C. ax2+bx+c=0D. x2+2x=x2-1

2. 如图将 1，2，3，6 按下列方式排列．若规定 m,n 表示第 m 排从左向右第 n 个数，则 5,4 与 15,8 表示的两数之积是
1第1排23第2排612第3排3612第4排36123第5排⋯⋯⋯⋯
A. 1B. 2C. 6D. 32

3. 已知四边形 ABCD，下列说法正确的是
A. 当 AD=BC，AB∥DC 时，四边形 ABCD 是平行四边形
B. 当 AD=BC，AB=DC 时，四边形 ABCD 是平行四边形
C. 当 AC=BD，AC 平分 BD 时，四边形 ABCD 是矩形
D. 当 AC=BD，AC⊥BD 时，四边形 ABCD 是正方形

4. 若点 P-2,3 与点 Qa,b 关于 x 轴对称，则 a ， b 的值分别是
A. -2 ， 3B. 2 ， 3C. -2 ， -3D. 2 ， -3

5. 正 n 边形的每个内角都是 120∘，则 n 的值是
A. 3B. 4C. 6D. 8

6. 甲、乙两个样本的方差分别是 S甲2=6.06，S乙2=14.31，由此可反映
A. 样本甲的波动比样本乙大
B. 样本甲的波动比样本乙小
C. 样本甲和样本乙的波动大小一样
D. 样本甲和样本乙的波动大小关系，不能确定

7. 已知一次函数 y=kx-k ，若 y 随着 x 的增大而减小，则该函数图象经过
A. 第一、二、三象限B. 第一、二、四象限
C. 第二、三、四象限D. 第一、三、四象限

8. 如图，已知 OP 平分 ∠AOB，∠AOB=60∘，CP=2，CP∥OA，PD⊥OA 于点 D，PE⊥OB 于点 E．如果点 M 是 OP 的中点，则 DM 的长是
A. 2B. 2C. 3D. 23

二、填空题（共6小题；共30分）
9. 如图，平行四边形 ABCD 的对角线 AC 与 BD 相交于点 O，E 为 BC 边中点，已知 AB=6 cm，则 OE 的长为 cm．

10. 已知关于 x 的方程 x2+2x+k=0 有两个相等的实数根，则 k 的值是 ．

11. 若一次函数 y=kx+b，当 -3≤x≤1 时，对应的 y 值为 1≤y≤9，则一次函数的解析式为 ．

12. 已知 a+ba+b-4=-4，那么 a+b = ．

13. 如图，菱形 ABCD 的边长为 6，∠ABC=60∘，则对角线 AC 的长是 ．

14. 如图，在平面直角坐标系中，将线段 AB 绕点 A 按逆时针方向旋转 90∘ 后，得到线段 ABʹ，则点 Bʹ 的坐标为 ．

三、解答题（共13小题；共169分）
15. 如图，在 Rt△ABC 中，∠ABC=90∘，点 D 在边 AB 上，使 DB=BC，过点 D 作 EF⊥AC，分别交 AC 于点 E 、 CB 的延长线于点 F．求证：AB=BF．

16. 先化简： a2-b2a2-ab÷a+2ab+b2a ，当 b=-1 时，再从 -2
17. 一个矩形的长为 a，宽为 b（a>0，b>0），则矩形的面积为 a⋅b．代数式 xy（x>0，y>0）可以看作是边长为 x 和 y 的矩形的面积．我们可以由此解一元二次方程：x2+x-6=0（x>0）．具体过程如下：
①方程变形为 xx+1=6；
②画四个边长为 x+1，x 的矩形如图放置；
③由面积关系求解方程．
∵SABCD=x+x+12，又 S△ABCD=4xx+1+12．
∴x+x+12=4xx+1+1，又 xx+1=6，
∴2x+12=25，
∵x>0，
∴x=2．
参照上述方法求关于 x 的二次方程 x2+mx-n=0 的解（x>0，m>0，n>0）．（要求：画出示意图，标注相关线段的长度，写出解题步骤）

