2023新教材高中数学第2章直线和圆的方程2.1直线的倾斜角与斜率2.1.1倾斜角与斜率教师用书新人教A版选择性必修第一册

2.1　直线的倾斜角与斜率2.1.1　倾斜角与斜率1．理解直线的斜率和倾斜角的概念．(重点)2．理解直线的方向向量和向量坐标表示．(重点)3．掌握过两点的直线斜率的计算公式，会应用斜率公式求直线的斜率．(难点)1．通过倾斜角概念的学习，提升数学抽象的数学素养．2． 通过斜率和直线方向向量的学习，培养逻辑推理和数学运算的数学素养． 由初中的平面几何知识，我们知道两点确定一条直线；由必修教材的课程中的平面向量知识，我们知道一个点与一个方向也可以确定一条直线．那么，怎样用代数方法刻画直线呢？知识点1　倾斜角的相关概念(1)倾斜角的定义当直线l与x轴相交时，以x轴为基准，x轴正向与直线l向上的方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角．(2)倾斜角的范围当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°，因此直线的倾斜角α的取值范围为0°≤α<180°．1．任何一条直线都有倾斜角吗？不同的直线其倾斜角一定不相同吗？[提示]　由倾斜角的定义可以知道，任何一条直线都有倾斜角；不同的直线其倾斜角有可能相同，如平行的直线其倾斜角是相同的．1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)与x轴垂直的直线，其倾斜角为90°． (　　)(2)与x轴平行的直线，其倾斜角不存在． (　　)(3)不存在倾斜角相同的直线．  (　　)[答案]　(1)√　(2)×　(3)×知识点2　直线的斜率(1)把一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k表示，即k＝tan α．(2)过两点的直线的斜率公式过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式为k＝．2．当直线的倾斜角由0°逐渐增大到180°时，其斜率如何变化？[提示]　当倾斜角为锐角时，其斜率为正值，而且斜率随着倾斜角的增大而增大，当倾斜角为钝角时，其斜率为负值，斜率随着倾斜角的增大而增大，当倾斜角为90°时，直线的斜率不存在．所有的直线都有倾斜角，但不是所有的直线都有斜率．当直线的倾斜角是90°时，直线的斜率不存在，但并不是该直线不存在，此时直线垂直于x轴(或平行于y轴或与y轴重合)．2．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若直线的斜率存在，则必有倾斜角与之对应． (　　)(2)若直线的倾斜角为α，则必有斜率与之对应． (　　)(3)与y轴垂直的直线的斜率为0．  (　　)(4)与x轴垂直的直线的斜率不存在． (　　)[答案]　(1)√　(2)×　(3)√　(4)√知识点3　直线的斜率与方向向量的关系(1)若直线l的斜率为k，则直线l的一个方向向量的坐标为(1，k)．(2)若直线l的一个方向向量的坐标为(x，y)，则直线l的斜率k＝．3．若直线l的倾斜角为135°，则直线l的一个方向向量的坐标为________．(1，－1)　[直线l的斜率k＝tan 135°＝－1，则直线l的一个方向向量的坐标为(1，－1)．] 类型1　直线的倾斜角【例1】　(1)若直线l向上的方向与y轴的正方向成30°角，则直线l的倾斜角为(　　)A．30°　　　 B．60°C．30°或150°   D．60°或120°(2)(多选题)设直线l过坐标原点，它的倾斜角为α，如果将l绕坐标原点按逆时针方向旋转45°，得到直线l1，那么l1的倾斜角可能为(　　)A．α＋45°   B．α－135°C．135°－α   D．α－45°(1)D　(2)AB　[(1)如图，直线l有两种情况，故l的倾斜角为60°或120°．(2)根据题意，画出图形，如图所示．通过图象可知：当0°≤α<135°，l1的倾斜角为α＋45°；当135°≤α<180°时，l1的倾斜角为45°＋α－180°＝α－135°．]求直线倾斜角的方法及注意点(1)方法：求直线的倾斜角主要根据定义来求，其关键是根据题意画出图形，找准倾斜角，有时要根据情况分类讨论．(2)两点注意：①当直线与x轴平行或重合时，倾斜角为0°，当直线与x轴垂直时，倾斜角为90°．②注意直线倾斜角的取值范围是0°≤α<180°．1．(多选题)设直线l与x轴交于点A，其倾斜角为α，直线l绕点A顺时针旋转60°后得直线l1，则直线l1的倾斜角可能为(　　)A．α＋60°　　　　　　 B．α＋120°C．α－60°   D．120°－αBC　[直线l绕点A顺时针旋转60°后得直线l1，当α≥60°时，直线l1的倾斜角为α－60°，当0°≤α<60°时，直线l1的倾斜角为180°－(60°－α)＝120°＋α．]2．已知直线l1的倾斜角α1＝15°，直线l1与l2的交点为A，直线l1和l2向上的方向所成的角为120°，如图，则直线l2的倾斜角为________．135°　[设直线l2的倾斜角为α2，l1和l2向上的方向所成的角为120°，所以∠BAC＝120°，所以α2＝120°＋α1＝135°．] 类型2　直线的斜率和方向向量【例2】　(1)(对接教材P54例题)过两点A(4，y)，B(2，－3)的直线的倾斜角是135°，则y等于(　　)A．