四川省泸州市泸县第四中学2022-2023学年七年级下学期6月期末数学试题（含答案）

这是一份四川省泸州市泸县第四中学2022-2023学年七年级下学期6月期末数学试题（含答案），共24页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年四川省泸州市泸县四中七年级（下）期末数学试卷
一、单选题（3分每题，共12个小题，共36分）
1．（3分）如图，A、B、C、D中的哪幅图案可以通过如图平移得到（　　）

A． B． C． D．
2．（3分）下列各图中，∠1与∠2是内错角的是（　　）
A． B．
C． D．
3．（3分）为了调查我市某校学生的视力情况，在全校的2000名学生中随机抽取了300名学生，下列说法正确的是（　　）
A．此次调查属于全面调查
B．样本容量是300
C．2000名学生是总体
D．被抽取的每一名学生称为个体
4．（3分）已知x＜y，则下列结论不成立的是（　　）
A．x﹣2＜y﹣2 B． C．3x+1＜3y+1 D．﹣2x＜﹣2y
5．（3分）如图，点E在射线AB上，要AD∥BC，只需（　　）

A．∠A＝∠CBE B．∠A＝∠C C．∠C＝∠CBE D．∠A+∠D＝180°
6．（3分）如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，点A到直线BC的距离是（　　）

A．线段AC的长 B．线段BC的长 C．线段AD的长 D．线段AB的长
7．（3分）下列命题为真命题的是（　　）
A．邻补角的角平分线互相垂直
B．两条直线被第三条直线所截，同位角相等
C．相等的角是对顶角
D．互补的两个角的角平分线互相垂直
8．（3分）下列运算中，正确的是（　　）
A． B． C． D．
9．（3分）在平面直角坐标系中，将点A（﹣1，2）向右平移2个单位长度得到点B，则点B关于x轴对称的点C的坐标（　　）
A．（1，﹣2） B．（﹣1，﹣2） C．（1，﹣4） D．（﹣1，﹣4）
10．（3分）已知是方程x+my＝3的解，则m的值为（　　）
A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣2
11．（3分）茶叶作为浙江省农业十大主导产业之一，是助力乡村振兴的民生产业．某村有土地60公顷，计划将其中10%的土地种植蔬菜，其余的土地开辟为茶园和种植粮食，已知茶园的面积比种粮食面积的2倍少3公顷，问茶园和种粮食的面积各多少公顷？设茶园的面积为x公顷，种粮食的面积为y公顷，可列方程组为（　　）
A． B．
C． D．
12．（3分）如图，已知AB∥CD，∠BEH＝∠CFG，EI、FK分别为∠AEH、∠CFG的角平分线，FK⊥FJ，则下列说法正确的有（　　）个．
①EH∥GF
②∠CFK＝∠H
③FJ平分∠GFD
④∠AEI+∠GFK＝90°

A．4 B．3 C．2 D．1
二、填空题（3分每题，共4个小题，共12分）
13．（3分）一个正方体的体积为27，则它的棱长为 　 　．
14．（3分）在数轴上离原点的距离为的点表示的数是 　 　．
15．（3分）若方程组的解满足x+y＞0，则m的取值范围是　 　．
16．（3分）如图，正方形A1A2A3A4、A5A6A7A8、A9A10A11A12、…，（每个正方形从第三象限的顶点开始，按顺时针方向顺序，依次记为A1，A2，A3，A4，A5，A6，A7，A8，A9，A10，A11，A12，…）正方形的中心均在坐标原点O，各边均与x轴或y轴平行，若它们的边长依次是2，4，6，…，则顶点A2023的坐标为 　 　．

