2020-2021学年第四章 三角恒等变换3 二倍角的三角函数公式3.2 半角公式学案

3．2　半角公式

知识点　半角公式：

(1)sin ＝

(2)cos ＝

(3)tan ＝±＝＝.

1.半角公式的符号是由哪些因素决定的？

提示：半角公式的符号是由所在的象限决定的．

2．要想求角的正弦、余弦、正切的值，只需要知道角α的哪个三角函数值？

提示：有了半角公式，只需知道cos α的值及相关的角的条件便可求的正弦、余弦、正切的值．

思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)

(1)若α≠kπ，k∈Z，则tan ＝＝恒成立． (　　)

(2)对任意角α都有1＋sin α＝. (　　)

(3)sin x＋cos x＝2sin .  (　　)

[提示]　(1)正确；(2)正确；

(3)错误，sin x＋cos x＝2＝2sin .

[答案]　(1)√　(2)√　(3)×

类型1　利用半角公式求值和化简

【例1】　(教材北师版P157例4改编)(1)已知sin α＝－，π<α<，求sin ，cos ，tan 的值．

(2)若tan ＋＝m，则sin θ＝________．

(1)[解]　∵π<α<，sin α＝－，∴cos α＝－，且<<，

∴sin ＝ ＝，cos ＝－ ＝－，tan ＝＝－2.

(2)　[因为tan ＋＝m，即＝m，所以＝，即＝.

所以sinθ＝.]

已知三角函数式的值，求其他三角函数式的值的一般思路

(1)先化简已知或所求式子；

(2)观察已知条件与所求式子之间的联系(从三角函数名及角入手)；

(3)将已知条件代入所求式子，化简求值．

1．已知θ为第二象限角，tan 2θ＝－2，则＝________．

3＋2　[∵tan 2θ＝＝－2，∴tanθ＝－或tan θ＝.

∵＋2kπ＜θ＜π＋2kπ，k∈Z，∴tan θ＜0，∴tan θ＝－，

＝＝＝＝＝3＋2.]

类型2　二倍角公式的实际应用

【例2】　点P在直径AB＝1的半圆上移动，过P作圆的切线PT且PT＝1，∠PAB＝α，问α为何值时，四边形ABTP面积最大？

[解]　如图所示，∵AB为直径，

∴∠APB＝，又AB＝1，

∴PA＝cos α，PB＝sin α.

又PT切圆于P点，∠TPB＝∠PAB＝α，

∴S四边形ABTP＝S△PAB＋S△TPB

＝PA·PB＋PT·PB·sin α

＝sin αcos α＋sin2α＝sin 2α＋(1－cos 2α)

＝(sin 2α－cos 2α)＋＝sin ＋.

∵0<α<，∴－<2α－<π，

∴当2α－＝，

即α＝π时，S四边形ABTP最大．

解答此类问题，关键是合理引入辅助角α，将实际问题转化为三角函数问题，再利用三角函数的有关知识求解，在求解过程中，要注意角的范围．

2．某工人要从一块圆心角为45°的扇形木板中割出一块一边在半径上的内接长方形桌面，若扇形的半径长为1m，求割出的长方形桌面的最大面积(如图).

[解]　连接OC，设∠COB＝θ，

则0°<θ<45°，OC＝1.

∵AB＝OB－OA＝cos θ－AD＝cos θ－sin θ，

∴S矩形ABCD＝AB·BC＝(cos θ－sin θ)·sin θ

＝－sin2θ＋sin θcos θ＝－(1－cos 2θ)＋sin 2θ

＝(sin 2θ＋cos 2θ)－＝cos (2θ－45°)－.

当2θ－45°＝0°，即θ＝22.5°时，Smax＝(m2).

∴割出的长方形桌面的最大面积为m2.

类型3　利用二倍角公式研究三角函数的性质

【例3】　已知函数f(x)＝sin ＋2sin2(x∈R).