1   B．5C．－1   D．－5(2)已知直线l经过点P(3，m)和点Q(m，－2)，直线l的方向向量为(2,4)，则直线l的斜率为___________，实数m的值为________．(1)D　(2)2　　[(1)∵过两点A(4，y)，B(2，－3)的直线的倾斜角是135°，∴＝tan 135°＝－1，解得y＝－5，故选D．(2)由直线l的方向向量为(2,4)得，直线l的斜率为＝2，因此＝2，解得m＝．]直线斜率的计算方法(1)判断两点的横坐标是否相等，若相等，①则直线的斜率不存在．②若两点的横坐标不相等，则可以用斜率公式k＝(其中x1≠x2)进行计算．(2)已知直线l的斜率为k，它的一个方向向量的坐标为(x，y)，则k＝．3．已知直线l过点M(m＋1，m－1)，N(2m,1)．(1)当m为何值时，直线l的倾斜角为90°？(2)当m为何值时，直线l的斜率是1?[解]　(1)l的倾斜角为90°，即l平行于y轴，所以m＋1＝2m，得m＝1．(2)由题意知m＋1≠2m，即m≠1，直线l的斜率k＝＝1，解得m＝．4．经过M(0,3)，N(－1,0)两点的直线的方向向量为(1，k)，求k的值．[解]　直线MN的斜率kMN＝＝3，∵直线MN的方向向量为(1，k)，∴k＝3． 类型3　直线的倾斜角和斜率的综合【例3】　已知两点A(－3,4)，B(3,2)，过点P(1,0)的直线l与线段AB有公共点．(1)求直线l的斜率k的取值范围；(2)求直线l的倾斜角α的取值范围．[解]　如图所示，由题意可知kPA＝＝－1，kPB＝＝1．(1)要使直线l与线段AB有公共点，则k≤－1或k≥1，即直线l的斜率k的取值范围是(－∞，－1]∪[1，＋∞)．(2)由题意可知，直线l的倾斜角介于直线PB与PA的倾斜角之间，又PB的倾斜角是45°，PA的倾斜角是135°，所以α的取值范围是45°≤α≤135°．1．过定点和线段有交点的直线的斜率的取值范围问题已知一条线段AB的端点及线段外一点P，求过点P的直线l与线段AB有交点的情况下直线l的斜率的取值范围，若直线PA，PB的斜率均存在，则步骤为：①连接PA，PB；②由k＝，求出kPA，kPB；③结合图形即可写出满足条件的直线l的斜率的取值范围．2．直线的倾斜角和斜率的关系直线的斜率也反映了直线相对于x轴的正方向的倾斜程度．当0°≤α＜90°时，斜率越大，直线的倾斜程度越大；当90°＜α＜180°时，斜率越大，直线的倾斜程度也越大．5．已知A(3,3)，B(－4,2)，C(0，－2)．(1)求直线AB和AC的斜率；(2)若点D在线段BC(包括端点)上移动时，求直线AD的斜率的变化范围．[解]　(1)由斜率公式可得直线AB的斜率kAB＝＝．直线AC的斜率kAC＝＝．故直线AB的斜率为，直线AC的斜率为．(2)如图所示，当D由B运动到C时，直线AD的斜率由kAB增大到kAC，所以直线AD的斜率的变化范围是．1．(多选题)下列说法正确的是(　　)A．若α是直线l的倾斜角，则0°≤α<180°B．若k是直线的斜率，则k∈RC．任一条直线都有倾斜角，但不一定有斜率D．任一条直线都有斜率，但不一定有倾斜角ABC　[由直线的倾斜角和斜率的定义知，A、B、C正确，D错误．故选ABC．]2．下面选项中，两点确定的直线的斜率不存在的是(　　)A．(4,2)与(－4,1)　　　　 B．(0,3)与(3,0)C．(3，－1)与(2，－1)   D．(－2,2)与(－2,5)D　[D项，因为x1＝x2＝－2，所以直线垂直于x轴，倾斜角为90°，斜率不存在．]3．过点A(－，)与点B(－，)的直线的倾斜角为(　　)A．45°   B．135°C．45°或135°   D．60°A　[kAB＝＝＝1，故直线的倾斜角为45°．]4．已知直线l的方向向量的坐标为(1，)，则直线l的倾斜角为________．60°　[因为直线l的方向向量的坐标为(1，)，所以直线l的倾斜角α的正切值tan α＝，又α∈[0°，180°)，∴α＝60°．]5．经过A(m,3)，B(1,2)两点的直线的倾斜角α的取值范围是________．(其中m≥1)0°<α≤90°　[当m＝1时，倾斜角α＝90°；当m>1时，tan α＝>0，∴0°<α<90°．故0°<α≤90°．]回顾本节知识，自主完成以下问题：1．直线的倾斜角是如何定义的？其取值范围是什么？[提示]　当直线l与x轴相交时，以x轴为基准，x轴正向与直线l向上的方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角．当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°，因此，直线的倾斜角的取值范围是0°≤α<180°．2．直线的斜率是如何定义的？直线经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的斜率公式是什么？[提示]　把一条直线的倾斜角α(α≠90°)的正切值叫做这条直线的斜率，倾斜角是90°的直线没有斜率．直线经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的斜率公式是k＝．3．直线的斜率k和直线的方向向量有怎样的关系？[提示]　若直线的斜率为k，则n＝(1，k)是其方向向量．反之若直线的方向向量n＝(x，y)，则斜率k＝(x≠0)．