2023新教材高中数学第1章空间向量与立体几何1.4空间向量的应用1.4.2用空间向量研究距离夹角问题第2课时用空间向量研究夹角问题教师用书新人教A版选择性必修第一册

第2课时　用空间向量研究夹角问题1．能用向量语言表述线线、线面、平面与平面的夹角．(重点、易混点)2．能用向量方法解决线线、线面、平面与平面的夹角问题．(重点、难点)3．能描述用向量方法解决夹角问题的程序，体会向量方法在研究几何问题中的作用．1．通过学习线线、线面、平面与平面的向量表示，提升直观想象素养．2．通过利用向量方法解决线线、线面、平面与平面的夹角问题，提升逻辑推理和数学运算素养． 在必修教材的课程中，我们学习过异面直线所成的角、直线与平面相交所成的角，以及两个平面相交所成的二面角．那么，在空间中怎样描述这些角呢？这些角的大小与直线的方向向量、平面的法向量有何关系？知识点1　利用向量方法求两条异面直线所成的角若异面直线l1，l2所成的角为θ，其方向向量分别是u，v，则cos θ＝|cos〈u，v〉|＝＝．1．两条异面直线所成的角和两条异面直线的方向向量的夹角有什么关系？[提示]　设两条异面直线所成的角为θ，两条异面直线的方向向量为v1，v2，则θ＝〈v1，v2〉或θ＝π－〈v1，v2〉．1．设v1＝(1,2，－2)，v2＝(－2,3,2)分别是空间中直线l1，l2的方向向量，则直线l1，l2所成的角θ＝________．　[|v1|＝3，|v2|＝，v1·v2＝1×(－2)＋2×3＋(－2)×2＝0，∴cos θ＝＝0，∴θ＝．]知识点2　利用向量方法求直线与平面所成的角直线AB与平面α相交于点B，设直线AB与平面α所成的角为θ，直线AB的方向向量为u，平面α的法向量为n，则sin θ＝|cos〈u，n〉|＝＝．2．设直线与平面所成的角为θ，直线的方向向量为v1，平面的法向量为n，则θ与〈v，n〉有什么关系？[提示]　θ＝－〈v，n〉或θ＝〈v，n〉－．2．若直线l的方向向量与平面α的法向量的夹角等于120°，则直线l与平面α所成的角等于(　　)A．120°　 　B．60°　 　C．150°　 　D．30°D　[直线l和平面α所成的角为120°－90°＝30°，故选D．]知识点3　利用向量方法求两个平面的夹角(1)平面α与平面β的夹角：平面α与平面β相交，形成四个二面角，我们把这四个二面角中不大于90°的二面角称为平面α与平面β的夹角．(2)若平面α，β的法向量分别是n1和n2，则平面α与平面β的夹角即为向量n1和n2的夹角或其补角，设平面α与平面β的夹角为θ，则cos θ＝|cos〈n1，n2〉|＝＝．3．设n1，n2分别是平面α1，α2的一个法向量，平面α1与平面α2的夹角为θ，则θ与〈n1，n2〉的关系是什么？[提示]　θ＝〈n1，n2〉或θ＝π－〈n1，n2〉．3．平面α的一个法向量为n1＝，平面β的一个法向量为n2＝，那么平面α与平面β的夹角等于(　　)A．120°    B．30°    C．60°    D．30°或150°B　[cos〈n1，n2〉＝＝－，设α与β的夹角为θ，则cos θ＝|cos〈n1，n2〉|＝，所以θ＝30°．] 类型1　两条异面直线所成的角【例1】　(对接教材P36例题)如图，在三棱柱OAB­O1A1B1中，平面OBB1O1⊥平面OAB，∠O1OB＝60°，∠AOB＝90°，且OB＝OO1＝2，OA＝，求异面直线A1B与AO1所成角的余弦值．[解]　以O为坐标原点，，的方向为x轴，y轴的正方向．