三、解答题（本大题共3个小题，共18分）
17．（6分）计算：．
18．（6分）已知|x|＝3，，且x＞y，求2x﹣4y的值．
19．（6分）解方程组：
四、解答题（本大题共2个小题，共14分）
20．（7分）某校在初二年级开设了素描、舞蹈、合唱、魔方四个社团，为了解学生最喜欢哪一个社团，随机抽取了部分学生进行调查，并将调查结果绘制成了如下两幅不完整的统计图，请根据统计图回答下列问题：
​
（1）本次抽样调查的样本容量是 　 　；
（2）请将条形统计图补充完整；
（3）已知该校初二年级共有学生800人，根据调查结果估计该校喜欢合唱和舞蹈社团的学生共有多少人．
21．（7分）解不等式组，并在数轴上表示出它的解集．
五、解答题（本大题共2个小题，共16分）
22．（8分）如图，AB⊥BF，CD⊥BF，∠1＝∠2，试说明∠3＝∠E．
证明：∵AB⊥BF，CD⊥BF（已知），
∴∠ABD＝∠　 　＝　 　°（垂直定义），
∴　 　∥　 　（ 　 　）．
∵∠1＝∠2（ 　 　），
∴　 　∥　 　（ 　 　），
∴CD∥　 　（平行于同一直线的两条直线互相平行），
∴∠3＝∠E（ 　 　）．

23．（8分）如图，在平面直角坐标系中，三角形ABC的顶点都在网格格点上，其中B点坐标为（7，4）．
（1）请写出点A，点C的坐标；
（2）将△ABC先向左平移3个单位长度，再向上平移4个单位长度，得到△A′B′C′．请画出平移后的三角形，并写出△A′B′C′的三个顶点的坐标；
（3）求△ABC的面积．

六、解答题（本大题共2个小题，共24分）
24．（12分）为了全面推进素质教育．增强学生体质，丰富校园文化生活，我校将举行春季特色运动会，需购买A，B两种奖品，经市场调查，若购买A种奖品3件和B种奖品2件，共需60元；若购买A种奖品1件和B种奖品3件，共需55元．
（1）求A、B两种奖品的单价各是多少元；
（2）运动会组委会计划购买A、B两种奖品共100件，购买费用不超过1160元，且A种奖品的数量不大于B种奖品数量的3倍，运动会组委会共有几种购买方案？并求出最小总费用．
25．（12分）如图，已知直线AB∥CD，直线L和直线AB，CD分别交于点E，F，直线L上有一动点P．
（1）如图1，点P在E，F之间运动时，∠PMB，∠MPN，∠PND之间有什么关系，并说明理由；
（2）若点P在E，F两点外侧运动时，如图2和图3（P点与E，F不重合），试直接写出∠PMB，∠MPN，∠PND之间有什么关系，不必写理由．


2022-2023学年四川省泸州市泸县四中七年级（下）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、单选题（3分每题，共12个小题，共36分）
1．（3分）如图，A、B、C、D中的哪幅图案可以通过如图平移得到（　　）

A． B． C． D．
【分析】通过图案平移得到必须与题中已知图案完全相同，角度也必须相同，由此即可解答．
【解答】解：通过图案平移得到必须与题中已知图案完全相同，角度也必须相同，
观察图形可知选项D可以通过题中已知图案平移得到．
故选：D．
【点评】本题考查了平移的定义，熟知平移是指在同一平面内，将一个图形整体按照某个直线方向移动一定的距离，不改变图象大小与形状是解决问题的关键．
2．（3分）下列各图中，∠1与∠2是内错角的是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线之间，并且在第三条直线（截线）的两旁，则这样一对角叫做内错角，由此即可判断．
【解答】解：只有选项C中的∠1与∠2是内错角．
故选：C．
【点评】本题考查内错角，关键是掌握内错角的定义．
3．（3分）为了调查我市某校学生的视力情况，在全校的2000名学生中随机抽取了300名学生，下列说法正确的是（　　）
A．此次调查属于全面调查
B．样本容量是300
C．2000名学生是总体
D．被抽取的每一名学生称为个体
【分析】根据全面调查与抽样调查，总体、个体、样本、样本容量的意义，逐一判断即可解答．
【解答】解：A、此次调查属于抽样调查，故A不符合题意；
B、样本容量是300，故B符合题意；
C、2000名学生的视力情况是总体，故C不符合题意；
D、被抽取的每一名学生的视力情况称为个体，故D不符合题意；
故选：B．
【点评】本题考查了全面调查与抽样调查，总体、个体、样本、样本容量，熟练掌握这些数学概念是解题的关键．
4．（3分）已知x＜y，则下列结论不成立的是（　　）
A．x﹣2＜y﹣2 B． C．3x+1＜3y+1 D．﹣2x＜﹣2y
【分析】根据不等式的性质解答即可．
【解答】解：A、由x＜y，可得x﹣2＜y﹣2，成立，故本选项不合题意；
B、由x＜y，可得，成立，故本选项不合题意；
C、由x＜y，可得3x+1＜3y+1，成立，故本选项不合题意；
D、由x＜y，可得﹣2x＞﹣2y，故本选项符合题意；
故选：D．
【点评】此题考查不等式的性质，关键是根据不等式的性质解答．
5．（3分）如图，点E在射线AB上，要AD∥BC，只需（　　）

