2023新教材高中数学第1章空间向量与立体几何1.4空间向量的应用1.4.1用空间向量研究直线平面的位置关系第3课时空间中直线平面的垂直教师用书新人教A版选择性必修第一册

第3课时　空间中直线、平面的垂直1．能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直关系．2．熟练掌握用方向向量、法向量证明线线、线面、面面间的垂直关系．(重点、难点)借助用空间向量证明线面和面面垂直的学习，提升数学运算和逻辑推理素养． 因为方向向量和法向量可以确定直线和平面的位置，那么我们就可以利用空间直线的方向向量和平面的法向量表示空间直线、平面间的平行和垂直问题．上节课我们研究了平行问题，下面我们来研究一下垂直问题．知识点　空间中直线、平面垂直的向量表达式位置关系向量表达式线线垂直设直线l1，l2的方向向量分别为μ1，μ2，则l1⊥l2⇔μ1⊥μ2⇔μ1·μ2＝0线面垂直设直线l的方向向量为μ，平面α的法向量为n，则l⊥α⇔μ∥n⇔∃λ∈R，使得μ＝λn面面垂直设平面α，β的法向量分别为n1，n2，则α⊥β⇔n1⊥n2⇔n1·n2＝0思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若两条直线的方向向量的数量积为0，则这两条直线一定垂直相交．                             (　　)(2)若一直线与平面垂直，则该直线的方向向量与平面内的所有直线的方向向量的数量积为0．                            (　　)(3)两个平面垂直，则其中一平面内的直线的方向向量与另一平面内的直线的方向向量垂直．                            (　　)(4)若两平面α，β的法向量分别为μ1＝(1,0,1)，μ2＝(0,2,0)，则平面α，β互相垂直．                            (　　)[提示]　(1)×　两条直线可能异面垂直．(2)√　根据线面垂直的定义可知．(3)×　也可能平行．(4)√　由μ1·μ2＝0知μ1⊥μ2，从而α⊥β． 类型1　直线和直线垂直【例1】　(对接教材P32例4)如图，△ABC和△BCD所在平面互相垂直，且AB＝BC＝BD＝2，∠ABC＝∠DBC＝120°，E，F分别为AC，DC的中点．求证：EF⊥BC．[证明]　法一：(基底法)设＝a，＝b，＝c，则{a，b，c}为空间的一个基底．∵AE＝EC，DF＝FC，∴EF∥AD，且EF＝AD，∴＝＝＝(c－a)．又＝b，AB＝BC＝BD＝2，∠ABC＝∠DBC＝120°，∴·＝(c－a)·b＝(c·b－a·b)＝0，∴⊥，∴EF⊥BC．法二：(坐标法)由题意，以点B为坐标原点，在平面DBC内过点B作垂直于BC的直线为x轴，BC所在直线为y轴，在平面ABC内过点B作垂直BC的直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，易得B(0,0,0)，A(0，－1，)，D(，－1,0)，C(0,2,0)，所以E，F，所以＝，＝(0,2,0)，因此·＝0，从而⊥，所以EF⊥BC．用向量法证明直线与直线垂直的方法和步骤(1)基底法：①选取三个不共面的已知向量(通常是它们的模及其两两夹角为已知)为空间的一个基底；②把两直线的方向向量用基底表示；③利用向量的数量积运算，计算出两直线的方向向量的数量积为0；④由方向向量垂直得到两直线垂直．(2)坐标法：①根据已知条件和图形特征，建立适当的空间直角坐标系，正确地写出各点的坐标；②根据所求出点的坐标求出两直线方向向量的坐标；③计算两直线方向向量的数量积为0；④由方向向量垂直得到两直线垂直．1．已知正三棱柱ABC­A1B1C1的各棱长都为1，M是底面上BC边的中点，N是侧棱CC1上的点，且CN＝CC1．求证：AB1⊥MN．[证明]　设AB的中点为O，作OO1∥AA1．以O为坐标原点，OB所在直线为x轴，OC所在直线为y轴，OO1所在直线为z轴建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz．