2022-2023学年北京市石景山区华奥学校八年级（下）期末数学试卷（含解析）

2022-2023学年北京市石景山区华奥学校八年级（下）期末数学试卷

一、选择题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  下列方程中，关于的一元二次方程是(    )

A.  B.
C.  D.

2.  如图将，，，按下列方式排列若规定表示第排从左向右第个数，则与表示的两数之积是(    )

 

A.  B.  C.  D.

3.  已知四边形，下列说法正确的是(    )

A. 当，时，四边形是平行四边形
B. 当，时，四边形是平行四边形
C. 当，时，四边形是正方形
D. 当，平分时，四边形是矩形

4.  若点与点关于轴对称，则，的值分别是(    )

A. ， B. ， C. ， D. ，

5.  若正边形的每个内角都是，则的值是(    )

A.  B.  C.  D.

6.  甲、乙两个样本的方差分别是，由此可反映(    )

A. 样本甲的波动比样本乙大 B. 样本甲的波动比样本乙小
C. 样本甲和样本乙的波动大小一样 D. 样本甲和样本乙的波动大小关系不能确定

7.  已知一次函数，若随着的增大而减小，则该函数图象经过(    )

A. 第一、二、三象限 B. 第一、二、四象限 C. 第二、三、四象限              D. 第一、三、四象限

8.  如图，已知平分，，，，于点，于点如果点是的中点，则的长是(    )
 

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共6小题，共30.0分）

9.  如图，▱的对角线与相交于点，为边中点，已知，则的长为______ ．

10.  已知关于的方程有两个相等的实数根，则的值是        ．

11.  若一次函数，当时，对应的值为，则一次函数的解析式为______．

12.  已知，那么______．

13.  如图，菱形的边长为，，则对角线的长是______．

 

14.  如图，在平面直角坐标系中，将线段绕点按逆时针方向旋转后，得到线段，则点的坐标为______．

三、解答题（本大题共13小题，共104.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

15.  本小题分
如图，在中，，点在边上，使，过点作，分别交于点，的延长线于点．
求证：．

 

16.  本小题分
先化简：，当时，再从的范围内选取一个合适的整数代入求值．

17.  本小题分
一个矩形的长为，宽为，则矩形的面积为代数式可以看作是边长为和的矩形的面积．我们可以由此解一元二次方程：具体过程如下：
方程变形为；
画四个边长为、的矩形如图放置；
由面积关系求解方程．
，又．
，又，
，，．
参照上述方法求关于的二次方程的解要求：画出示意图，标注相关线段的长度，写出解题步骤

18.  本小题分
如图，在平行四边形中，是的中点，连接并延长，交的延长线于点．
求证：≌；
连接，，当______时，四边形是正方形，请说明理由．

19.  本小题分
已知弹簧在一定限度内，它的长度厘米与所挂重物质量千克是一次函数关系．
下表中记录的是两次挂不同重量重物的质量在弹性限度内与相对应的弹簧长度：

求不挂重物时弹簧的长度．

20.  本小题分
“十一”黄金周期间，某市在天中外出旅游的人数变化如下表正数表示比前一天多的人数，负数表示比前一天少的人数．

若月日外出旅游人数记为，请用的代数式表示月日外出旅游的人数．
请判断七天内外出旅游人数最多的是哪天？最少的是哪天？它们相差多少万人．
如果最多一天有出游人数万人，问月日出去旅游的人数有多少？

21.  本小题分
如图，已知，按如下步骤作图：
分别以，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于，两点；
作直线，分别交，于点，，连接；
过作交于点，连接．
求证：≌；
求证：四边形是菱形．

22.  本小题分
世纪年代起，苏州河沿岸集中了大量工厂和棚户简屋，工业污水和生活污水未经处理直接排入河中，使苏州河的水质不断恶化，最终变成一条臭河年代起，上海市政府加大监管力度，投放大量财力用于苏州河的治理，并对沿岸工厂的污水排放量实行监控通过实践表明，若每天有吨污水排入苏州河，则每吨需要元来进行污水处理，并且每减少吨污水排放，每吨的污水处理费可以减少元，为了使每天的污水处理费用为万元，则沿岸的工厂每天的污水排放量是多少吨？