A．∠A＝∠CBE B．∠A＝∠C C．∠C＝∠CBE D．∠A+∠D＝180°
【分析】根据平行线的判定定理即可得到结论．
【解答】解：要AD∥BC，只需∠A＝∠CBE，
故选：A．
【点评】本题考查了平行线的判定定理，熟练掌握平行线的判定定理是解题的关键．
6．（3分）如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，点A到直线BC的距离是（　　）

A．线段AC的长 B．线段BC的长 C．线段AD的长 D．线段AB的长
【分析】本题为概念题，考查点到直线的距离，如下定义：点到直线的距离，即过这一点做目标直线的垂线，由这一点至垂足的距离．
【解答】解：根据点到直线的距离定义：点到直线的距离，即过这一点做目标直线的垂线，由这一点至垂足的距离，得：点A到直线BC的距离为过A做BC的垂线，即图中的线段AD的长．
故选：C．
【点评】本题主要考查点到直线的距离定义．掌握基本概念即可．
7．（3分）下列命题为真命题的是（　　）
A．邻补角的角平分线互相垂直
B．两条直线被第三条直线所截，同位角相等
C．相等的角是对顶角
D．互补的两个角的角平分线互相垂直
【分析】利用邻补角的定义、平行线的性质、对顶角的定义等知识分别判断后即可确定正确的选项．
【解答】解：A、邻补角的平分线互相垂直，正确，是真命题，符合题意；
B、两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等，故原命题错误，是假命题，不符合题意；
C、相等的角不一定是对顶角，故原命题错误，是假命题，不符合题意；
D、互补的两个角的角平分线不一定垂直，故原命题错误，是假命题，不符合题意．
故选：A．
【点评】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是掌握有关的定义及性质，难度较小．
8．（3分）下列运算中，正确的是（　　）
A． B． C． D．
【分析】利用二次根式的性质，算术平方根的意义对每个选项进行逐一判断即可得出结论．
【解答】解：∵＝|﹣8|＝8，
∴A选项的运算正确，符合题意；
∵＝，
∴B选项的运算不正确，不符合题意；
∵＝5，
∴C选项的运算不正确，不符合题意；
∵＝8，
∴D选项的运算不正确，不符合题意．
故选：A．
【点评】本题主要考查了二次根式的运算，算术平方根的意义，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键．
9．（3分）在平面直角坐标系中，将点A（﹣1，2）向右平移2个单位长度得到点B，则点B关于x轴对称的点C的坐标（　　）
A．（1，﹣2） B．（﹣1，﹣2） C．（1，﹣4） D．（﹣1，﹣4）
【分析】首先根据横坐标右移加，左移减可得B点坐标，然后再根据关于x轴对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标符号改变可得答案．
【解答】解：点A（﹣1，2）向右平移2个单位长度得到的B的坐标为（﹣1+2，2），即（1，2），
则点B关于x轴的对称点C的坐标是（1，﹣2），
故选：A．
【点评】此题主要考查了坐标与图形变化﹣平移，以及关于x轴对称点的坐标，关键是掌握点的坐标变化规律．
10．（3分）已知是方程x+my＝3的解，则m的值为（　　）
A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣2
【分析】将代入原方程，可得出关于m的一元一次方程，解之即可得出m的值．
【解答】解：将代入原方程得1﹣2m＝3，
解得：m＝﹣1，
∴m的值为﹣1．
故选：B．
【点评】本题考查了二元一次方程的解，牢记“一般地，使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解”是解题的关键．
11．（3分）茶叶作为浙江省农业十大主导产业之一，是助力乡村振兴的民生产业．某村有土地60公顷，计划将其中10%的土地种植蔬菜，其余的土地开辟为茶园和种植粮食，已知茶园的面积比种粮食面积的2倍少3公顷，问茶园和种粮食的面积各多少公顷？设茶园的面积为x公顷，种粮食的面积为y公顷，可列方程组为（　　）
A． B．
C． D．
【分析】根据“茶园的面积比种粮食面积的2倍少3公顷”和“茶园的面积与种粮食面积的和为54公顷”列方程组求解．
【解答】解：设茶园的面积为x公顷，种粮食的面积为y公顷，
由题意得：，
故选：B．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，找到相等关系是解题的关键．
12．（3分）如图，已知AB∥CD，∠BEH＝∠CFG，EI、FK分别为∠AEH、∠CFG的角平分线，FK⊥FJ，则下列说法正确的有（　　）个．
①EH∥GF
②∠CFK＝∠H
③FJ平分∠GFD
④∠AEI+∠GFK＝90°

