北师大版 (2019)必修 第二册2.2 两角和与差的正弦、正切公式及其应用学案设计

2．2　两角和与差的正弦、正切公式及其应用

[教材要点]

要点一　两角和与差的正弦公式

　(1)记忆口诀：正余余正，符号相同．

(2)公式逆用：sin αcos β＋cos αsin β＝sin(α＋β)

sin αcos β－cos αsin β＝sin(α－β)

要点二　两角和与差的正切公式

　公式T(α±β)的结构特征和符号规律

(1)公式T(α±β)的右侧为分式形式，其中分子为tanα与tanβ的和或差，分母为1与tanαtanβ的差或和．

(2)

符号变化规律可简记为“分子同，分母反”．

[教材答疑]

[教材P146思考交流]

在例3中，sin＝cos，是一个必然现象．

因为：＋＝.

所以－α＝－，

∴sin＝sin＝cos，

cos＝cos＝sin.

[基础自测]

1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)

(1)对任意的α，β角，都有sin(α＋β)＝sin α＋sin β.(　　)

(2)存在α，β角，使得sin(α＋β)＝sin α＋sin β.(　　)

(3)存在α，β角，使得tan(α－β)＝tan α－tan β.(　　)

(4)对任意的α，β角，都有tan(α±β)＝.(　　)

2．sin 15°cos 75°＋cos 15°sin105°等于(　　)

A．0　　　　　　　　　　B.

C.  D．1

3．已知tan α＝4，tan β＝3，则tan(α＋β)＝(　　)

A.  B．－

C.  D．－

4．已知α，β均为锐角，且sin α＝，sin β＝，则α－β＝________.

题型一　给角求值——自主完成

求下列各式的值：

(1)tan 12°＋tan 33°＋tan 12°tan 33°；

(2)sin＋2sin－cos；

(3)；

(4)(tan 10°－)·.

方法归纳

解决给角求值问题的方法

(1)对于非特殊角的三角函数式求值问题，一定要本着先整体后局部的基本原则，如果整体符合三角公式的形式，则整体变形，否则进行各局部的变形．

(2)一般途径有将非特殊角化为特殊角的和或差的形式，化为正负相消的项并消项求值，化分子、分母形式进行约分，解题时要逆用或变用公式．

题型二　给值求值——师生共研

寻找2α(2β)与已知α－β的变换关系．

例1　(1)已知<β<α<，cos(α－β)＝，sin(α＋β)＝－，求cos 2α与cos 2β的值．

(2)已知tan＝，tan＝2.求：tan(α＋β)．

变式探究1　本例(1)中的条件改为“α∈，β∈，cos＝，sin＝”，求sin(α＋β)的值．

变式探究2　本例(2)中的条件改为“β∈，sin β＝，tan α＝”，求tan(α－β)．

方法归纳

给值(式)求值的策略

(1)当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式．

(2)当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，然后应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”．

题型三　给值求角——师生共研

例2　设方程x2＋3x＋4＝0的两根为tan α，tan β，且0<|α|<，0<|β|<，求α＋β的值．

方法归纳

(1)已知某三角函数值求角问题，通常分两步：①先求角的某个三角函数值(由题中已知名称和范围确定)；②根据角的范围确定角，必要时可利用值缩小角的范围．

(2)等式中同时出现tan A±tan B与tan A·tan B时，一般是构造tan(A±B)，利用两角和与差的正切公式求解．

跟踪训练　已知tan(α－β)＝，tan β＝－，α，β∈(0，π)，求2α－β的值．

易错辨析　忽略条件中隐含的角的范围出错

例3　已知tan2α＋6tan α＋7＝0，tan2β＋6tan β＋7＝0，α，β∈(0，π)，且α≠β，求α＋β的值．

解析：由题意知∴tan α<0，tan β<0(*)

又α，β∈(0，π)，∴α∈，β∈

∴α＋β∈(π，2π)，∴tan(α＋β)＝＝＝1.

∴α＋β＝π.

易错警示

2.2　两角和与差的正弦、正切公式及其应用

新知初探·课前预习

[教材要点]

要点一

sin αcos β＋cos αsin β　sin αcos β－cos αsin β

要点二

[基础自测]

1．(1)×　(2)√　(3)√　(4)×

2．解析：sin 15°cos 75°＋cos 15°sin 105°＝sin 15°cos 75°＋cos 15°sin 75°＝sin(15°＋75°)＝sin 90°＝1.

答案：D

3．解析：tan(α＋β)＝＝＝－.

答案：B

4．解析：因为α，β均为锐角，

所以cos α＝，cos β＝.

所以cos(α－β)＝cos α·cos β＋sin α·sin β

＝×＋×＝.

又因为sin α>sin β，所以0<β<α<，

所以0<α－β<，故α－β＝.

答案：

题型探究·课堂解透

题型一

解析：(1)∵＝tan(12°＋33°)＝tan 45°＝1.

∴tan 12°＋tan 33°＝1－tan 12°tan 33°，

∴tan 12°＋tan 33°＋tan 12°tan 33°＝1.

(2)原式＝sin xcos＋cos xsin＋2sin xcos－2cos xsin－coscos x－sinsin x

＝sin x＋cos x

＝sin x＋cos x

＝0.

(3)∵sin 47°＝sin(30°＋17°)＝sin 30°cos 17°＋cos 30°sin 17°，

∴原式＝＝sin 30°＝.

(4)原式＝(tan 10°－tan 60°)

＝

＝·

＝·

＝·

＝－＝－2.

题型二

例1　解析：(1)因为<β<α<，

所以0<α－β<，π<α＋β<.

所以sin(α－β)＝＝＝，

cos(α＋β)＝－＝－＝－.

所以cos 2α＝cos[(α＋β)＋(α－β)]＝cos(α＋β)cos(α－β)－sin(α＋β)sin(α－β)

＝×－×＝－，

cos 2β＝cos[(α＋β)－(α－β)]

＝cos(α＋β)cos(α－β)＋sin(α＋β)sin(α－β)＝×＋×＝－.

(2)∵tan＝tan＝＝－

∴tan(α＋β)＝tan

＝

＝＝2－3.

变式探究1　解析：∵<α<，∴－<－α<0.

∴sin＝－＝－.

又∵0<β<，

∴<＋β<π，

∴cos＝－＝－，

sin(α＋β)＝－cos

＝－cos

＝－coscos－sinsin

＝－×－×＝.

变式探究2　解析：∵β∈，sin β＝，

∴cos β＝－＝－＝－

∴tan β＝＝＝－2

∴tan(α－β)＝＝＝7.

题型三

例2　解析：由已知，得tan α＋tan β＝－3，tan αtan β＝4.

所以tan(α＋β)＝＝＝，

且tan α<0，tan β<0，

所以－<α<0，－<β<0，

所以－π<α＋β<0，

所以α＋β＝－π.

跟踪训练　解析：tan α＝tan[(α－β)＋β]＝

＝＝.

又因为α∈(0，π)，而tan α>0，所以α∈.

tan(2α－β)＝tan[α＋(α－β)]＝＝＝1.

因为tan β＝－，β∈(0，π)，所以β∈，

所以α－β∈(－π，0)．

由tan(α－β)＝>0，得α－β∈，

所以2α－β∈(－π，0)．

又tan(2α－β)＝1，

所以2α－β＝－.