2023新教材高中数学第1章空间向量与立体几何1.3空间向量及其运算的坐标表示1.3.2空间向量运算的坐标表示教师用书新人教A版选择性必修第一册

1.3.2　空间向量运算的坐标表示1．掌握空间向量运算的坐标表示，并据此会判断两个向量是否共线或垂直．(重点)2．掌握空间向量的模、夹角公式和两点间距离公式，并能运用这些公式解决简单几何体中的问题．(重点、难点)1．通过空间向量的坐标运算及空间向量夹角及长度的学习，培养数学运算素养．2．借助利用空间向量的坐标运算解决平行、垂直问题，提升数学运算及逻辑推理素养． 平面向量运算的坐标表示：设a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则a±b＝(a1±b1，a2±b2)，λa＝(λa1，λa2)(λ∈R)，a·b＝a1b1＋a2b2．你能由平面向量运算的坐标表示类比得到空间向量运算的坐标表示吗？它们是否成立？为什么？知识点1　空间向量运算的坐标表示设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，空间向量的坐标运算法则如下表所示：运算坐标表示加法a＋b＝(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3)减法a－b＝(a1－b1，a2－b2，a3－b3)数乘λa＝(λa1，λa2，λa3)，λ∈R数量积a·b＝a1b1＋a2b2＋a3b31．空间向量运算的坐标表示与平面向量的坐标表示有何联系？[提示]　空间向量运算的坐标表示与平面向量运算的坐标表示是完全一致的．1．已知空间向量m＝(1，－3,5)，n＝(－2,2，－4)，则m＋n＝________，3m－n＝________，(2m)·(－3n)＝________．(－1，－1，1)　(5，－11，19)　168　[m＋n＝(1，－3，5)＋(－2，2，－4)＝(－1，－1，1)；3m－n＝3(1，－3，5)－(－2，2，－4)＝(3，－9，15)－(－2，2，－4)＝(5，－11，19)；(2m)·(－3n)＝(2，－6，10)·(6，－6，12)＝2×6＋(－6)×(－6)＋10×12＝168．]知识点2　空间向量的平行、垂直、模与夹角公式的坐标表示设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则平行(a∥b)a∥b(b≠0)⇔a＝λb⇔a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3(λ∈R)垂直(a⊥b)a⊥b⇔a·b＝0⇔a1b1＋a2b2＋a3b3＝0(a，b均为非零向量)模|a|＝＝夹角公式cos〈a，b〉＝＝2．若a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则a∥b一定有＝＝成立吗？[提示]　当b1，b2，b3均不为0时，＝＝成立．2．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若a＝(1，－2,1)，a＋b＝(－1,2，－1)，则b＝(－2,4，－2)．                             (　　)(2)若a＝(1,2,0)，b＝(－2,0,1)，则|a|＝|b|． (　　)(3)若a＝(0,0,1)，b＝(1,0,0)，则a⊥b． (　　)(4)在空间直角坐标系中，若A(1,2,3)，B(4,5,6)，则＝(－3，－3，－3)．               (　　)(5)已知a＝(x1，y1，z1)，若x1＝y1＝z1＝1，则a为单位向量．                             (　　)[提示]　 (1)√　b＝a＋b－a＝(－1,2，－1)－(1，－2,1)＝(－2,4，－2)．(2)√　|a|＝＝，|b|＝＝，所以|a|＝|b|．(3)√　由a·b＝0，得a⊥b．