23.  本小题分
已知关于的一元二次方程：．
求证：方程总有两个实根；
若是整数，方程的根也是整数，求的值．

24.  本小题分
为了学生的身体健康，学校课桌、凳的高度都是按照一定的关系科学设计的，小明对学校所添置的一批课桌、凳进行观察研究，发现它们可以根据人的身长调节高度，于是，他测量了一套课桌、凳上对应四档的高度，得到如下数据见下表：

小明经过对数据探究，发现桌高是凳高的一次函数，请你写出这个一次函数的关系式不要求写出的取值范围；
小明回家后测量了家里的写字台和凳子，写字台的高度为，凳子的高度为，请你判断它们是否配套，并说明理由．

25.  本小题分
如图，在中，，点，分别是边，的中点，点在边上．若，，，求四边形的周长．

26.  本小题分
我市某社区今年准备新建一养老中心，其中规划建造三类养老专用房间共间，这三类养老专用房间分别为单人间个养老床位，双人间个养老床位，三人间个养老床位，因实际需要，单人间房间数在至之间包括和，且双人间的房间数是单人间的倍，设规划建造单人间的房间数为．
Ⅰ根据题意，填写下表：

Ⅱ若该养老中心建成后可提供养老床位个，求的值；
Ⅲ求该养老中心建成后最多提供养老床位多少个？最少提供养老床位多少个？

27.  本小题分
如图，将平行四边形的边延长到点，使，连接，交于点，连接，，若求证：四边形是矩形．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：该方程是关于的一元二次方程，故本选项符合题意；
B.该方程是分式方程，故本选项不符合题意；
C.，，时是一元一次方程，故本选项不符合题意，；
D.该方程整理可得，是一元一次方程，故本选项不符合题意；
故选：．
根据一元二次方程的概念判断即可．只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是的整式方程叫一元二次方程．
本题考查的是一元二次方程的概念，掌握只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是的整式方程叫一元二次方程是解题的关键．
 

2.【答案】 

【解析】解：由题知，
数列中的第为正整数排共有个数，
所以前排数的个数总和为．
当时，，
余，即表示第排最右边的一个数为．
所以所表示的数为．
当时，，
，即表示第排最右边一个数为．
所以所表示的数为．
因此与表示的两数之积为：．
故选：．
根据所排列的数是每四个一循环，可求出和所对应的数，进而解决问题．
本题考查数字排列的规律，能发现前排数据总个数的表达式及求出第排的从左向右的第个数是解题的关键．
 

3.【答案】 

【解析】解：、当，时，四边形不一定是平行四边形，故不符合题意；
B、当，时，四边形是平行四边形，故符合题意；
C、当，时，平行四边形是正方形，故不符合题意；
D、当，平分时，四边形不是矩形，故不符合题意；
故选：．
根据平行四边形的判定，正方形的判定，矩形的判定定理判断即可．
本题考查了平行四边形的判定，正方形的判定，矩形的判定定理，熟练掌握各判定定理是解题的关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：点与点关于轴对称，
，的值分别是，
故选C．
平面直角坐标系中任意一点，关于轴的对称点的坐标是，记忆方法是结合平面直角坐标系的图形记忆，另一种记忆方法是记住：关于横轴的对称点，横坐标不变，纵坐标变成相反数．
本题比较容易，考查平面直角坐标系中关于坐标轴成轴对称的两点的坐标之间的关系．是需要识记的内容．
 

5.【答案】 

【解析】解：正边形的每个内角都是，
每一个外角都是，
多边形外角和为，
多边形的边数为，
故选：．
根据内角度数先算出外角度数，然后再根据外角和计算出边数即可．
此题主要考查了多边形的内角和外角，关键是掌握多边形的外角和等于度．
 

6.【答案】 

【解析】解：，，
，
样本甲的波动比样本乙小．
故选：．
根据方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定，即可得出答案．
本题考查了方差．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．
 

7.【答案】 

【解析】

【分析】
根据题意判断的取值，再根据，的符号判断直线所经过的象限．
本题考查的是一次函数的性质，在直线中，当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小．
【解答】
解：若随的增大而减小，则，即，故图象经过第一，二，四象限．
故选：．  

8.【答案】 

【解析】解：平分，，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，点是的中点，
．
故选：．
由平分，，，，易得是等腰三角形，，又由含角的直角三角形的性质，即可求得的值，继而求得的长，然后由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即可求得的长．
此题考查了等腰三角形的性质与判定、含直角三角形的性质以及直角三角形斜边的中线的性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．
 