18. 已知：如图，平行四边形 ABCD 中，O 是 CD 的中点，连接 AO 并延长，交 BC 的延长线于点 E．
（1）求证：△AOD≌△EOC；
（2）连接 AC，DE，当 ∠B=∠AEB= ∘ 时，四边形 ACED 是正方形?请说明理由．

19. 已知弹簧在一定限度内，它的长度 y（厘米）与所挂重物质量 x（千克）是一次函数关系．
下表中记录的是两次挂不同质量的重物（在弹性限度内）与相对应的弹簧长度：
所挂重物质量x千克2.55弹簧长度y厘米7.59
求不挂重物时弹簧的长度．

20. “十一”黄金周期间，某市在 7 天中外出旅游的人数变化如下表（正数表示比前一天多的人数，负数表示比前一天少的人数）．
日期10 月 1 日10 月 2 日10 月 3 日10 月 4 日10 月 5 日10 月 6 日10 月 7 日人数变化单位:万人+1.6+0.8+0.4-0.4-0.8+0.2-1.2
（1）若 9 月 30 日外出旅游人数记为 a，请用 a 的代数式表示 10 月 2 日外出旅游的人数．
（2）请判断七天内外出旅游人数最多的是哪天?最少的是哪天?它们相差多少万人．
（3）如果最多一天有出游人数 3 万人，问 9 月 30 日出去旅游的人数有多少?

21. 如图，已知 △ABC，按如下步骤作图：
① 分别以 A，C 为圆心，大于 12AC 的长为半径画弧，两弧交于 P，Q 两点；
② 作直线 PQ，分别交 AB，AC 于点 E，D，连接 CE；
③ 过 C 作 CF∥AB 交 PQ 于点 F，连接 AF．
（1）求证：△AED≌△CFD；
（2）求证：四边形 AECF 是菱形．

22. 20 世纪 20 年代起，苏州河沿岸集中了大量工厂和棚户简屋，工业污水和生活污水未经处理直接排入河中，使苏州河的水质不断恶化，最终变成一条臭河．90 年代起，上海市政府加大监管力度，投放大量财力用于苏州河的治理，并对沿岸工厂的污水排放量实行监控．通过实践表明，若每天有 1000 吨污水排入苏州河，则每吨需要 500 元来进行污水处理，并且每减少 10 吨污水排放，每吨的污水处理费可以减少 4 元，为了使每天的污水处理费用为 30 万元，则沿岸的工厂每天的污水排放量是多少吨?

23. 已知关于 x 的一元二次方程：mx2-4m+1x+3m+3=0．
（1）求证：方程总有两个实根；
（2）若 m 是整数，方程的根也是整数，求 m 的值．

24. 小明对学校添置的一批课桌、凳子进行观察后，发现它们可以根据人的身高来调节高度．于是，他测量了一套课桌、凳子相对应的四档高度，得到如下数据：
（1）小明经过对数据的探究发现：桌高 ycm 是凳高 xcm 的一次函数，请你求出这个一次函数的解析式（不要求写出 x 的取值范围）；
（2）小明回家后，测量了家里的写字台和凳子，写字台的高度为 77 cm，凳子的高度为 43.5 cm，请你判断它们是否配套，并说明理由．

25. 如图，在 △ABC 中，AB=AC，点 E，F 分别是边 AB，AC 的中点，点 D 在边 BC 上．若 DE=DF，AD=2，BC=6，求四边形 AEDF 的周长．

26. 我市某社区今年准备新建一养老中心，其中规划建造三类养老专用房间共 100 间，这三类养老专用房间分别为单人间（1 个养老床位），双人间（2 个养老床位），三人间（3 个养老床位），因实际需要，单人间房间数在 10 至 30 之间（包括 10 和 30），且双人间的房间数是单人间的 2 倍，设规划建造单人间的房间数为 t．
（1）根据题意，填写如表：
单人间的房间数10⋯t⋯30双人间的房间数 ⋯2t⋯60三人间的房间数70⋯ ⋯ 养老床位数260⋯ ⋯
（2）若该养老中心建成后可提供养老床位 200 个，求 t 的值；
（3）求该养老中心建成后最多提供养老床位多少个?最少提供养老床位多少个?