A．4 B．3 C．2 D．1
【分析】延长EH交CD于M，由AB∥CD，可得∠BEH＝∠EMC，由∠BEH＝∠CFG，可得∠EMC＝∠CFG，EH∥GF，进而可判断①的正误；由EI、FK分别为∠AEH、∠CFG的角平分线，则，，如图，过I作IP∥AB，则IP∥CD，有，，根据，可得＝90°，可得∠AEI+∠GFK＝∠EIF＝90°，进而可判断④的正误；由FK⊥FJ，可知∠KFJ＝90°，∠GFK+∠GFJ＝90°，由∠CFK+∠KFJ+∠DFJ＝180°，可得∠DFJ＝180°﹣∠CFK﹣∠KFJ＝90°﹣∠CFK＝∠GFJ，进而可判断③的正误；由EH∥GF，可知∠H＝∠G，由于GH与FK的位置关系不确定，可知∠GFK与∠G的大小关系不确定，则∠CFK＝∠H不一定成立，进而可判断②的正误，进而可得答案．
【解答】解：如图，延长EH交CD于M，

∵AB∥CD，
∴∠BEH＝∠EMC，
∵∠BEH＝∠CFG，
∴∠EMC＝∠CFG，
∴EH∥GF，
∴①正确，故该选项符合题意；
∵EI、FK分别为∠AEH、∠CFG的角平分线，
∴，，
过I作IP∥AB，
∴IP∥CD，
∴，，
∵，
∴＝，
＝＝90°，
∴∠AEI+∠GFK＝∠EIP+∠PIF＝∠EIF＝90°，
∴④正确，故该选项符合题意；
∵FK⊥FJ，
∴∠KFJ＝90°，∠GFK+∠GFJ＝90°，
∵∠CFK+∠KFJ+∠DFJ＝180°，
∴∠DFJ＝180°﹣∠CFK﹣∠KFJ＝90°﹣∠CFK＝90°﹣∠GFK＝∠GFJ，
∴FJ平分∠GFD，
∴③正确，故该选项符合题意；
∵EH∥GF，
∴∠H＝∠G，
∵GH与FK的位置关系不确定，
∴∠GFK与∠G的大小关系不确定，
∴∠CFK＝∠H不一定成立，
∴②错误，故该选项不符合题意；
∴正确的共有3个，
故选B．
【点评】本题考查了两直线平行，内错角相等；同位角相等，两直线平行；角平分线，两直线平行，同旁内角互补等知识．解题的关键在于对平行线的判定与性质的熟练掌握与灵活运用．
二、填空题（3分每题，共4个小题，共12分）
13．（3分）一个正方体的体积为27，则它的棱长为 　3　．
【分析】根据正方体的体积公式计算．
【解答】解：∵正方体的体积为27，
∴它的棱长为：＝3，
故答案为：3．
【点评】题主要考查了立方根的概念，掌握立方根的性质是解题关键．
14．（3分）在数轴上离原点的距离为的点表示的数是 　±3　．
【分析】由数轴上两点之间的距离的含义可得答案．
【解答】解：在数轴上，到原点的距离等于的点表示的数是．
故答案为：．
【点评】本题考查的是实数与数轴，数轴上两点之间的距离，理解题意是解本题的关键．
15．（3分）若方程组的解满足x+y＞0，则m的取值范围是　m＞﹣1　．
【分析】两个方程相加得6x+6y＝6m+6，则x+y＝m+1，由x+y＞0可得关于m的不等式，解之可得．
【解答】解：两个方程相加得6x+6y＝6m+6，
则x+y＝m+1，
∵x+y＞0，
∴m+1＞0，
解得m＞﹣1，
故答案为：m＞﹣1．
【点评】本题主要考查解一元一次不等式的基本能力，严格遵循解不等式的基本步骤是关键，尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变．
