北师大版高中数学必修第二册4-3-1二倍角公式学案

3.3　二倍角的三角函数公式

3.3.1　二倍角公式

1.倍角公式

(1)sin 2α＝________(S2α)．

(2)cos 2α＝________＝________＝1－2sin2α(C2α)．

(3)tan 2α＝________(T2α)．

2.倍角公式的变换

(1)因式分解变换

cos 2α＝cos2α－sin2α＝(cos α＋sin α)(cos α－sin α)．

(2)配方变换

1±sin 2α＝sin2α＋cos2α±2sin αcos α＝(sin α±cos α)2.

(3)升幂缩角变换

1＋cos 2α＝2cos2α，1－cos 2α＝2sin2α.

(4)降幂扩角变换

cos2α＝(1＋cos 2α)，sin2α＝(1－cos 2α)，

sin αcos α＝sin 2α.

答案：1.(1)2sin αcos α　(2)cos2α－sin2α　2cos2α－1　(3)

研习1  利用倍角公式求值(给角求值)

 [典例1]　(1)4cos 50°－tan 40°＝(　　)

A.   B.

C. D．2－1

(2)求下列各式的值：

①coscos；

②－cos2；

③tan－.

[自主记]

(1)[分析]　先用同角基本关系式将切化弦，再进行通分，然后化简求值．

[答案]　C

[解析]　4cos 50°－tan 40°＝4sin 40°－

＝＝

＝

＝＝＝，故选C.

(2)[分析]　分析式子结构，然后合理应用公式进行变形，再化简求值．

[解]　①原式＝＝

＝＝×＝.

②原式＝－＝－cos＝－.

③原式＝＝

＝－2×＝＝－2.

[巧归纳]　熟练掌握及应用公式是解题的关键，对公式的应用有三种：

(1)公式正用．

从题设条件出发，顺着问题的线索，正用三角公式，通过对信息的感知、加工、转换，运用已知条件和推算手段逐步达到目的．

(2)公式逆用．

意向转换，逆用公式，这种在原有基础上的变通是创新意识的体现，应用时要求对公式特点有一个整体感知．主要形式有：

2sin αcos α＝sin 2α，sin αcos α＝sin 2α，cos α＝，cos2α－sin2α＝cos 2α，＝tan 2α.

(3)公式的变形用．

公式之间有着密切的联系，这要求我们思考时因势利导，融会贯通，有目的地活用公式．主要形式有：

1±sin 2α＝sin2α＋cos2α±2sin αcos α＝(sin α±cos α)2，

1＋cos 2α＝2cos2α，1－cos 2α＝2sin2α，

cos2α＝，sin2α＝.

[练习1]　1.－的值是(　　)

A.－4 B．4 

C．2 D．－2

答案：B　

解析：原式＝

＝

＝＝＝4，故选B.

2.计算：＝________.

答案：－4　

解析：原式＝

＝＝＝－4.

研习2  给值求值

[典例2]　(1)已知α为第二象限角，sin α＋cos α＝，则cos 2α＝(　　)

A.－ B．－ 

C.   D.

(2)若cos＝－，<x<，且x≠π.

求的值．

[自主记]

(1)[分析]　将已知条件两边同时平方可利用倍角公式进行整体化简求值.

[答案]　A

[解析]　由(sin α＋cos α)2＝，得2sin αcos α＝－，

∵α为第二象限角，

∴cos α－sin α＝－

＝－，故cos 2α＝cos2α－sin2α

＝(cos α＋sin α)(cos α－sin α)

＝×＝－，故选A.

(2)[分析]　先将所求式子进行化简，再将出现的角视为一个整体，进行转化求值．

[解]　＝

＝＝sin 2x·

＝sin 2xtan＝costan

＝tan，

∵<x<，∴－<－x<－π.

又∵cos＝－，

∴sin＝，tan＝－.

∴原式＝×＝－.

[巧归纳]　先化简，再求值，化简时要注意已知条件和结论中各角之间的相互关系．尽量出现条件中的角，以便能整体代入，减少运算量.

[练习2]　1.已知cos α＝，cos(α＋β)＝－，且α，β∈，则cos(α－β)的值等于(　　)

A.－   B.

C.－   D.

答案：D　

解析：∵α∈，∴2α∈(0，π)．

∵cos α＝，∴cos 2α＝2cos2α－1＝－，

∴sin 2α＝＝，

而α，β∈，∴α＋β∈(0，π)，

∴sin(α＋β)＝＝，

∴cos(α－β)＝cos[2α－(α＋β)]

＝cos 2αcos(α＋β)＋sin 2αsin(α＋β)

＝×＋×＝.

2.已知α∈，且2sin2α－sin αcos α－3cos2α＝0，则＝________.