由已知得A，B，C，N，B1，∵M为BC的中点，∴M．∴＝，＝(1,0,1)，∴·＝－＋0＋＝0．∴⊥，∴AB1⊥MN． 类型2　直线和平面垂直【例2】　如图，在四棱锥P­ABCD中，PA⊥底面ABCD，垂足为A，AB⊥AD，垂足为A，AC⊥CD，垂足为C，∠ABC＝60°，PA＝AB＝BC，E是PC的中点．(1)求证：AE⊥CD；(2)求证：PD⊥平面ABE．证明线面垂直，可以证明直线的方向向量与平面的法向量平行，若不求平面的法向量，可用什么方法证明线面垂直？[证明]　(1)如图，以A为坐标原点建立空间直角坐标系，设PA＝AB＝BC＝1，则A(0，0,0)，B(1,0,0)，P(0,0,1)．因为∠ABC＝60°，AB＝BC，所以△ABC为正三角形．所以C，E．设D(0，y,0)，由AC⊥CD得·＝0，则y＝，则D，所以＝．又＝，所以·＝－×＋×＝0，所以⊥，即AE⊥CD．(2)法一：由(1)知＝(1,0,0)，＝，设平面ABE的一个法向量为n＝(x，y，z)，则即令y＝2，则n＝(0,2，－)．又＝，显然＝n，所以∥n，所以⊥平面ABE，即PD⊥平面ABE．法二：由(1)知＝，＝．又·＝×＋×(－1)＝0，所以⊥，即PD⊥AE．由(1)知＝(1,0,0)，所以·＝0，所以PD⊥AB．又AB∩AE＝A，所以PD⊥平面ABE．证明直线与平面垂直的方法(1)选基底，将相关向量用基底表示出来，然后利用向量的计算来证明．(2)建立空间直角坐标系，利用坐标将向量的运算转化为实数(坐标)的运算，以达到证明的目的．2．如图所示，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E，F分别是BB1，D1B1的中点．求证：EF⊥平面B1AC．[证明]　法一：设＝a，＝c，＝b，则＝＋＝(＋)＝(＋)＝(＋－)＝(－a＋b＋c)．∵＝＋＝a＋b，∴·＝(－a＋b＋c)·(a＋b)＝(b2－a2＋c·a＋c·b)＝(|b|2－|a|2＋0＋0)＝0．∴⊥，即EF⊥AB1．同理，EF⊥B1C．又AB1∩B1C＝B1，AB1，B1C⊂平面B1AC，∴EF⊥平面B1AC．法二：设正方体的棱长为2，以D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则A(2,0,0)，C(0,2,0)，B1(2,2,2)，E(2,2,1)，F(1,1,2)．∴＝(－1，－1,1)，＝(0,2,2)，＝(－2,2,0)．∴·＝(－1，－1,1)·(0,2,2)＝(－1)×0＋(－1)×2＋1×2＝0，·＝(－1，－1,1)·(－2,2,0)＝2－2＋0＝0，∴⊥，⊥，∴EF⊥AB1，EF⊥AC．又AB1∩AC＝A，AB1，AC⊂平面B1AC，∴EF⊥平面B1AC．法三：由法二得＝(0,2,2)，＝(－2,2,0)，＝(－1，－1,1)．设平面B1AC的法向量n＝(x，y，z)，则·n＝0，·n＝0，即取x＝1，则y＝1，z＝－1，∴n＝(1,1，－1)，∴＝－n，∴∥n，∴EF⊥平面B1AC． 类型3　平面和平面垂直【例3】　如图所示，在直三棱柱ABC­A1B1C1中，AB⊥BC，AB＝BC＝2，BB1＝1，E为BB1的中点，证明：平面AEC1⊥平面AA1C1C．[证明]　由题意得AB，BC，B1B两两垂直．以B为原点，BA，BC，BB1分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系．则A(2,0,0)，A1(2,0,1)，C(0,2,0)，C1(0,2,1)，E，则＝(0,0,1)，＝z(－2，2,0)，＝(－2,2,1)，＝．法一：(利用平面的法向量)设平面AA1C1C的一个法向量为n1＝(x1，y1，z1)．则⇒令x1＝1，得y1＝1．∴n1＝(1,1,0)．设平面AEC1的一个法向量为n2＝(x2，y2，z2)．则⇒令z2＝4，得x2＝1，y2＝－1．∴n2＝(1，－1,4)．∵n1·n2＝1×1＋1×(－1)＋0×4＝0．∴n1⊥n2，∴平面AEC1⊥平面AA1C1C．法二：(利用线面垂直)取AC1的中点D，连接ED(图略)．