2023新教材高中数学第1章空间向量与立体几何1.4空间向量的应用1.4.2用空间向量研究距离夹角问题第1课时距离问题教师用书新人教A版选择性必修第一册

1.4.2　用空间向量研究距离、夹角问题

第1课时　距离问题

知识点1　点P到直线l的距离

如图，直线l的单位方向向量为u，A是直线l上的定点，P是直线l外一点．设＝a，则向量在直线l上的投影向量＝(a·u)u．在Rt△APQ中，由勾股定理，得点P到直线l的距离为PQ＝＝．

如何用向量的方法求两条平行线的距离？

[提示]　两条平行线的距离可转化为其中一条直线上任一点到另一条直线的距离．

1．已知直线l过定点A(2,3,1)，且方向向量为s＝(0,1,1)，则点P(4,3,2)到l的距离d为(　　)

A．　　　B．　　　C．　　　D．

A　[＝(2,0,1)，由点到直线的距离公式得d＝＝＝．]

知识点2　点P到平面α的距离

如图，已知平面α的法向量为n，A是平面α内的定点，P是平面α外一点．过点P作平面α的垂线l，交平面α于点Q，则n是直线l的方向向量，且点P到平面α的距离就是在直线l上的投影向量的长度．因此PQ＝＝＝．

2．已知平面α的一个法向量为n＝(－2，－2，1)，点A(－1,3,0)在平面α内，则点P(－2,1,4)到平面α的距离为________．

　[由题意知，＝(－1，－2,4)，|n|＝＝3，

·n＝(－1)×(－2)＋(－2)×(－2)＋4×1＝10，

∴点P到平面α的距离为＝．]