答案：　

解析：∵α∈，且2sin2α－sin αcos α－3cos2α＝0，则(2sin α－3cos α)(sin α＋cos α)＝0，

即2sin α＝3cos α，

又sin2α＋cos2α＝1，∴cos α＝，

∴

＝＝.

研习3  给值求角

[典例3]　已知函数f(x)＝tan.

(1)求f(x)的定义域与最小正周期；

(2)设α∈，若f＝2cos 2α，求α的大小．

[自主记]

[分析]　(1)结合正切函数的定义求定义域，利用T＝求周期；

(2)结合倍角公式进行化简可确定角的某一个三角函数值，再根据角的取值范围求α的大小．

[解]　(1)由2x＋≠＋kπ，k∈Z，得x≠＋，k∈Z，所以f(x)的定义域为.

f(x)的最小正周期为.

(2)由f＝2cos 2α，得tan＝2cos 2α，

＝2(cos2α－sin2α)，整理，得

＝2(cos α＋sin α)(cos α－sin α)．

因为α∈，所以sin α＋cos α≠0.

因此(cos α－sin α)2＝，即sin 2α＝.由α∈，得2α∈，所以2α＝，即α＝.

[巧归纳]　给值求角问题的求解一般按如下两个步骤进行：

(1)根据题设条件，求角的某个三角函数值；

(2)讨论角的范围，必要时还需根据已知三角函数值缩小角的范围，从而确定角的大小.

[练习3]　已知3sin2α＋2sin2β＝1,3sin 2α－2sin 2β＝0，且α，β都是锐角，求α＋2β的值．

解：由3sin2α＋2sin2β＝1，得1－2sin2β＝3sin2α，

即cos 2β＝3sin2α.

由3sin 2α－2sin 2β＝0，得sin 2β＝sin 2α，

∴cos(α＋2β)＝cos αcos 2β－sin αsin 2β

＝cos α·3sin2α－sin α·sin 2α

＝3sin2α·cos α－3cos α·sin2α＝0.

∵0°<α<90°，0°<β<90°，∴0°<α＋2β<270°.

在0°与270°之间只有90°的余弦值为0，故α＋2β＝90°.

1.若α∈，则＋的值为(　　)

A.2cos B．－2cos

C.2sin D．－2sin

答案：D　

解析：∵α∈，∴∈，

∴原式＝＋

＝－sin－cos－sin＋cos＝－2sin.

2.已知cos α＝，则cos 2α＋sin2α的值为(　　)

A.  B.  C.  D.

答案：A　

解析：由cos α＝，得cos 2α＋sin2α＝2cos2α－1＋1－cos2α＝cos2α＝，故选A.

3.证明：＝tan x．

证明：左边＝·

＝sin x·

＝sin x·＝＝tan x＝右边．

∴原等式成立．

4.已知函数f(x)＝.

(1)求f(x)的定义域及最小正周期；

(2)求f(x)的单调递减区间．

解：(1)由sin x≠0，得x≠kπ(k∈Z)，

故f(x)的定义域为{x∈R|x≠kπ，k∈Z}．

因为f(x)＝

＝2cos x(sin x－cos x)＝sin 2x－cos 2x－1

＝sin－1，

所以f(x)的最小正周期T＝＝π.

(2)函数y＝sin x的单调递减区间为(k∈Z)．

由2kπ＋≤2x－≤2kπ＋，x≠kπ(k∈Z)，

得kπ＋≤x≤kπ＋(k∈Z)．

所以f(x)的单调递减区间为(k∈Z)．

[综合创新]　二倍角公式的综合应用

[示例]　已知函数f(x)＝4cosωxsin(ω>0)的最小正周期为π.

(1)求ω的值；

(2)讨论f(x)在区间上的单调性．

[思路点拨]　由式子中含有sin，而又为特殊角，故可考虑利用两角和的正弦公式展开，又因为含有乘积的形式，故可考虑利用倍角公式的形式进行化简，最后再结合三角函数的性质进行求解．

[解析]　(1)f(x)＝4cos ωxsin

＝2sin ωxcos ωx＋2cos2ωx

＝(sin 2ωx＋cos 2ωx)＋

＝2sin＋.

因为f(x)的最小正周期为π，且ω>0，从而有＝π，故ω＝1.

(2)由(1)，知f(x)＝2sin＋.

若0≤x≤，则≤2x＋≤.

当≤2x＋≤，即0≤x≤时，f(x)单调递增；

当≤2x＋≤，即≤x≤时，f(x)单调递减．

综上可知，f(x)在区间上单调递增，在区间上单调递减．

[题后反思]　(1)当已知的函数关系式中含有倍角及平方关系时，常采用倍角公式的逆运用，其目的是去异求同，通常是化简为f(x)＝Asin(ωx＋φ)的形式，最后研究三角函数的相关性质．

(2)在解题过程中要灵活运用公式进行化简，并且培养良好的审题意识，把握关键点，找准突破口，不出现无谓失误，合理准确地解决此类问题．