16．（3分）如图，正方形A1A2A3A4、A5A6A7A8、A9A10A11A12、…，（每个正方形从第三象限的顶点开始，按顺时针方向顺序，依次记为A1，A2，A3，A4，A5，A6，A7，A8，A9，A10，A11，A12，…）正方形的中心均在坐标原点O，各边均与x轴或y轴平行，若它们的边长依次是2，4，6，…，则顶点A2023的坐标为 　（506，506）　．

【分析】观察图形，由第四象限点的坐标的变化可得出“点A4n+3的坐标为（n+1，n+1）（n为正整数）”，再结合2023＝4×505……3，即可求出点A2023的坐标．
【解答】解：观察图形，可知：点A1的坐标为（﹣1，﹣1），A2的坐标为（﹣1，1），A3的坐标为（1，1），点A4的坐标为（1，﹣1），点A5的坐标为（﹣2，﹣2），点A6的坐标为（2，﹣2），……
∴点A4n+1的坐标为（﹣n﹣1，﹣n﹣1）（n为正整数）点A4n+2的坐标为（﹣n﹣1，n+1）（n为正整数）点A4n+3的坐标为（n+1，n+1）（n为正整数），点A4n+4的坐标为（n+1，﹣n﹣1）（n为正整数），
又∵2023＝4×505……3，
∴点A2023的坐标为（506，506）．
故答案为：（506，506）．
【点评】本题考查了规律型：点的坐标，由第四象限点的坐标的变化找出变化规律“点A4n+3的坐标为（n+1，n+1）（n为正整数）”是解题的关键．
三、解答题（本大题共3个小题，共18分）
17．（6分）计算：．
【分析】先进行乘方运算、立方根运算、算术平方根运算，再进行乘法和加减运算即可求解．
【解答】解：原式＝﹣1+4﹣4×3
＝﹣1+4﹣12
＝﹣9．
【点评】本题考查实数的混合运算，熟练掌握相关计算的运算法则是解答的关键．
18．（6分）已知|x|＝3，，且x＞y，求2x﹣4y的值．
【分析】根据题意求出符合条件的未知数的值，然后代入代数式求解即可．
【解答】解：∵|x|＝3，，
∴x＝±3，，
∵x＞y，
∴x＝3，，
当x＝3，时，；
当x＝3，时，；
∴代数式2x﹣4y的值为4或8．
【点评】本题主要考查绝对值的意义、平方根及代数式的值，熟练掌握绝对值的意义、平方根及代数式的值是解题的关键．
19．（6分）解方程组：
【分析】方程组利用加减消元法求出解即可．
【解答】解：，
由②﹣①，得2x＝4，
解这个方程，得x＝2，
把x＝2代入①，得2+y＝1，
解得：y＝﹣1，
所以这个方程组的解为．
【点评】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．
四、解答题（本大题共2个小题，共14分）
20．（7分）某校在初二年级开设了素描、舞蹈、合唱、魔方四个社团，为了解学生最喜欢哪一个社团，随机抽取了部分学生进行调查，并将调查结果绘制成了如下两幅不完整的统计图，请根据统计图回答下列问题：
​
（1）本次抽样调查的样本容量是 　300　；
（2）请将条形统计图补充完整；
（3）已知该校初二年级共有学生800人，根据调查结果估计该校喜欢合唱和舞蹈社团的学生共有多少人．
【分析】（1）从两个统计图可知，“魔方”的频数是90，占调查人数的30%，可求出调查人数，即样本容量；
（2）求出“合唱”“舞蹈”人数，即可补全条形统计图；
（3）样本中，喜欢合唱和舞蹈社团占调查人数的，因此估计总体900人的是喜欢合唱和舞蹈社团的人数．
【解答】解：（1）90÷30%＝300，
故答案为：300；
（2）合唱人数：300×10%＝30（人），
舞蹈人数：300﹣120﹣90﹣30＝60（人），
补全条形统计图如图所示：

