河北省衡水市武强中学2023-2024学年高三上学期期末考试数学试题

这是一份河北省衡水市武强中学2023-2024学年高三上学期期末考试数学试题，共15页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
出题人：郝敬先
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题（1-8小题单选，每题5分，9-12小题多选，全部选对5分，部分选对2分，有选错的0分，共60分。）
1．已知集合，则（ ）
A．B．C．D．
2．在复平面内，复数的共轭复数对应的点位于
A．第一象限B．第二象限
C．第三象限D．第四象限
3．部分与整体以某种相似的方式呈现称为分形，一个数学意义上分形的生成是基于一个不断迭代的方程式，即一种基于递归的反馈系统，分形几何学不仅让人们感悟到科学与艺术的融合，数学与艺术审美的统一，而且还有其深刻的科学方法论意义，如图，由波兰数学家谢尔宾斯基1915年提出的谢尔宾斯基三角形就属于一种分形，具体作法是取一个实心三角形，沿三角形的三边中点连线.将它分成4个小三角形，去掉中间的那一个小三角形后，对其余3个小三角形重复上述过程逐次得到各个图形，若记图①三角形的面积为，则第n个图中阴影部分的面积为
A．B．C．D．
4．等差数列的公差，且，则数列的前n项和取得最大值时的项数n的值为（ ）
A．5B．6C．5或6D．6或7
5．已知，则（ ）
A．3B．C．D．
6．已知，是两条不同直线,是平面,且，，“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
7．已知，，，，若存在非零实数使得，则的最小值为（ ）
A．8B．9C．10D．12
8．设，，，则a，b，c的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
9．已知函数，则（ ）
A．为奇函数B．不是函数的极值点
C．在上单调递增D．存在两个零点
10．已知关于的不等式的解集为，则下列说法正确的是（ ）
A． B．不等式的解集为
C． D．的最小值为
11．已知函数（其中）的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A．函数的最小正周期为
B．函数的图象关于点对称
C．函数在区间上单调递增
D．若，则的值为
12．如图，在棱长为1的正方体中，P为线段BC，上的动点，下列说法正确的是（ ）
A．对任意点P，平面
B．三棱锥的体积为
C．线段DP长度的最小值为
D．存在点P，使得DP与平面所成角的大小为
二、填空题（每小题5分，共20分）
13．设向量，的夹角的余弦值为，且，，则 .
14．命题“，”的否定是 .
15．在中，，则 .
16．定义在上的奇函数满足，且时，，则 .
三、解答题（17题10分，18-22每题12分，共70分。）
17．已知正项等比数列满足，，数列满足.
(1)求数列，的通项公式；
(2)令求数列的前n项和.
18．在中，内角A，B，C所对的边分別为，，，且．
(1)求A；
(2)若为边上一点，，，，求的面积．
19．已知数列的前项和为.
(1)求； (2)求.
20．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．满足．
(1)求角B的大小； (2)设，．
（ⅰ）求c的值； （ⅱ）求的值．
21．如图，在三棱台中，，，．
（1）求证：平面；
（2）若，，求二面角的正弦值．
22．已知函数（）.
(1)当时，求函数的极值；
(2)若函数在区间上单调递增，求实数的取值范围.
高三数学参考答案：
1．A
【详解】由得，又，
所以，
故选：A
2．D
【详解】：的共轭复数为
对应点为，在第四象限，故选D.
3．D
【详解】根据题意：每一个图形的面积是前一个图形面积的，即面积为首项为，公比为的等比数列，
故第n个图中阴影部分的面积为.
故选：D.
4．C
【详解】由，可得，
因为，所以，所以，又，所以.
因为，所以是递减数列，所以，显然前5项和或前6项和最大，
故选：C.
5．C
【详解】因为，所以，所以，
则.
故选：C.
6．B
【详解】一条直线平行平面，但这条直线不一定和平面内的直线平行，所以由，不能得到，
而，，，则，
所以“”是“”的必要不充分条件，
故选：B
7．B
【详解】若存在非零实数使得，即，又，，
所以，即，
所以，
当且仅当，即时，等号成立.
所以的最小值为.
故选 ：B
8．D
【详解】由题意知，，
所以，
故选：D.