27. 如图，将平行四边形 ABCD 的边 DC 延长到点 E，使 CE=DC，连接 AE，交 BC 于点 F．若 ∠AFC=2∠D，连接 AC，BE．求证：四边形 ABEC 是矩形．
答案
第一部分
1. A
2. B【解析】5,4 表示第 5 排从左向右第 4 个数是 2．
15,8 表示第 15 排从左向右第 8 个数，可以看出奇数排最中间的一个数都是 1，
第 15 排是奇数排，最中间的也就是这排的第 8 个数是 1．
3. B
4. C
5. C
6. B
7. B
8. C【解析】由 OP 平分 ∠AOB，CP∥OA，
可得 ∠COP=∠CPO．
∴CP=OC．
又 ∠COP=12∠AOB=12×60∘=30∘，
∴OP=3CP=23．
∵ 在 Rt△ODP 中，M 是 OP 的中点，
∴DM=12OP=12×23=3．
第二部分
9. 3
【解析】在平行四边形 ABCD 中，OA=OC，
∵ 点 E 是 BC 的中点，
∴ OE 是三角形的中位线，
∴ OE=12AB=12×6 cm=3 cm．
10. 1
【解析】一元二次方程有两个相等的实数根，
所以 Δ=4-4k=0，
解得 k=1．
11. y=2x+7 或 y=-2x+3
12. 2
【解析】设 a+b=t，
原方程化为：tt-4=-4，
解得：t=2，
即 a+b=2，
故答案为：2．
13. 6
14. 4,2
【解析】AB 旋转后位置如图所示．
Bʹ4,2．
第三部分
15. ∵EF⊥AC，
∴∠F+∠C=90∘．
∵∠ABC=90∘，
∴∠A+∠C=90∘，
∴∠A=∠F．
∵DB=BC，∠FBD=∠ABC，
∴△FBD≌△ABC．
∴AB=BF．
16. 原式= a+ba-baa-b÷a2+2ab+b2a=1a+b
在 -2①若 a=-1, 分式 a2-b2a2-ab 无意义；
②若 a=0, 分式 2ab+b2a 无意义；
③若 a=1, 分式 1a+b 无意义．
所以 a 在规定的范围内取整数，原式均无意义（或所求值不存在）．
17. ①方程变形为 xx+m=n；
②画四个边长为 x+m，x 的矩形如图放置；
③由面积关系求解方程．
∵SABCD=x+x+m2，又 SABCD=4xx+m+m2．
∴x+x+m2=4xx+m+m2，又 xx+m=n，
∴2x+m2=4n+m2，
∵x>0，
∴x=124n+m2-m（m>0，n>0）．
18. （1） ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，
∴AD∥BC．
∴∠D=∠OCE，∠DAO=∠E．
又 OC=OD，
∴△AOD≌△EOC．
（2）
当 ∠B=∠AEB=45∘ 时，四边形 ACED 是正方形．
∵△AOD≌△EOC，
∴OA=OE．
又 OC=OD，
∴ 四边形 ACED 是平行四边形．
∵∠B=∠AEB=45∘，
∴AB=AE，∠BAE=90∘．
∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，
∴AB∥CD，AB=CD．
∴∠COE=∠BAE=90∘．
∴ 平行四边形 ACED 是菱形．
∵AB=AE，AB=CD，
∴AE=CD．
∴ 菱形 ACED 是正方形．
19. 设弹簧长度 y（厘米）与所挂重物质量 x（千克）的一次函数关系式是 y=kx+bk≠0，
将题表中的数据分别代入，得 2.5k+b=7.5,5k+b=9, 解得 k=35,b=6,
∴y=35x+6，
当 x=0 时，y=6．
答：不挂重物时弹簧的长度为 6 厘米．
20. （1） 根据题意得：
∵ 9 月 30 日外出旅游人数记为 a，
∴ 10 月 1 日外出旅游人数为 a+1.6，
∴ 10 月 2 日外出旅游人数为 a+1.6+0.8=a+2.4；