类型1　点到直线的距离

【例1】　在长方体OABC­O1A1B1C1中，OA＝2，AB＝3，AA1＝2，求O1到直线AC的距离．

[解]　法一：建立如图所示的空间直角坐标系，则A(2,0,0)，O1(0,0,2)，C(0,3,0)，过O1作O1D⊥AC于点D．

设D(x，y,0)，则＝(x，y，－2)，＝(x－2，y,0)．

因为＝(－2,3,0)，⊥，∥，

所以解得

所以D，

所以||＝＝．

即O1到直线AC的距离为．

法二：连接AO1，建立如图所示的空间直角坐标系．

则A(2,0,0)，O1(0,0,2)，C(0,3,0)，

所以＝(－2,0,2)，＝(－2，3,0)，

所以·＝(－2,0,2)·(－2,3,0)＝4，所以＝，

所以O1到直线AC的距离

d＝＝．

用向量法求点到直线的距离的一般步骤

(1)建立空间直角坐标系，并求相应点的坐标．

(2)求出直线的方向向量a的坐标，并求|a|．

(3)求以直线上某一特殊点为起点，所求点为终点的向量b的坐标，并求|b|，计算．

(4)利用求点到直线的距离．

1．如图，在空间直角坐标系中有长方体ABCD­A′B′C′D′，AB＝1，BC＝2，AA′＝3，求点B到直线A′C的距离．

[解]　因为AB＝1，BC＝2，AA′＝3，所以A′(0,0,3)，C(1,2,0)，B(1,0,0)，所以直线A′C的方向向量＝(1,2，－3)．

＝(0，－2,0)，||＝，||2＝4，所以在上的投影向量的长度为＝，

所以点B到直线A′C的距离

d＝

＝＝．

类型2　点到平面的距离与直线到平面的距离

【例2】　(对接教材P34例题)如图，已知正方形ABCD的边长为1，PD⊥平面ABCD，且PD＝1，E，F分别为AB，BC的中点．

(1)求点D到平面PEF的距离；

(2)求直线AC到平面PEF的距离．

[解]　(1)建立如图所示的空间直角坐标系，

则D(0,0,0)，P(0,0,1)，A(1,0,0)，C(0,1,0)，E，F．

设DH⊥平面PEF，垂足为H，则

＝x＋y＋z

＝，x＋y＋z＝1，

＝，＝，

所以·＝x＋y＋－z＝x＋y－z＝0．

同理，·＝x＋y－z＝0，

又x＋y＋z＝1，解得x＝y＝，z＝．

所以＝(2,2,3)，所以||＝．

因此，点D到平面PEF的距离为．

(2)由题意得，AC∥EF，直线AC到平面PEF的距离即为点A到平面PEF的距离，由(1)知＝，

平面PEF的一个法向量为n＝(2,2,3)，

所求距离为＝＝．

1．求点到平面的距离的主要方法

(1)作点到平面的垂线，点到垂足的距离即为点到平面的距离；

(2)在三棱锥中用等体积法求解；

(3)向量法：d＝(n为平面的法向量，A为平面上一点，MA为过点A的斜线段)．

2．线面距、面面距实质上都是点面距，求直线到平面、平面到平面的距离的前提是线面、面面平行．

2．在直三棱柱中，AA1＝AB＝BC＝3，AC＝2，D是AC的中点．

(1)求证：B1C∥平面A1BD；

(2)求直线B1C到平面A1BD的距离．

[解]　(1)证明：连接AB1交A1B于点E，连接DE．

⇒B1C∥平面A1BD．

(2)因为B1C∥平面A1BD，所以B1C到平面A1BD的距离就等于点B1到平面A1BD的距离．

如图建立坐标系，

则B1(0,2，3)，

B(0,2，0)，A1(－1,0,3)，

＝(0,2，3)，＝(0,2，0)，

＝(－1,0,3)．

设平面A1BD的法向量为n＝(x，y，z)，

所以所以n＝(3,0,1)．

所求距离为d＝＝．

1．已知A(0,0,2)，B(1,0,2)，C(0,2,0)，则点A到直线BC的距离为(　　)

A．　　　　B．1　　　　C．　　　　D．2

A　[∵A(0,0,2)，B(1,0,2)，C(0,2,0)，＝(1,0,0)，＝(－1,2，－2)，

∴点A到直线BC的距离为

d＝

＝＝．]

2．若三棱锥P­ABC的三条侧棱两两垂直，且满足PA＝PB＝PC＝1，则点P到平面ABC的距离是(　　)

A．   B． 

C．   D．

D　[分别以PA，PB，PC所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，

则A(1,0,0)，B(0,1,0)，C(0,0,1)．

可以求得平面ABC的一个法向量为n＝(1,1,1)，

则d＝＝．]

3．两平行平面α，β分别经过坐标原点O和点A(2,1,1)，且两平面的一个法向量n＝(－1,0,1)，则两平面间的距离是(　　)

A．    B．    C．    D．3

B　[∵两平行平面α，β分别经过坐标原点O和点A(2,1,1)，＝(2,1,1)，且两平面的一个法向量n＝(－1,0,1)，∴两平面间的距离d＝＝＝．故选B．]

4．棱长为1的正方体ABCD­A1B1C1D1中，M，N分别是线段BB1，B1C1的中点，则直线MN到平面ACD1的距离为________．

　[如图，以点D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系．

则D(0,0,0)，C(0,1,0)，D1(0,0,1)，M，A(1,0,0)，

∴＝，＝(－1,1,0)，＝(－1,0,1)．

设平面ACD1的法向量为n＝(x，y，z)，

则即

令x＝1，则y＝z＝1，∴n＝(1,1,1)．

∴点M到平面ACD1的距离d＝＝．

又，故MN∥平面ACD1，

故直线MN到平面ACD1的距离为．]

回顾本节知识，自主完成以下问题：

1．用空间向量求点到直线的距离的方法是什么？

[提示]　已知直线l的单位方向向量为u，A是直线l上的定点，P是直线l外一点，则点P到直线l的距离为．

2．用空间向量求点到平面的距离的方法是什么？

[提示]　已知平面α的法向量为n，A是平面α内的定点，P是平面α外一点，则点P到平面α的距离是．

3．如何用空间向量求直线和平面、平面和平面的距离？

[提示]　先证明直线和平面平行，平面和平面平行，然后把所求距离转化为点到平面的距离，最后利用点到平面的距离公式求解．