9.【答案】 

【解析】解：在▱中，，
点是的中点，
是三角形的中位线，
．
故答案为：．
根据平行四边形的性质可得，再由为边中点可得是的中位线，利用三角形中位线定理可得答案．
此题主要考查了平行四边形的性质和三角形中位线定理，关键是掌握平行四边形的对角线互相平分．
 

10.【答案】 

【解析】解：方程有两个相等的实数根，
，
解得：，
故答案为：．
先根据根的判别式的值为，进而得出等式求出即可．
本题主要考查了根的判别式，根据已知得出是解题关键．
 

11.【答案】或 

【解析】解：Ⅰ当时，，
解得：，
此时，
Ⅱ当时，，
解得：，
此时，
综上，所求的函数解析式为：或．
根据一次函数是单调函数，因为知道函数定义域为，值域为，进行分类讨论大于还是小于，列出二元一次方程组求出和的值．
本题主要考查待定系数法求一次函数的解析式的知识，解答本题的关键是熟练掌握一次函数的性质：在定义域上是单调函数，本题难度不大．
 

12.【答案】 

【解析】解：设，
原方程化为：，
解得：，
即，
故答案为：
设，根据一元二次方程即可求出答案．
本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法，本题属于基础题型．
 

13.【答案】 

【解析】

【分析】
此题考查了菱形的性质以及等边三角形的判定与性质．注意证得是等边三角形是关键．
由菱形中，，易证得是等边三角形，继而求得对角线的长．
【解答】
解：四边形是菱形，
，
，
是等边三角形，
．
故答案为．  

14.【答案】 

【解析】解：旋转后位置如图所示．
．
画出旋转后的图形位置，根据图形求解．
本题涉及图形旋转，体现了新课标的精神，抓住旋转的三要素：旋转中心，旋转方向逆时针，旋转角度，通过画图得坐标．
 

15.【答案】证明：，
，
，
，
，
在和中，

≌，
． 

【解析】本题考查了全等三角形的判定和性质，是基础知识要熟练掌握．
根据，得，再由已知得，从而证明≌，则．
 

16.【答案】解：原式
，
在中，可取的整数为、、，而当时，
若，分式无意义；
若，分式无意义；
若，分式无意义．
所以在规定的范围内取整数，原式均无意义或所求值不存在． 

【解析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再选出合适的的值代入进行计算即可．
本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键．
 

17.【答案】解：方程变形为；
画四个边长为、的矩形如图放置；

由面积关系求解方程．
，又．
，又，
，，． 

【解析】根据已知求一元二次方程的具体过程即可求解．
本题考查了用公式法和直接开平方法解一元二次方程，解决本题的关键是理解所给材料进行计算．
 

18.【答案】 

【解析】证明：是的中点，
，
四边形是平行四边形，
，
，
在和中，
，
≌；
解：当时，四边形是正方形，
和，
，
≌，
，
，
四边形是平行四边形，
，
四边形是平行四边形，
，
，
，
，
平行四边形是菱形，
，，
，
四边形是正方形．
故答案为：．
首先根据是的中点，可得，再证明，然后可利用定理证明≌；
当时，四边形是正方形；首先证明，然后证明是边上的中线，根据直角三角形的性质可得，然后利用等腰三角形的性质证明，可得结论．
此题主要考查了全等三角形的判定与性质，以及正方形的判定，关键是掌握邻边相等的矩形是正方形．
 

19.【答案】解：设长度厘米与所挂重物质量千克的一次函数关系式是：
将表格中数据分别代入为：，
解得：，
，
当时，．
答：不挂重物时弹簧的长度为厘米． 

【解析】弹簧总长挂上的重物时弹簧伸长的长度弹簧原来的长度，把相关数值代入即可．
本题考查了根据实际问题列一次函数关系式；得到弹簧总长的等量关系是解决本题的关键．
 

20.【答案】解：根据题意得：
月日外出旅游人数记为，
月日外出旅游人数为：，
月日外出旅游人数为：；

分别表示出月号外出旅游人数为：；
月号外出旅游人数为：；
月号外出旅游人数为：；
月号外出旅游人数为：；
月号外出旅游人数为：；
月号外出旅游人数最多；号最少；相差万