（2） 分别表示出 10 月 3 号外出旅游人数为 a+2.4+0.4=a+2.8；
10 月 4 号外出旅游人数为 a+2.8-0.4=a+2.4；
10 月 5 号外出旅游人数为 a+2.4-0.8=a+1.6；
10 月 6 号外出旅游人数为 a+1.6+0.2=a+1.8；
10 月 7 号外出旅游人数为 a+1.8-1.2=a+0.6；
10 月 3 号外出旅游人数最多；7 号最少；相差 a+2.8-a+0.6=2.2 万．
（3） ∵ 最多一天有出游人数 3 万人，即 a+2.8=3 万，
∴ 9 月 30 日出去旅游的人数有 0.2 万．
21. （1） 由作图知：PQ 为线段 AC 的垂直平分线，
∴ AE=CE，AD=CD，
∵ CF∥AB，
∴ ∠EAC=∠FCA，∠CFD=∠AED．
在 △AED 与 △CFD 中，
∠EAC=∠FCA,AD=CD,∠CFD=∠AED,
∴ △AED≌△CFD．
（2） ∵ △AED≌△CFD，
∴ ED=FD．
∵ EF 为线段 AC 的垂直平分线，
∴ AC 和 EF 互相垂直平分，
∴ 四边形 AECF 为菱形．
22. 设每天的污水排放量是 10x 吨，每吨处理费用减少 4x 元．
由题意，得 1000-10x500-4x=300000．解得 x=20或25．
答：沿岸的工厂每天的污水排放量是 200 或 250 吨．
23. （1） ∵Δ=-4m+12-4m3m+3=2m-12≥0，
∴ 方程总有两个实根．
（2） x=4m+1±2m-122m=4m+1±2m-12m，
∴x1=3,x2=1m+1，
∵m,1m 均为整数，
∴m=±1．
24. （1） 设所求一次函数的解析式为 y=kx+b（k，b 为常数，k=0），任取题表中的两组数据，不妨取 37.0,70.0 和 42.0,78.0，分别代入 y=kx+b，得 70=37k+b,78=42k+b, 解得 k=1.6,b=10.8,
∴ 所求一次函数的解析式为 y=1.6x+10.8．
（2） 不配套．理由如下：
当 x=43.5 时，y=1.6×43.5+10.8=80.4．
77≠80.4，
∴ 不配套．
25. ∵AB=AC，E，F 分别是边 AB，AC 的中点，
∴AE=AF=12AB．
∵DE=DF，AD=AD，
∴△AED≌△AFD．
∴∠EAD=∠FAD．
∴AD⊥BC，且 D 是 BC 的中点．
在 Rt△ABD 中，
∵E 是斜边 AB 的中点，
∴DE=AE．
同理，DF=AF．
∴ 四边形 AEDF 的周长是 2AB．
∵BC=6，
∴BD=3．
∵AD=2，
∴AB=13．
∴ 四边形 AEDF 的周长是 213．
26. （1） 20；100-3t；300-4t；10；180
（2） 由题意得：
t+4t+3(100-3t)=200,
解得：
t=25.∵10≤t≤30
，符合题意．
答：t 的值是 25．
（3） 设该养老中心建成后能提供养老位 y 个，
由题意得：y=t+4t+3(100-3t)=-4t+300(10≤t≤30)，
∵k=-4<0，
∴y 随 t 的增大而减小，
当 t=10 时，y 的最大值为 300-4×10=260（个），
当 t=30 时，y 的最小值为 300-4×30=180（个）．
答：该养老中心建成后最多提供养老床位 260 个，最少提供养老床位 180 个．
27. ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，
∴AB=CD=EC，AB∥EC，
∴ 四边形 ABEC 是平行四边形．
∴AF=EF，BF=CF．
∵∠ABC=∠D，∠AFC=2∠D，
∴∠AFC=2∠D=2∠ABC．
∵∠AFC=∠ABF+∠BAF，
∴∠ABF=∠BAF．
∴FA=FB．
∴FA=FE=FB=FC，
∴AE=BC．
∴ 四边形 ABEC 是矩形．