北师大版 (2019)必修 第二册第四章 三角恒等变换3 二倍角的三角函数公式3.1 二倍角公式学案

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(1)能从两角差与和的正弦、余弦、正切公式推导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系．
(2)能运用二倍角公式进行简单的恒等变换．
(3)能运用公式进行简单的恒等变换(包括推导出积化和差、和差化积、半角公式，这三组公式不要求记忆).
3.1 二倍角公式
[教材要点]
要点一 二倍角公式
eq \x(状元随笔) 细解“倍角公式”
(1)要注意公式运用的前提是所含各三角函数有意义．
(2)倍角公式中的“倍角”是相对的，对于两个角的比值等于2的情况都成立，如6α是3α的2倍，3α是eq \f(3α,2)的2倍……这里蕴含着换元思想．这就是说，“倍”是相对而言的，是描述两个数量之间的关系的．
(3)注意倍角公式的灵活运用，要会正用、逆用、变形用．
要点二 二倍角公式的变形
(1)升幂公式：1＋cs 2α＝2cs2α；
1－cs 2α＝2sin2α.
(2)降幂公式：cs2α＝eq \f(1＋cs 2α,2)；
sin2α＝eq \f(1－cs 2α,2).
[基础自测]
1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)对任意的α角，都有cs 2α＝cs2α－sin2α.( )
(2)对任意的角α，cs 2α＝2cs α都不成立．( )
(3)对于任意的角α，tan 2α＝eq \f(2tan α,1－tan2α).( )
(4)对于任意的角α，sin 4α＝2sin 2αcs 2α.( )
2.eq \f(1,2) sin 15°cs 15°的值等于( )
A.eq \f(1,4) B.eq \f(1,8)
C.eq \f(1,16) D.eq \f(1,2)
3．计算1－2sin222.5°的结果等于( )
A.eq \f(1,2) B.eq \f(\r(2),2)
C.eq \f(\r(3),3) D.eq \f(\r(3),2)
4．已知α为第三象限角，cs α＝－eq \f(3,5)，则tan 2α＝________.
题型一 给角求值——自主完成
求下列各式的值：
(1)cseq \f(π,12)cseq \f(5π,12)；
(2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs\f(π,12)－sin\f(π,12)))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs\f(π,12)＋sin\f(π,12)))；
(3)eq \f(1,2)－cs2eq \f(π,8)；
(4)eq \f(1－tan2\f(π,12),tan\f(π,12))；
(5)sin 10°sin 30°sin 50°sin 70°.
eq \x(状元随笔) 灵活运用二倍角公式及其逆用；
第(5)题体现了对二倍角的巧用，具体计算时要注意“2”的方幂，不要数错．一般地，sin 2nα＝2·sin 2n －1αcs 2n －1α⇒cs αcs 2αcs 22α…cs 2n －1α＝eq \f(sin 2nα,2nsin α).
题型二 给值求值——师生共研
例1 (1)已知α是第三象限角，cs α＝－eq \f(5,13)，则sin 2α等于( )
A．－eq \f(12,13) B.eq \f(12,13)
C．－eq \f(120,169) D.eq \f(120,169)
(2)若sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－α))＝eq \f(3,5)，α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，则tan 2α＝( )
A．－eq \f(24,7) B.eq \f(3,2)
C．－eq \f(3,2) D.eq \f(24,7)
(3)已知sin 2α＝eq \f(2,3)，则cs2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,4)))＝________.
方法归纳
三角函数求值问题的一般思路
(1)一是对题设条件变形，将题设条件中的角、函数名向结论中的角、函数名靠拢；另一种是对结论变形，将结论中的角、函数名向题设条件中的角、函数名靠拢，以便将题设条件代入结论．
(2)注意几种公式的灵活应用，如：
①sin 2x＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－2x))＝cseq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－x))))＝2cs2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－x))－1＝1－2sin2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－x))；
②cs 2x＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－2x))＝sineq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－x))))
＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－x))cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－x)).