最多一天有出游人数万人，即：万，
月日出去旅游的人数有万． 

【解析】根据若月日外出旅游人数记为，正数表示比前一天多的人数，负数表示比前一天少的人数，分别表示出每天旅游的人数，即可解决；
由表示出月日到日天分别人数，即可得出旅游人数最多的是哪天，最少的是哪天，以及它们相差多少万人；
最多一天有出游人数万人，即：万，可得出的值．
此题主要考查了有理数的混合运算以及列代数式和一元一次方程的应用等知识，分别表示出每天旅游人数是解决问题的关键．
 

21.【答案】解：由作图知：为线段的垂直平分线，
，，

，，
在与中，
，
≌；

≌，
，
为线段的垂直平分线，
，，
，
四边形为菱形． 

【解析】由作图知：为线段的垂直平分线，从而得到，，然后根据得到，，利用证得两三角形全等即可；
根据全等得到，然后根据为线段的垂直平分线，得到，，从而得到，利用四边相等的四边形是菱形判定四边形为菱形．
本题考查了菱形的判定、全等的判定与性质及基本作图，解题的关键是了解通过作图能得到直线的垂直平分线．
 

22.【答案】解：设每天的污水排放量减少吨，其中，则每吨处理费用减少元，
由题意，得，
整理得，
解得舍去或，
当，，每天的污水排放量为吨，
答：沿岸的工厂每天的污水排放量是吨． 

【解析】设每天的污水排放量减少吨，其中，则每吨处理费用减少元，由题意，得，计算求出满足要求的解，然后求解作答即可．
本题考查了一元二次方程的应用．解题的关键在于根据题意正确的列方程并正确的求解．
 

23.【答案】证明：方程是关于的一元二次方程，
，
，
此方程总有两个实数根；

解：方程的两个实数根为，
，，
是整数，方程的根也是整数，
． 

【解析】根据题意，则计算判别式有，然后根据判别式的意义即可得到结果；
利用求根公式得到，，而方程的两个实数根都是整数，且为整数，然后根据整数的整除性即可得到的值．
本题考查了一元二次方程的根的判别式：当，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根．也考查了一元二次方程的解．
 

24.【答案】解：设桌高与凳高的关系为，依题意得．
解得，
桌高与凳高的关系式为

不配套．理由如下：
当时，

该写字台与凳子不配套． 

【解析】设，利用表中的数据，建立方程组，即可求解．
令中的，求出值，进行比较，作出判断即可．
本题只需仔细分析题意，利用方程组即可求解．
 

25.【答案】解：点，分别是边，的中点，
，，
，
，
在和中，，
≌，
，
即平分，
，，
，
，
在和中，，分别是边，的中点，
，，
，
四边形的周长． 

【解析】先由证明≌，得出，即平分，再由等腰三角形的三线合一性质得出，，根据勾股定理求出，由直角三角形斜边上的中线性质得出，，证出，即可求出结果．
本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、勾股定理、直角三角形斜边上的中线性质；熟练掌握等腰三角形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键．
 

26.【答案】         

【解析】解：双人间的房间数是单人间的倍，
单人间的房间数为时，双人间的房间数为，
三类养老专用房间共间，
单人间的房间数为，双人间的房间数为时，三人间的房间数为，养老床位数为；
单人间的房间数为，双人间的房间数为时，三人间的房间数为，养老床位数为；
故答案为：，，，，；

依题意得：，
解得，
单人间房间数在至之间，
符合题意，
的值为；

设该养老中心建成后能提供养老床位个，依题意得
，
，
随着的增大而减小，
当时，的最大值为个，
当时，的最小值为个，
答：该养老中心建成后最多提供养老床位个，最少提供养老床位个．
根据双人间的房间数是单人间的倍，三类养老专用房间共间，即可得到结论；
根据该养老中心建成后可提供养老床位个，即可列出方程，进而得到的值；
设该养老中心建成后能提供养老床位个，依题意得，根据一次函数的性质，即可得到最多提供养老床位个，最少提供养老床位个．
本题主要考查了一次函数的应用，解决问题的关键是依据题意列出床位数与单人间的房间数为之间的函数关系式．
 

27.【答案】证明：四边形是平行四边形，
，，，
，
，
四边形是平行四边形，
，，
，
，
，
，
四边形是矩形． 

【解析】先证四边形是平行四边形，得，，再证，即可得出四边形是矩形．
本题主要考查了平行四边形的判定与性质、矩形的判定、等腰三角形的判定等知识，熟练掌握矩形的判定与性质是解此题的关键．