（3）800×＝240（人），
答：该校喜欢合唱和舞蹈社团的学生共有240人．
【点评】本题考查条形统计图、扇形统计图的意义和制作方法，理解和掌握统计图中各个数量之间的关系是正确计算的前提．
21．（7分）解不等式组，并在数轴上表示出它的解集．
【分析】分别求出每个不等式的解集，即可得到不等式组的解集，然后在数轴上表示出其解集即可．
【解答】解：，
∵解不等式①得：x≥﹣2，
解不等式②得：x＞3，
∴不等式组的解集为x＞3．
数轴表示如下：
．
【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
五、解答题（本大题共2个小题，共16分）
22．（8分）如图，AB⊥BF，CD⊥BF，∠1＝∠2，试说明∠3＝∠E．
证明：∵AB⊥BF，CD⊥BF（已知），
∴∠ABD＝∠　CDF　＝　90　°（垂直定义），
∴　AB　∥　CD　（ 　同位角相等，两直线平行　）．
∵∠1＝∠2（ 　已知　），
∴　AB　∥　EF　（ 　内错角相等，两直线平行　），
∴CD∥　EF　（平行于同一直线的两条直线互相平行），
∴∠3＝∠E（ 　两直线平行，同位角相等　）．

【分析】根据垂直的定义、平行线的性质和平行线的判定求解即可．
【解答】证明：∵AB⊥BF，CD⊥BF（已知），
∴∠ABD＝∠CDF＝90°（垂直定义），
∴AB∥CD（同位角相等，两直线平行）．
∵∠1＝∠2（已知），
∴AB∥EF（内错角相等，两直线平行），
∴CD∥EF（平行于同一直线的两条直线互相平行），
∴∠3＝∠E（两直线平行，同位角相等）．
故答案为：CDF，90；AB，CD，同位角相等，两直线平行；已知；AB，EF，内错角相等，两直线平行；EF；两直线平行，同位角相等．
【点评】本题考查了平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的判定与性质是解题的关键．
23．（8分）如图，在平面直角坐标系中，三角形ABC的顶点都在网格格点上，其中B点坐标为（7，4）．
（1）请写出点A，点C的坐标；
（2）将△ABC先向左平移3个单位长度，再向上平移4个单位长度，得到△A′B′C′．请画出平移后的三角形，并写出△A′B′C′的三个顶点的坐标；
（3）求△ABC的面积．

【分析】（1）根据平面直角坐标系即可写出点A，点C的坐标；
（2）根据平移的性质即可将△ABC先向左平移3个单位长度，再向上平移4个单位长度，得到△A′B′C′．进而写出△A′B′C′的三个顶点的坐标；
（3）根据网格即可求△ABC的面积．
【解答】解：（1）A（4，﹣1），C（3，3）；
（2）如图△ABC与△A′B′C'即为所求；