跟踪训练1 (1)已知sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)＋θ))＝eq \f(\r(2),3)，则sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2θ－\f(π,6)))＝( )
A．－eq \f(7,9) B．－eq \f(5,9)
C.eq \f(5,9) D.eq \f(7,9)
(2)已知sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－x))＝eq \f(5,13)，0题型三 三角函数式的化简与证明——师生共研
例2 (1)若θ∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5π,4)，\f(3π,2)))，化简eq \r(1＋sin 2θ)＋eq \r(1－sin 2θ)的结果为( )
A．2sin θ B．2cs θ
C．－2sin θ D．－2cs θ
(2)求证：cs2(A＋B)－sin2(A－B)＝cs 2Acs 2B.
方法归纳
三角函数式的化简与证明
(1)化简三角函数式的要求：①能求出值的尽量求出；②使三角函数的种类与项数尽量少；③次数尽量低．
(2)证明三角恒等式的方法：①从复杂的一边入手，证明一边等于另一边；②比较法，左边－右边＝0，左边/右边＝1；③分析法，从要证明的等式出发，一步步寻找等式成立的条件．
跟踪训练2 化简：
(1) eq \r(\f(1,2)＋\f(1,2) \r(\f(1,2)＋\f(1,2)cs 2α))，其中α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)，2π))；
(2)eq \r(1＋sin θ)－eq \r(1－sin θ)，其中θ∈(0，π)．
§3 二倍角的三角函数公式
3．1 二倍角公式
新知初探·课前预习
[教材要点]
要点一
2sin αcs α α＝β cs2α－sin2α α＝β 1－2sin2α 2cs2α－1 cs2α＋sin2α＝1 α＝β
[基础自测]
1．(1)√ (2)× (3)× (4)√
2．解析：原式＝eq \f(1,4)×2sin 15°cs 15°＝eq \f(1,4)×sin 30°＝eq \f(1,8).
答案：B
3．解析：1－2sin222.5°＝cs 45°＝eq \f(\r(2),2).
答案：B
4．解析：因为α为第三象限角，cs α＝－eq \f(3,5)，
所以sin α＝－eq \r(1－cs2α)＝－eq \f(4,5)，
tan α＝eq \f(4,3)，tan 2α＝eq \f(2tan α,1－tan2α)＝eq \f(2×\f(4,3),1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,3)))2)＝－eq \f(24,7).
答案：－eq \f(24,7)
题型探究·课堂解透
题型一
解析：(1)原式＝cseq \f(π,12)sineq \f(π,12)＝eq \f(1,2)×2sineq \f(π,12)cseq \f(π,12)＝eq \f(1,2)sineq \f(π,6)＝eq \f(1,4).
(2)原式＝cs2eq \f(π,12)－sin2eq \f(π,12)＝cseq \f(π,6)＝eq \f(\r(3),2).
(3)原式＝eq \f(1,2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－2cs2\f(π,8)))＝－eq \f(1,2)cseq \f(π,4)＝－eq \f(\r(2),4).
(4)原式＝eq \f(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－tan2\f(π,12))),2tan\f(π,12))＝eq \f(2,tan\f(π,6))＝2eq \r(3).
(5)原式＝eq \f(1,2)cs 20°cs 40°cs 80°
＝eq \f(1,4)·eq \f(2sin 20°cs 20°cs 40°cs 80°,sin 20°)
＝eq \f(1,4)·eq \f(sin 40°cs 40°cs 80°,sin 20°)
＝eq \f(1,8)·eq \f(2sin 40°cs 40°cs 80°,sin 20°)
＝eq \f(1,8)·eq \f(sin 80°cs 80°,sin 20°)
＝eq \f(1,16)·eq \f(2sin 80°cs 80°,sin 20°)＝eq \f(1,16)·eq \f(sin 160°,sin 20°)＝eq \f(1,16).
题型二
例1 解析：(1)∵α是第三象限角，且cs α＝－eq \f(5,13)，∴sin α＝－eq \f(12,13)，∴sin 2α＝2sin αcs α＝2×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(12,13)))×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(5,13)))＝eq \f(120,169).
(2)∵sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－α))＝cs α＝eq \f(3,5)，α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，∴sin α＝eq \f(4,5)，
∴tan α＝eq \f(4,3)，∴tan 2α＝eq \f(2tan α,1－tan2α)＝eq \f(2×\f(4,3),1－\f(16,9))＝－eq \f(24,7).