建立如图所示的空间直角坐标系，则O(0,0,0)，O1(0,1，)，A(，0,0)，A1(，1，)，B(0,2,0)，∴＝(－，1，－)，＝(，－1，－)．∴|cos〈，〉|＝＝＝．∴异面直线A1B与AO1所成角的余弦值为．求异面直线夹角的步骤(1)确定两条异面直线的方向向量．(2)确定两个向量夹角的余弦值的绝对值．(3)得出两条异面直线所成的角．1．如图所示，在正方形ABCD­A1B1C1D1中，已知M，N分别是BD和AD的中点，则B1M与D1N所成角的余弦值为(　　)A．　　　　　　　 B．C．   D．A　[建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，则B1(2,2,2)，M(1，1,0)，D1(0,0,2)，N(1,0,0)，∴＝(－1，－1，－2)，＝(1,0，－2)，∴cos〈，〉＝＝．] 类型2　直线与平面所成的角【例2】　(2021·浙江高考)如图，在四棱锥P­ABCD中，底面ABCD是平行四边形，∠ABC＝120°，AB＝1，BC＝4，PA＝，M，N分别为BC，PC的中点，PD⊥DC，PM⊥MD．(1)证明：AB⊥PM；(2)求直线AN与平面PDM所成角的正弦值．[解]　(1)证明：因为底面ABCD是平行四边形，∠ABC＝120°，BC＝4，AB＝1，且M为BC的中点，所以CM＝2，CD＝1，∠DCM＝60°，易得CD⊥DM．又PD⊥DC，且PD∩DM＝D，PD，DM⊂平面PDM，所以CD⊥平面PDM．因为AB∥CD，所以AB⊥平面PDM．又PM⊂平面PDM，所以AB⊥PM．(2)法一：由(1)知AB⊥平面PDM，所以∠NAB为直线AN与平面PDM所成角的余角．连接AM，因为PM⊥MD，PM⊥DC，所以PM⊥平面ABCD，所以PM⊥AM．因为∠ABC＝120°，AB＝1，BM＝2，所以由余弦定理得AM＝，又PA＝，所以PM＝2，所以PB＝PC＝2，连接BN，结合余弦定理得BN＝．连接AC，则由余弦定理得AC＝，在△PAC中，结合余弦定理得PA2＋AC2＝2AN2＋2PN2，所以AN＝．所以在△ABN中，cos∠BAN＝＝＝．设直线AN与平面PDM所成的角为θ，则sin θ＝cos∠BAN＝．法二：因为PM⊥MD，PM⊥DC，所以PM⊥平面ABCD．连接AM，则PM⊥AM．因为∠ABC＝120°，AB＝1，BM＝2，所以AM＝，又PA＝，所以PM＝2．由(1)知CD⊥DM，过点M作ME∥CD交AD于点E，则ME⊥MD．故以M为坐标原点，MD，ME，MP所在直线分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则A(－，2,0)，P(0,0,2)，C(，－1,0)，所以N，所以＝．易知平面PDM的一个法向量为n＝(0,1,0)．设直线AN与平面PDM所成的角为θ，则sin θ＝|cos〈，n〉|＝＝＝．试总结求直线与平面所成角的思路与步骤[提示]　思路一：找直线在平面内的投影，充分利用面与面垂直的性质及解三角形知识可求得夹角(或夹角的某一三角函数值)；思路二：用向量法求直线与平面所成角可利用向量夹角公式或法向量．利用法向量求直线与平面所成角的基本步骤：①建立空间直角坐标系；②求直线的方向向量；③求平面的法向量n；④计算：设线面角为θ，则sin θ＝．2．(2020·全国卷Ⅱ)如图，已知三棱柱ABC­A1B1C1的底面是正三角形，侧面BB1C1C是矩形，M，N分别为BC，B1C1的中点，P为AM上一点，过B1C1和P的平面交AB于E，交AC于F．