A′（1，3），B′（4，8），C′（0，7）；
（3）（3）．
【点评】本题考查了作图﹣平移变换，解决本题的关键是掌握平移的性质．
六、解答题（本大题共2个小题，共24分）
24．（12分）为了全面推进素质教育．增强学生体质，丰富校园文化生活，我校将举行春季特色运动会，需购买A，B两种奖品，经市场调查，若购买A种奖品3件和B种奖品2件，共需60元；若购买A种奖品1件和B种奖品3件，共需55元．
（1）求A、B两种奖品的单价各是多少元；
（2）运动会组委会计划购买A、B两种奖品共100件，购买费用不超过1160元，且A种奖品的数量不大于B种奖品数量的3倍，运动会组委会共有几种购买方案？并求出最小总费用．
【分析】（1）设A种奖品的单价为x元，B种奖品的单价为y元，根据“若购买A种奖品3件和B种奖品2件，共需60元：若购买A种奖品1件和B种奖品3件，共需55元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设运动会组委会购进m件A种奖品，则购进（100﹣m）件B种奖品，根据购买费用不超过1160元且A种奖品的数量不大于B种奖品数量的3倍，即可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出m的取值范围，再结合m为正整数即可得出购买方案的个数；由A，B两种奖品单价间的关系，可找出购买奖品总费用最少的方案，再利用总价＝单价×数量可求出最小总费用．
【解答】解：（1）设A种奖品的单价为x元，B种奖品的单价为y元，
依题意，得：，
解得：．
答：A种奖品的单价为10元，B种奖品的单价为15元．
（2）设运动会组委会购进m件A种奖品，则购进（100﹣m）件B种奖品，
依题意，得：，
解得：68≤m≤75，
75﹣68+1＝8（种）．
答：运动会组委会共有8种购买方案．
∵10＜15，
∴A种奖品的单价较低，
∴当m＝75时，购买奖品总费用最少，最少费用为10×75+15×（100﹣75）＝1125（元）．
答：购买75件A种奖品，25件B种奖品时，购买奖品总费用最少，最少费用为1125元．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组；（3）根据两种奖品单价间的关系，找出购买奖品总费用最少的方案．
25．（12分）如图，已知直线AB∥CD，直线L和直线AB，CD分别交于点E，F，直线L上有一动点P．
（1）如图1，点P在E，F之间运动时，∠PMB，∠MPN，∠PND之间有什么关系，并说明理由；
（2）若点P在E，F两点外侧运动时，如图2和图3（P点与E，F不重合），试直接写出∠PMB，∠MPN，∠PND之间有什么关系，不必写理由．

【分析】（1）作PG∥AB，如图1，先判断CD∥PG，再利用平行线的性质得到∠AMB+∠MPG＝180°，∠PND+∠NPG＝180°，两式相加得到∠PMB+∠MPN+∠PND＝360°；
（2）作PG∥AB，同样得到∠AMB+∠MPG＝180°，∠PND+∠NPG＝180°，两式相减，在图2中得到∠MPN＝∠PMB﹣∠PND；在图3中得到∠MPN＝∠PND﹣∠PMB．
【解答】解：（1）∠PMB+∠MPN+∠PND＝360°．
理由如下：
作PG∥AB，如图1，
∵AB∥CD，
∴CD∥PG，
∴∠AMB+∠MPG＝180°，∠PND+∠NPG＝180°，
∴∠AMB+∠MPG+∠PND+∠NPG＝360°，
即∠PMB+∠MPN+∠PND＝360°；
（2）作PG∥AB，
∵AB∥CD，
∴CD∥PG，
∴∠AMB+∠MPG＝180°，∠PND+∠NPG＝180°，
即∠MPG＝180°﹣∠AMB，∠NPG＝180°﹣∠PND，
在图2中，∠NPG﹣∠MPG＝∠PMB﹣∠PND，
即∠MPN＝∠PMB﹣∠PND；
在图3中，∠MPG﹣∠NPG＝∠PND﹣∠PMB，
即∠MPN＝∠PND﹣∠PMB，
综上所述，∠MPN＝∠PMB﹣∠PND或∠MPN＝∠PND﹣∠PMB，


【点评】本题考查了平行线的性质：两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等．
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