2023新教材高中数学第1章空间向量与立体几何1.4空间向量的应用1.4.1用空间向量研究直线平面的位置关系第1课时空间中点直线和平面的向量表示教师用书新人教A版选择性必修第一册

1.4.1　用空间向量研究直线、平面的位置关系第1课时　空间中点、直线和平面的向量表示1．能用向量语言描述直线和平面．(难点)2．理解直线的方向向量与平面的法向量．(重点)3．会求一个平面的法向量．(重点)1．通过空间中点、直线和平面的向量表示的学习，培养直观想象和逻辑推理素养．2．通过直线的方向向量和平面的法向量的学习，提升数学运算的核心素养．我们知道，立体几何研究的基本对象是点、直线、平面，以及由它们组成的空间图形，因此用空间向量解决立体几何问题时，首先需要把点、直线、平面用向量分别表示出来．容易想到：在空间中取一个定点O，那么空间中任意一点P的位置就可以用向量来表示，向量就是点P的位置向量．那么如何用向量方法描述空间的一条直线、一个平面呢？知识点1　空间中点的位置向量如图，在空间中，我们取一定点O作为基点，那么空间中任意一点P就可以用向量来表示．我们把向量称为点P的位置向量．1．在空间直角坐标系Oxyz中，点A(1,2,3)的位置向量是________．＝(1,2,3)　[位置向量＝(1,2,3)．]知识点2　空间直线的向量表示式(1)如图①，a是直线l的方向向量，在直线l上取＝a，设P是直线l上的任意一点，则点P在直线l上的充要条件是存在实数t，使得＝ta，即＝t．如图②，取定空间中的任意一点O，点P在直线l上的充要条件是存在实数t，使＝＋ta①，或＝＋t②．①式和②式都称为空间直线的向量表示式．图①　　　　　　图②(2)空间任意直线由直线上一点及直线的方向向量唯一确定．1．根据空间直线的向量表达式＝＋t，线段AB的中点M的向量表达式是什么？[提示]　＝＋．2．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)零向量不能作为直线的方向向量． (　　)(2)若向量v是直线l的方向向量，则λv(λ≠0)也是直线l的方向向量．                             (　　)(3)直线l的方向向量都平行，且方向相同． (　　)[答案]　(1)√　(2)√　(3)×知识点3　空间平面的向量表示式(1)空间平面ABC的向量表示式如图，取定空间任意一点O，空间一点P位于平面ABC内的充要条件是存在实数x，y，使＝＋x＋y．我们把这个式子称为空间平面ABC的向量表示式．由此可知，空间中任意平面由空间一点及两个不共线向量唯一确定．(2)平面的法向量与平面的向量表示式如图，直线l⊥α，取直线l的方向向量a，我们称向量a为平面α的法向量．给定一个点A和一个向量a，那么过点A，且以向量a为法向量的平面完全确定，可以表示为集合{P|a·＝0}．2．如果n为平面α的一个法向量，A，B为平面α内的两点，则n与有什么关系？[提示]　n⊥ ，即n·＝0．3．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)平面α的所有法向量都平行，且同向． (　　)(2)若n是平面α的一个法向量，则λn(λ∈R)也是平面α的一个法向量．                             (　　)(3)向量i＝(1,0,0)是坐标平面Oyz的一个法向量． (　　)[提示]　(1)×　法向量也可能方向相反．(2)×　当λ＝0时，λn＝0，不能作为平面的法向量．(3)√　x轴垂直于坐标平面Oyz． 类型1　直线的方向向量【例1】　(1)已知直线l的一个方向向量m＝(2，－1,3)，且直线l过A(0，y,3)和B(－1,2，z)两点，则y－z等于(　　)A．0　　　　B．1　　　　C．　　　　D．3(2)在如图所示的坐标系中，ABCD­A1B1C1D1为正方体，棱长为1，则直线DD1的一个方向向量为________，直线BC1的一个方向向量为________．(1)A　(2)(0,0,1)　(0,1,1)(答案不唯一)　[(1)∵A(0，y,3)和B(－1,2，z)，＝(－1,2－y，z－3)，∵直线l的一个方向向量为m＝(2，－1,3)，故设＝km，∴－1＝2k,2－y＝－k，z－3＝3k．解得k＝－，y＝z＝．∴y－z＝0．(2)∵DD1∥AA1，＝(0,0,1)，∴直线DD1的一个方向向量为(0,0,1)；BC1∥AD1，＝(0,1,1)，故直线BC1的一个方向向量为(0,1,1)．]直线的方向向量如何确定？[提示]　l是空间一直线，A，B是l上任意两点，则及与平行的非零向量均为直线l的方向向量．1．(1)(多选题)若M(1,0，－1)，N(2,1,2)在直线l上，则直线l的一个方向向量是(　　)A．(2,2,6)　　　　　　　 B．(1,1,3)C．(3,1,1)   D．(－3,0,1)(2)从点A(2，－1,7)沿向量a＝(8,9，－12)的方向取线段长||＝34，则B点的坐标为(　　)A．