(4)×　由A(1,2,3)，B(4,5,6)，得＝(4－1,5－2,6－3)＝(3,3,3)．(5)×　若x1＝y1＝z1＝1，则|a|＝＝，所以a不是单位向量．知识点3　向量的坐标及两点间的距离公式在空间直角坐标系中，设A(a1，b1，c1)，B(a2，b2，c2)，则(1)＝(a2－a1，b2－b1，c2－c1)；(2)dAB＝||＝．3．已知点A(x，y，z)，则点A到原点的距离是多少？[提示]　OA＝||＝．3．若点A(0,1,2)，B(1,0,1)，则＝__________，||＝________．(－1，－1)　　[＝(1，－1，－1)，||＝＝．] 类型1　空间向量的坐标运算【例1】　(1)若向量a＝(1,1，x)，b＝(1,2,1)，c＝(1,1,1)，满足条件(c－a)·2b＝－2，则x＝________．(2)已知O为坐标原点，A，B，C三点的坐标分别是(2，－1，2)，(4,5，－1)，(－2,2,3)．求点P的坐标，使＝(－)．(1)2　[c－a＝(0,0,1－x)，2b＝(2,4,2)，由(c－a)·2b＝－2得2(1－x)＝－2，解得x＝2．](2)[解]　＝(2,6，－3)，＝(－4,3,1)，∴－＝(6,3，－4)．设点P的坐标为(x，y，z)，则＝(x－2，y＋1，z－2)，∵(－)＝＝，∴x＝5，y＝，z＝0，则点P的坐标为．关于空间向量坐标运算的两类问题(1)直接计算问题：首先将空间向量用坐标表示出来，然后准确运用空间向量坐标运算公式计算；(2)由条件求向量或点的坐标：首先把向量坐标形式设出来，然后通过建立方程组，解方程组求出其坐标．1．已知a＋b＝(2，，2)，a－b＝(0，，0)，则a＝________，b＝________，a·b＝________．(1，，)　(1，0，)　4　[∵a＋b＝(2，，2)，a－b＝(0，，0)，∴2a＝(2，2，2)，2b＝(2，0，2)，∴a＝(1，，)，b＝(1，0，)，∴a·b＝1×1＋×0＋×＝4．] 类型2　利用空间向量的坐标运算解决平行、垂直问题【例2】　(1)已知a＝(λ＋1,1,2λ)，b＝(6,2m－1,2)．①若a∥b，分别求λ与m的值；②若|a|＝，且与c＝( 2，－2λ，－λ)垂直，求a．(2)(对接教材P20例题)在正方体ABCD­A1B1C1D1中，已知E，F，G，H分别是CC1，BC，CD和A1C1的中点．求证：①AB1∥GE，AB1⊥EH；②A1G⊥平面EFD．(1)[解]　①因为a∥b，所以设(λ＋1,1,2λ)＝k(6,2m－1,2)，所以解得所以λ＝，m＝3．②因为|a|＝且a⊥c，所以化简得解得λ＝－1．因此a＝(0,1，－2)．(2)[证明]　如图，以A为坐标原点，AB，AD，AA1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系．设正方体的棱长为1，则A(0,0,0)，B(1,0,0)，C(1,1,0)，D(0,1,0)，A1(0，0,1)，B1(1,0,1)，C1(1,1,1)．由中点坐标公式，得E，F，G，H．①＝(1,0,1)，＝，＝．因为＝2，·＝1×＋1×＝0，所以∥，⊥，即AB1∥GE，AB1⊥EH．②＝，＝，＝．因为·＝－＋0＝0，·＝＋0－＝0，所以⊥，⊥，所以A1G⊥DF，A1G⊥DE，因为DF∩DE＝D，所以A1G⊥平面EFD．1．判断两向量是否平行或垂直可直接利用向量平行或垂直的充要条件；已知两向量平行或垂直求参数值，则利用平行、垂直的充要条件，将位置关系转化为坐标关系，列方程(组)求解．2．利用向量证明直线、平面平行或垂直，则要建立恰当的空间直角坐标系，求出相关向量的坐标，利用向量平行、垂直的充要条件证明．2．已知a＝(3,2λ－1,1)，b＝(μ＋1,0,2μ)．若a⊥b，则μ＝________；若a∥b，则λ＋μ＝________．－　　[由a⊥b，得a·b＝3(μ＋1)＋2μ＝0，解得μ＝－．由a∥b，得＝，且2λ－1＝0，解得μ＝，λ＝，所以λ＋μ＝．] 