(1)求函数f(x)的最小正周期；

(2)求使函数f(x)取得最大值的x的集合．

1.对于形如y＝a sin x＋b cos x的函数，如何研究其性质？

[提示]　利用辅助角公式把其化为y＝sin （x＋φ）的形式，再研究其性质．

2.在研究三角函数的性质时，若其解析式中含有cos2x或sin2x，应该如何处理？

[提示]　利用降幂公式cos2x＝转化为2x的三角函数，然后研究其性质．

[解]　(1)∵f(x)＝sin ＋2sin2

＝sin＋1－cos

＝2＋1

＝2sin ＋1＝2sin ＋1，

∴f(x)的最小正周期为T＝＝π.

(2)当f(x)取得最大值时，sin ＝1，

有2x－＝2kπ＋(k∈Z)，即x＝kπ＋(k∈Z)，

∴所求x的集合为.

(1)为了研究函数的性质，往往要充分利用三角变换公式转化为正弦型(余弦型)函数，这是解决问题的前提．

(2)解此类题时要充分运用两角和(差)的正弦、余弦、正切公式、二倍角公式、辅助角转换公式消除差异，减少角的种类和函数式的项数，以便于讨论函数性质．

3．已知函数f(x)＝sin ＋2cos2x－1，则函数f(x)的单调递增区间为(　　)

A．(k∈Z)

B．(k∈Z)

C．(k∈Z)

D．(k∈Z)

C　[因为f(x)＝sin＋2cos2x－1＝sin2x－cos 2x＋cos 2x＝sin 2x＋cos 2x＝sin ，所以函数f(x)的单调递增区间是(k∈Z)，故选C.]

1．若cos α＝，且α∈(0，π)，则cos 的值为(　　)

A．    B．－    C．±    D．

A　[因为α∈(0，π)，所以∈，所以cos ＝＝.]

2．已知cos α＝，α∈，则sin 等于(　　)

A．－    B．    C．    D．－

B　[因为α∈，

所以∈，

所以sin ＝＝.]

3．化简·的结果为(　　)

A．tan α　 B．tan 2α

C．1     D．2

B　[原式＝·＝tan 2α.]

4．使函数f(x)＝sin (2x＋θ)＋cos (2x＋θ)为奇函数的θ的一个值是(　　)

A．     B．

C．     D．

D　[f(x)＝sin (2x＋θ)＋cos (2x＋θ)＝2sin .

当θ＝π时，f(x)＝2sin (2x＋π)＝－2sin 2x是奇函数．]

5．cos 的值为________．

　[∵是第一象限角，

∴cos ＝＝＝.]

回顾本节内容，自我完成以下问题：

1.半角公式应用的条件是什么？

[提示]　半角公式给出了求的正弦、余弦、正切的另一种形式，即只需知道cos α的值及相应α的条件，便可求出．

2.学习三角恒等变换时应注意哪些问题？

[提示]　(1)学习三角恒等变换，千万不要只顾死记硬背公式，而忽视对思想方法的理解，要学会借助前面几个有限的公式来推导后继公式，立足于在公式推导过程中记忆公式和运用公式．

(2)研究形如f(x)＝a sin x＋b cos x的函数性质，都要运用辅助角公式化为一个整体角的正弦函数或余弦函数的形式．因此辅助角公式是三角函数中应用较为广泛的一个重要公式，也是高考常考的考点之一．对一些特殊的系数a，b应熟练掌握，例如sin x±cos x＝；sin x±等．

正弦型函数与信号处理

两个周期相同的正弦型函数相加，利用三角恒等变换，一定可以把结果化为同一个周期的正弦型函数．而且，不难看出，这一结果可以推广到有限多个同周期的正弦型函数．

那么，不同周期的正弦型函数相加，结果会怎样呢？图1是函数

f(x)＝sin x＋sin 2x＋sin 3x的图象，由此你能发现什么？

图1

可以看出，f(x)的图象呈现的还是周期性变化(事实上，f(x)仍是一个周期函数).不过，相对于正弦曲线来说，f(x)的图象变化更加丰富．

那么，这是不是意味着所有的周期函数都可以借助正弦型函数相加来表示或者近似表示呢？答案是肯定的！例如，如图2所示是函数f(x)＝的图象，如图3所示是某种信号的波形，两者相似吗？

图2

图3

事实上，在现代社会中，信号处理是非常关键的技术．这只要想想我们几乎每天都在使用的电话或互联网就可以感受到！而信号处理背后的“功臣”就是正弦型函数！感兴趣的同学可以查找有关资料了解更多信息．