9．BC
【详解】函数的定义域为R，又，，
则，所以不是奇函数，故选项A错误；
因为，所以在上单调递增，所以函数不存在极值点，故选项B与C正确；
因为，，又在上单调递增，且，
所以仅有一个零点0，故选项D错误.
故选：BC
10．AB
【详解】因为关于的不等式的解集为，
所以是方程的两根，且，故A正确；
所以，解得，
所以，即，则，解得，
所以不等式的解集为，故B正确；
而，故C错误；
因为，所以，
则，
当且仅当，即或时，等号成立，
与矛盾，所以取不到最小值，故D错误.
故选：AB.
11．BCD
【详解】由函数的部分图象可知：，且，
则，解得；
又因为，即，
则，，且，所以；
所以．
对于选项：函数的最小正周期，故A错误；
对于选项B：当时，可得，
所以函数的图象关于点对称，故B正确；
对于选项C：因为，则，且在内单调递增，
所以函数在区间上单调递增，故C正确；
对于选项D：因为，可得，
所以
，
即的值为，故D正确；
故选：BCD．
12．AC
【详解】由题可知，正方体的面对角线长度为.
对于A，分别连接、、、、，
由,得到平面平面，而 平面，故对任意点P，平面，故A正确；
对于B，分别连接PA、，
B错误；对于C，线段DP在中，当点P为的中点时，DP最小，，在中，，故DP的最小值为，故C正确；
对于D，点P在平面上的投影在线段上，设点P的投影为点Q，
则为DP与平面所成的角，，，而，所以DP与平面所成角的正弦值的取值范围是，而，所以不存在点P，使得DP与平面所成角的大小为，故D错误.
故选AC.
13．3
【详解】向量，的夹角的余弦值为，，
，，
得.
故答案为：3
14．，
【详解】根据全称量词命题与存在性命题的关系，
可得命题“，”的否定是“，”.
故答案为:，.
15．
【详解】因为，由正弦定理得，
变形得，所以，
又，所以，
故答案为：．
16．
【详解】由于为奇函数，，所以，故为周期为4的周期函数，
所以，
故答案为：
17．(1)，；
(2)；
【详解】（1）设的公比为，则由已知得，，则，或（舍去），
∴，；
（2），
，
∴，
相减得，
∴；
18．(1) (2)
【详解】（1）由正弦定理有，
因为，所以，则，
又，所以，
由，得，
因为，所以.
（2）在中，由余弦定理得，
将代入，化简得，
解得或（舍去），由于，所以，
因此的面积为．
19．(1) (2)
【详解】（1），可得，
可得，即数列为首项为2，公差为2的等差数列，
可得，由，可得；
（2），
即有
.
20．(1)
(2)（ⅰ）；（ⅱ）
【详解】（1）由，
根据正弦定理得，,
可得，
因为，故，则，
又，所以.
（2）由（1）知，，且，，
（ⅰ）则，
即，解得（舍），.
故.
（ⅱ）由，得，
解得，则，
则，，
则
.
21．（1）证明见解析；（2）．
【详解】(1)依题意，四边形为等腰梯形，过，分别引AC的垂线，垂足分别为D，E，
则，故．
在中，，
所以，故，即．
因为，，且AB，平面，
所以平面，因为平面，
所以平面平面．
(2)因为，，，且AC，平面，
所以平面，结合(1)可知AB，AC，A1D三条直线两两垂直．
以A为原点，分别以的方向为x，y，z轴的正方向，建立空间直角坐标系A-xyz，
如图所示，则各点坐标为：
，，，，．
由(1)知，为平面的法向量．
，，
设为平面的法向量，
则：，故，取，
所以，
设二面角的大小为，则sinθ=
22．(1)极小值为，无极大值. (2)的取值范围是.
【详解】（1）函数的定义域为，
当时，
求导得，
整理得：.
令可得，或（舍去）
当时，，函数在上单调递减，
当时，，函数在上单调递增，
所以当时，函数取极小值，极小值为，
函数无极大值；
（2）由已知时，恒成立，
所以恒成立，
即恒成立，则.
令函数，
由知在单调递增，
从而.
经检验知，当时，函数不是常函数，
所以的取值范围是.