(3)cs2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,4)))＝eq \f(1＋cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2α＋\f(π,2))),2)＝eq \f(1－sin 2α,2)＝eq \f(1－\f(2,3),2)＝eq \f(1,6).
答案：(1)D (2)A (3)eq \f(1,6)
跟踪训练1 解析：(1)∵sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)＋θ))＝eq \f(\r(2),3)，
∴sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2θ－\f(π,6)))＝sineq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2θ＋\f(π,3)))－\f(π,2)))
＝－cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2θ＋\f(π,3)))＝－eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(1－2sin2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)＋θ))))＝－eq \f(5,9).
(2)因为x∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,4)))，所以eq \f(π,4)－x∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,4)))，
又因为sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－x))＝eq \f(5,13)，所以cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－x))＝eq \f(12,13)，
所以cs 2x＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－2x))＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－x))cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－x))
＝2×eq \f(5,13)×eq \f(12,13)＝eq \f(120,169).
答案：(1)B (2)eq \f(120,169)
题型三
例2 解析：(1)∵θ∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5π,4)，\f(3π,2)))，∴0>cs θ>sin θ，
∴eq \r(1＋sin 2θ)＋eq \r(1－sin 2θ)
＝eq \r(sin2θ＋cs2θ＋2sin θcs θ)＋eq \r(sin2θ＋cs2θ－2sin θcs θ)
＝eq \r(sin θ＋cs θ2)＋eq \r(sin θ－cs θ2)
＝|sin θ＋cs θ|＋|sin θ－cs θ|
＝－(cs θ＋sin θ)＋cs θ－sin θ
＝－2sin θ.
(2)证明：左边＝eq \f(1＋cs2A＋2B,2)－eq \f(1－cs2A－2B,2)
＝eq \f(cs2A＋2B＋cs2A－2B,2)
＝eq \f(1,2)(cs 2Acs 2B－sin 2Asin 2B＋cs 2Acs 2B＋sin 2Asin 2B)
＝cs 2Acs 2B＝右边，所以等式成立．
答案：(1)C (2)见解析
跟踪训练2 解析：(1)∵α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)，2π))，∴cs α>0，eq \f(α,2)∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,4)π，π))，
∴cseq \f(α,2)<0.
故原式＝eq \r(\f(1,2)＋\f(1,2)\r(cs2α))＝eq \r(\f(1,2)＋\f(1,2)cs α)＝eq \r(cs2\f(α,2))＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(cs\f(α,2)))＝－cseq \f(α,2).
(2)原式＝ eq \r(sin2\f(θ,2)＋cs2\f(θ,2)＋2sin\f(θ,2)cs\f(θ,2))
－ eq \r(sin2\f(θ,2)＋cs2\f(θ,2)－2sin\f(θ,2)cs\f(θ,2))
＝ eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(sin\f(θ,2)＋cs\f(θ,2)))2)－ eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(sin\f(θ,2)－cs\f(θ,2)))2)
＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(sin\f(θ,2)＋cs\f(θ,2)))－eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(sin\f(θ,2)－cs\f(θ,2))).
①当θ∈eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))时，eq \f(θ,2)∈eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,4)))，cseq \f(θ,2)≥sineq \f(θ,2)，此时原式＝sineq \f(θ,2)＋cseq \f(θ,2)－cseq \f(θ,2)＋sineq \f(θ,2)＝2sineq \f(θ,2).
②当θ∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π))时，eq \f(θ,2)∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)，\f(π,2)))，cseq \f(θ,2)记法
公式
推导
S2α
sin 2α＝________
S(α＋β)eq \(――→,\s\up7(令 ))S2α
C2α
cs 2α＝____________
C(α＋β)eq \(――→,\s\up7(令 ))C2α
cs 2α＝________
cs 2α＝________
利用________________
消去sin2α或cs2α
T2α
tan 2α＝eq \f(2tan α,1－tan2α)
T(α＋β)eq \(――→,\s\up7(令 ))T2α