(18,17，－17)   B．(－14，－19,17)C．   D．(1)AB　(2)A　[(1)∵M，N在直线l上，∴＝(1,1,3)，故向量(1,1,3)，(2,2,6)都是直线l的一个方向向量．(2)设B点坐标为(x，y，z)，则＝λa(λ>0)，即(x－2，y＋1，z－7)＝λ(8,9，－12)，因为||＝34，即＝34，得λ＝2，所以x＝18，y＝17，z＝－17．] 类型2　求平面的法向量【例2】　(对接教材P28例题)如图，在四棱锥P­ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点．AB＝AP＝1，AD＝，试建立恰当的空间直角坐标系，求平面ACE的一个法向量．[解]　因为PA⊥平面ABCD，底面ABCD为矩形，所以AB，AD，AP两两垂直．如图，以A为坐标原点，，，的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向，建立空间直角坐标系，则D(0，，0)，P(0,0,1)，E，C(1，，0)，于是＝，＝(1，，0)．设n＝(x，y，z)为平面ACE的法向量，则即所以令y＝－1，则x＝z＝．所以平面ACE的一个法向量为n＝(，－1，)．[母题探究]本例条件不变，试求直线PC的一个方向向量和平面PCD的一个法向量？[解]　如图所示，建立空间直角坐标系，则P(0,0,1)，C(1，，0)，所以＝(1，，－1)，即直线PC的一个方向向量为(1，，－1)．设平面PCD的法向量为n＝(x，y，z)．因为D(0，，0)，所以＝(0，，－1)．由即所以令y＝1，则z＝．所以平面PCD的一个法向量为(0,1，)．求平面法向量的步骤(1)设向量：设平面的法向量为n＝(x，y，z)．(2)选向量：在平面内选取两个不共线向量，．(3)列方程组：由列出方程组．(4)解方程组：(5)赋非零值：取x，y，z其中一个为非零值(常取±1)．(6)得结论：得到平面的一个法向量．2．如图所示，已知空间直角坐标系中的三棱锥O­ABC中，O(0,0,0)，A(a,0,0)，B(0，b,0)，C(0,0，c)，其中abc≠0，求平面ABC的一个法向量．[解]　由已知可得＝－＝(0，b,0)－(a,0,0)＝(－a，b,0)，＝－＝(0,0，c)－(a,0,0)＝(－a,0，c)．设平面ABC的一个法向量为n＝(x，y，z)，则将x看成常数，可解得y＝x，z＝x．令x＝bc，则y＝ac，z＝ab．因此，n＝(bc，ac，ab)为平面ABC的一个法向量．1．若A(－1,0,1)，B(1,4,7)在直线l上，则直线l的一个方向向量为(　　)A．(1,2,3)　　　　　 B．(1,3,2)C．(2,1,3)   D．(3,2,1)A　[因为＝(2,4,6)，所以(1,2,3)是直线l的一个方向向量．]2．若n＝(2，－3,1)是平面α的一个法向量，则下列向量中能作为平面α的法向量的是(　　)A．(0，－3,1)   B．(2,0,1)C．(－2，－3,1)   D．(－2,3，－1)D　[求与n共线的一个向量．易知(2，－3,1)＝－(－2，3，－1)．]3．(多选题)在直三棱柱ABC­A1B1C1中，以下向量可以作为平面ABC法向量的是(　　)A．   B．C．   D．BC　[由AA1⊥平面ABC，B1B⊥平面ABC知，，是平面ABC的法向量，故选BC．]4．(2022·河北衡水中学单元检测)已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A(2,1,0)，B(0,2,3)，C(1,1,3)，可求出平面ABC的一个法向量为________．(3,3,1)　[设平面ABC的法向量为n＝(x，y，z)．因为A(2,1,0)，B(0,2,3)，C(1,1,3)，所以＝(－2,1,3)，＝(1，－1,0)，则有即解得令z＝1，则x＝y＝3．故平面ABC的一个法向量为n＝(3,3,1)．]5．已知平面α经过点O(0,0,0)，且e＝(1,2，－3)是α的一个法向量，M(x，y，z)是平面α内任意一点，则x，y，z满足的关系式是________．x＋2y－3z＝0　[由题意得e⊥，则·e＝(x，y，z)·(1,2，－3)＝0，故x＋2y－3z＝0．]回顾本节知识，自主完成以下问题：1．如何求直线l的方向向量？[提示]　在直线l或与直线l平行的直线上取两点A，B，则或就是直线l的方向向量．2．平面的法向量有无数个，它们是什么关系？[提示]　共线．3．如何求一个平面的法向量？[提示]　①设法向量n＝(x，y，z)；②在已知平面内找两个不共线向量a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)；③建立方程组④解方程组：用一个未知量表示其他两个未知量，然后对用来表示两未知量的未知量赋以特殊值，从而得到平面的一个法向量．