(1)证明：AA1∥MN，且平面A1AMN⊥平面EB1C1F；(2)设O为△A1B1C1的中心．若AO∥平面EB1C1F，且AO＝AB，求直线B1E与平面A1AMN所成角的正弦值．[解]　(1)证明：因为M，N分别为BC，B1C1的中点，所以MN∥CC1．又由已知得AA1∥CC1，故AA1∥MN．因为△A1B1C1是正三角形，所以B1C1⊥A1N．又B1C1⊥MN，故B1C1⊥平面A1AMN．所以平面A1AMN⊥平面EB1C1F．(2)由已知得AM⊥BC．以M为坐标原点，的方向为x轴正方向，||为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系Mxyz，则AB＝2，AM＝．连接NP，则四边形AONP为平行四边形，故PM＝，E．由(1)知平面A1AMN⊥平面ABC，作NQ⊥AM，垂足为Q，则NQ⊥平面ABC．设Q(a,0,0)，则NQ＝，B1，故＝，||＝．又n＝(0，－1,0)是平面A1AMN的一个法向量，故sin＝cos〈n，〉＝＝．所以直线B1E与平面A1AMN所成角的正弦值为． 类型3　两个平面的夹角【例3】　(2021·新高考Ⅰ卷改编)如图，在三棱锥A­BCD中，平面ABD⊥平面BCD，AB＝AD，O为BD的中点．(1)证明：OA⊥CD；(2)若△OCD是边长为1的等边三角形，点E在棱AD上，DE＝2EA，且平面EBC与平面DBC的夹角为45°，求三棱锥A­BCD的体积．[解]　(1)证明：因为AB＝AD，O为BD的中点，所以OA⊥BD，又平面ABD⊥平面BCD，且平面ABD∩平面BCD＝BD，AO⊂平面ABD，所以AO⊥平面BCD，又CD⊂平面BCD，所以AO⊥CD．(2)法一：因为△OCD是边长为1的正三角形，且O为BD的中点，所以OC＝OB＝OD＝1，所以△BCD是直角三角形，且∠BCD＝90°，BC＝，所以S△BCD＝．如图，过点E作EF∥AO，交BD于F，过点F作FG⊥BC，垂足为G，连接EG．因为AO⊥平面BCD，所以EF⊥平面BCD，又BC⊂平面BCD，所以EF⊥BC，又FG⊥BC，且EF∩FG＝F，EF，FG⊂平面EFG，所以BC⊥平面EFG，则∠EGF为平面EBC与平面DBC的夹角，所以∠EGF＝45°，则GF＝EF．因为DE＝2EA，所以EF＝OA，DF＝2OF，所以＝2．因为FG⊥BC，CD⊥BC，所以GF∥CD，则＝，所以GF＝．所以EF＝GF＝，所以OA＝1，所以VA­BCD＝S△BCD·AO＝××1＝．法二：如图所示，以O为坐标原点，OB，OA所在直线分别为x，z轴，在平面BCD内，以过点O且与BD垂直的直线为y轴建立空间直角坐标系．因为△OCD是边长为1的正三角形，且O为BD的中点，所以OC＝OB＝OD＝1，所以B(1,0,0)，D(－1,0,0)，C．设A(0,0，a)，a＞0，因为DE＝2EA，所以E．由题意可知平面BCD的一个法向量为n＝(0,0,1)．设平面BCE的法向量为m＝(x，y，z)，因为＝，＝，所以即令x＝1，则y＝，z＝，所以m＝．因为平面EBC与平面DBC的夹角为45°，所以cos 45°＝＝＝，得a＝1，即OA＝1．因为S△BCD＝BD·CDsin 60°＝×2×1×＝，所以VA­BCD＝S△BCD·OA＝××1＝．