则D，＝(1,1,0)，∴·＝0，·＝0，∴ED⊥AC1，ED⊥AC，又AC1∩AC＝A，AC1，AC⊂平面AA1C1C，∴ED⊥平面AA1C1C，又ED⊂平面AEC1，∴平面AEC1⊥平面AA1C1C．证明面面垂直的两种方法(1)常规法：利用面面垂直的判定定理转化为线面垂直、线线垂直去证明．(2)法向量法：证明两个平面的法向量互相垂直．3．在四棱锥S­ABCD中，底面ABCD是正方形，AS⊥底面ABCD，且 AS＝AB，E是SC的中点，求证：平面BDE⊥平面ABCD．[证明]　设AS＝AB＝1，建立如图所示的空间直角坐标系，则B(1,0,0)，D(0,1,0)，A(0,0,0)，C(1,1,0)，S(0,0,1)，E．法一：连接AC，交BD于点O，连接OE，则点O的坐标为．易知＝(0,0,1)，＝，∴＝，∴OE∥AS．又AS⊥底面ABCD，∴OE⊥平面ABCD．又OE⊂平面BDE，∴平面BDE⊥平面ABCD．法二：设平面BDE的法向量为n1＝(x，y，z)．易知＝(－1,1,0)，＝，∴即取x＝1，则y＝1，z＝0，可得平面BDE的一个法向量为n1＝(1,1,0)．∵AS⊥平面ABCD，∴平面ABCD的一个法向量为n2＝＝(0,0,1)．∵n1·n2＝0，∴平面BDE⊥平面ABCD．1．已知直线l1的方向向量a＝(1,2，－2)，直线l2的方向向量b＝(－2,3，m)．若l1⊥l2，则m＝(　　)A．1   B．2  C．   D．3B　[由于l1⊥l2，所以a⊥b，故a·b＝－2＋6－2m＝0，即m＝2．]2．若平面α，β的法向量分别为a＝(2，－1,0)，b＝(－1，－2，0)，则α与β的位置关系是(　　)A．平行   B．垂直C．相交但不垂直   D．无法确定B　[∵a·b＝2×(－1)＋(－1)×(－2)＝0，∴a⊥b，∴α⊥β，故选B．]3．如图，在空间直角坐标系中，正方体的棱长为2，点E是棱AB的中点，点F(0，y，z)是正方体的面AA1D1D上一点，且CF⊥B1E，则点F(0，y，z)满足方程(　　)A．y－z＝0B．2y－z－1＝0C．2y－z－2＝0D．z－1＝0D　[因为E(1,0,0)，B1(2,0,2)，C(2,2,0)，所以＝(－1,0，－2)，＝(－2，y－2，z)，因为CF⊥B1E，所以·＝0，即2－2z＝0，即z＝1．]4．设直线l的方向向量u＝(－2,2，t)，平面α的一个法向量v＝(6，－6,12)，若直线l⊥平面α，则实数t＝________．－4　[由题意知u∥v，∴＝＝，解得t＝－4．]5．如图，在长方体ABCD­A1B1C1D1中，AB＝2，AA1＝，AD＝2，P为C1D1的中点，M为BC的中点，则AM与PM的位置关系是________．PM⊥AM　[以D为原点，分别以DA，DC，DD1所在直线为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz，依题意可得，D(0,0,0)，P(0,1，)，A(2，0,0)，M(，2,0)，所以＝(，2,0)－(0,1，)＝(，1，－)，＝(，2,0)－(2，0,0)＝(－，2,0)，所以·＝(，1，－)·(－，2,0)＝0，所以PM⊥AM．]回顾本节知识，自主完成以下问题：1．两直线垂直的向量表达式是什么？[提示]　设直线l1，l2的方向向量分别为u1，u2，则l1⊥l2⇔u1⊥u2⇔u1·u2＝0．2．直线和平面垂直的向量表达式是什么？[提示]　设直线l的方向向量为u，平面α的法向量为n，则l⊥α⇔u∥n⇔∃λ∈R，使得u＝λn．3．平面和平面垂直的向量表达式是什么？[提示]　设平面α，β的法向量分别为n1，n2，则α⊥β⇔n1⊥n2⇔n1·n2＝0．4．证明线面垂直有哪些方法？[提示]　①基底法：把直线的方向向量和平面内两个不共线向量用同一个基底表示，然后再证明它们垂直．②坐标法，利用线线垂直：建立空间直角坐标系，把直线的方向向量和平面内两条不共线向量用坐标表示，再证明它们垂直．③坐标法，利用平面的法向量：建立空间直角坐标系，求出直线的方向向量和平面的法向量的坐标，然后证明它们平行．