类型3　利用空间向量的坐标运算解决夹角和距离问题【例3】　在棱长为1的正方体ABCD­A1B1C1D1中，E，F分别为D1D，BD的中点，点G在棱CD上，且CG＝CD，H为C1G的中点，应用空间向量的方法求解下列问题：(1)求EF与C1G所成角的余弦值；(2)求FH的长．[解]　建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz，则有E，F，C(0,1,0)，C1(0,1,1)，B1(1,1,1)，G，H．(1)＝－＝，＝－(0,1,1)＝，∴||＝．又·＝×0＋×＋×(－1)＝，||＝，∴cos〈，〉＝＝＝．即异面直线EF与C1G所成角的余弦值为．(2)∵F，H，∴＝，∴FH＝||＝＝．用空间向量的坐标运算解决夹角和距离问题的基本思路是什么？[提示]　(1)根据条件建立适当的空间直角坐标系；(2)写出相关点的坐标，用向量表示相关元素；(3)通过向量的坐标运算求夹角和距离．3．在直三棱柱ABC­A1B1C1中，AC＝BC＝1，∠BCA＝90°，AA1＝2，Q为A1A的中点．(1)求的长；(2)求cos〈，〉，cos〈，〉，并比较〈，〉，〈，〉的大小．[解]　建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz．由已知，得C(0,0,0)，A(1,0,0)，B(0,1,0)，C1(0,0,2)，Q(1,0,1)，B1(0,1,2)，A1(1,0,2)．∴＝(1，－1,1)，＝(0,1,2)，＝(1，－1,2)．(1)||＝＝．(2)∵·＝0－1＋2＝1，||＝，||＝＝，∴cos〈，〉＝＝．∵·＝0－1＋4＝3，||＝＝，||＝，∴cos〈，〉＝＝．∵0<<<1，∴〈，〉，〈，〉∈．又y＝cos x在内单调递减，∴〈，〉>〈，〉．1．已知a＝(1，－2,1)，a＋b＝(－1,2，－1)，则b＝(　　)A．(2，－4,2)　　　　　 B．(－2,4，－2)C．(－2,0，－2)   D．(2,1，－3)B　[b＝(a＋b)－a＝(－1,2，－1)－(1，－2,1)＝(－2,4，－2)，故选B．]2．已知空间直角坐标系O­xyz中的点A(2，－1，－3)关于xOy平面的对称点为B，则|AB|的值为(　　)A．　　　B．4　　　C．6　　　D．2C　[A(2，－1，－3)关于xOy平面的对称点为B(2，－1,3)，所以|AB|＝＝6．故选C．]3．已知向量a＝(2，－3,1)，b＝(2,0,3)，则a·(a＋b)＝(　　)A．21   B．－21 C．20   D．－20A　[向量a＝(2，－3,1)，b＝(2,0,3)，所以a＋b＝(4，－3,4)，所以a·(a＋b)＝2×4－3×(－3)＋1×4＝21．故选A．]4．已知a＝(1，x,3)，b＝(－2,4，y)，若a∥b，则x－y＝________．4　[由a∥b得a＝λb，所以解得所以x－y＝4．]5．已知空间三点A(1,1,1)，B(－1,0,4)，C(2，－2,3)，则与的夹角的大小是________．　[∵＝(－2，－1,3)，＝(－1,3，－2)，∴||＝，||＝，·＝(－2)×(－1)＋(－1)×3＋3×(－2)＝－7，∴cos〈，〉＝＝＝－，又〈，〉∈[0，π]，∴〈，〉＝．]回顾本节知识，自主完成以下问题：1．如何用空间向量的坐标运算表示平行、垂直、模及夹角？[提示]　设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则当b≠0时 ，a∥b⇔a＝λb⇔a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3(λ∈R)；a⊥b⇔a·b＝0⇔a1b1＋a2b2＋a3b3＝0；|a|＝＝；cos〈a，b〉＝＝．2．你是如何用空间向量的坐标运算来研究平行、垂直、夹角和距离的？[提示]　①根据条件建立适当的空间直角坐标系；②求出相关点的坐标，用向量表示相关元素；③通过向量的坐标运算研究平行、垂直、夹角和距离．