利用坐标法求两平面夹角的步骤(1)建立空间直角坐标系；(2)分别求出二面角的两个半平面所在平面的法向量；(3)求两个法向量的夹角；(4)法向量夹角或其补角就是两平面的夹角(不大于90°的角)．3．(2021·全国乙卷改编)如图，四棱锥P­ABCD的底面是矩形，PD⊥底面ABCD，PD＝DC＝1，M为BC的中点，且PB⊥AM．(1)求BC；(2)求平面APM与平面PMB夹角的正弦值．[解]　(1)因为PD⊥平面ABCD，所以PD⊥AD，PD⊥DC．在矩形ABCD中，AD⊥DC，故以点D为坐标原点建立空间直角坐标系如图所示．设BC＝t，则A(t,0,0)，B(t,1,0)，M，P(0,0,1)，所以＝(t,1，－1)，＝．因为PB⊥AM，所以·＝－＋1＝0，得t＝，所以BC＝．(2)易知C(0,1,0)，由(1)可得＝(－，0,1)，＝，＝(，0,0)，＝(，1，－1)．设平面APM的法向量为n1＝(x1，y1，z1)，则即令x1＝，则z1＝2，y1＝1，所以平面APM的一个法向量为n1＝(，1,2)．设平面PMB的法向量为n2＝(x2，y2，z2)，则即得x2＝0，令y2＝1，则z2＝1，所以平面PMB的一个法向量为n2＝(0,1,1)．cos〈n1，n2〉＝＝＝，所以平面APM与平面PMB夹角的正弦值为．1．若异面直线l1的方向向量与l2的方向向量的夹角为，则l1与l2所成的角为(　　)A．　　B．　　C．或　　D．以上均不对A　[l1与l2所成的角与其方向向量的夹角相等或互补，且异面直线所成角的范围为，故选A．]2．已知向量m，n分别是直线l与平面α的方向向量、法向量，若cos〈m，n〉＝－，则l与α所成的角为(　　)A．30°    B．60°    C．150°    D．120°B　[设l与α所成的角为θ，则sin θ＝|cos〈m，n〉|＝，∴θ＝60°，故选B．]3．在一个二面角的两个半平面内都和二面角的棱垂直的两个向量分别为(0，－1,3)，(2,2,4)，则这个二面角的余弦值为(　　)A．   B．－C．   D．或－D　[因为＝，所以这个二面角的余弦值为或－．]4．如图所示，点A，B，C分别在空间直角坐标系Oxyz的三条坐标轴上，＝(0,0,2)，平面ABC的一个法向量为n＝(2,1,2)，平面ABC与平面ABO的夹角为θ，则cos θ＝________．　[cos θ＝＝＝．]5．正方体ABCD­A1B1C1D1中，BB1与平面ACD1所成角的正弦值为________．　[设正方体的棱长为1，建立空间直角坐标系如图．则D(0,0,0)，B(1,1,0)，B1(1,1,1)．平面ACD1的一个法向量为＝(1,1,1)．又＝(0,0,1)，则cos〈，〉＝＝＝．即BB1与平面ACD1所成角的正弦值为．回顾本节知识，自主完成以下问题：1．用向量语言表述两条异面直线所成的角．[提示]　若异面直线l1，l2所成的角为θ，其方向向量分别为u，v，则cos θ＝|cos〈u，v〉|＝．2．用向量语言表述直线和平面所成的角．[提示]　直线l和平面α所成的角为θ，直线l的方向向量为u，平面α的法向量为n，则sin θ＝|cos〈u，n〉|＝．3．用向量语言表述平面和平面的夹角．[提示]　平面α与平面β的夹角为θ，其法向量分别为n1，n2，则cos θ＝|cos〈n1，n2〉|＝．4．试总结用坐标法求两平面的夹角的步骤．[提示]　(1)建立空间直角坐标系，求出相应点的坐标．(2)求出两个平面的法向量．(3)求出两个法向量的夹角．(4)两个法向量的夹角或其补角就是两平面的夹角．