2022-2023学年四川省达州市高二（下）期末数学试卷（文科）（含解析）

2022-2023学年四川省达州市高二（下）期末数学试卷（文科）

一、单选题（本大题共12小题，共48.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  已知集合，，则(    )

A.  B.  C.  D.

2.  复数，则的虚部是(    )

A.  B.  C.  D.

3.  某地区高三学生参加体检，现随机抽取了部分学生的身高，得到下列频数分布表：

根据表格，估计该地区高三学生的平均身高是(    )

A.  B.  C.  D.

4.  已知，则(    )

A.  B.  C.  D.

5.  是定义域为的奇函数，，，则(    )

A.  B.  C.  D.

6.  已知双曲线的离心率为，则渐近线方程为(    )

A.  B.  C.  D.

7.  设，，，则(    )

A.  B.  C.  D.

8.  已知，，，成等差数列都是正数，若其中的项按一定的顺序成等比数列，则这样的等比数列个数为(    )

A.  B.  C.  D.

9.  已知棱长为的正方体中，点满足，其中，当平面时，的最小值为(    )

A.  B.  C.  D.

10.  如图，函数的图象交坐标轴于点，，，直线与曲线的另一交点为若，的重心为，则(    )

A. 函数在上单调递减
B. 直线是函数图象的一条对称轴
C.
D. 将的图象向左平移个单位长度，得到的图象
 

11.  椭圆任意两条相互垂直的切线的交点轨迹为圆：，这个圆称为椭圆的蒙日圆在圆上总存在点，使得过点能作椭圆的两条相互垂直的切线，则的取值范围是(    )

A.  B.  C.  D.

12.  设是正项数列的前项和，，则(    )

A. 如果，那么
B.
C. 如果，那么
D.

二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

13.  平面向量，满足，，则 ______ ．

14.  如果，满足，则的最小值为______ ．

15.  某玩具厂计划设计一款玩具，准备将一个棱长为的正四面体所有棱长都相等的三棱锥密封在一个圆柱形容器内，并且这个正四面体在该圆柱形容器内可以任意转动，则该圆柱形容器内壁高的最小值为______ ．

16.  已知是曲线上的点，是曲线上的点，恒成立，则实数的取值范围是______ ．

三、解答题（本大题共7小题，共82.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分
在中，角，，的对边分别为，，，，．
求和的值；
若的面积为，求的值．

18.  本小题分
某地区新高考要求语文、数学和英语是考生的必考科目，考生还要从物理、化学、生物、历史、地理和政治六个科目中选取三个科目作为选考科目现从该地区已选科的学生中随机选出人，对其选科情况进行统计，选考物理的占，选考政治的占，物理和政治都选的有人．
完成选考物理和政治的人数的列联表，并判断是否可以在犯错误概率不超过的前提下，认为考生选考物理与选考政治有关？

若甲、乙、丙三人选考的是物理、化学和生物，，两人选考的是历史、地理和政治，从这人中随机选出人，求这两人中选考物理和政治的各一人的概率．
附参考数据和公式：

，其中．

19.  本小题分
已知四棱锥，底面是边长为的菱形，且，，，为中点．
证明：；
若，求三棱锥的体积．

20.  本小题分
已知是抛物线：上的点当时，．
求的标准方程；
是的焦点，直线与的另一交点为，，求的值．

21.  本小题分
已知函数．
若，函数的极大值为，求的值；
若在上恒成立，求的取值范围．

22.  本小题分
在平面直角坐标系中，曲线的方程为，直线过点且倾斜角为以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系．
写出直线的参数方程用点坐标与表示和曲线的极坐标方程；
设直线与曲线交于，两点，求的最小值．

23.  本小题分
已知函数，函数的最小值为．
求的值；
已知，，均为正数，且，求的最小值．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：由中不等式解得：，
即，
，
，
故选：．
求出中不等式的解集确定出，找出与的交集，确定答案．
此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．
 

2.【答案】 

【解析】解：，
则，其虚部为．
故选：．
根据已知条件，结合复数的四则运算，共轭复数、虚部的定义，即可求解．
本题主要考查复数的四则运算，共轭复数、虚部的定义，属于基础题．
 

3.【答案】 

【解析】解：由题意，随机抽取的学生人数为人，
则估计该地区高三学生的平均身高为．
故选：．
根据平均数的定义可计算出该地区高三学生的平均身高．
本题考查平均数的应用，考查学生计算能力，属于基础题．
 

4.【答案】 

【解析】解：因为，
所以



．
故选：．
利用诱导公式和二倍角公式结合已知条件可求得结果．
本题主要考查二倍角的三角函数，属于基础题．
 

5.【答案】 

【解析】解：由知，函数是以为周期的周期函数，
又是奇函数，，
所以．
故选：．
根据给定条件，利用函数的周期性及奇偶性求解作答．
本题考查函数的周期性，奇偶性，属于基础题．
 

6.【答案】 

【解析】解：双曲线的离心率为，
可得，即有，
由，可得，
即，
则渐近线方程为，
即为
故选：．
运用双曲线的离心率公式和，，的关系可得，再由近线方程，即可得到所求方程．
本题考查双曲线的渐近线方程的求法，注意运用离心率公式和，，的关系，考查运算能力，属于基础题．
 

7.【答案】 

【解析】解：，，，
．
故选：．
根据对数函数、指数函数和正弦函数的单调性即可得出：，，，然后即可得出，，的大小关系．
本题考查了对数函数、指数函数和正弦函数的单调性，考查了计算能力，属于基础题．
 

8.【答案】 

【解析】解：数列，，，是等差数列，设其公差为，
则，，．
若其中的项按一定的顺序成等比数列．
当三项分别取，，时，
由，解得或舍去，
由，解得，
由，解得或舍去，
综上可知，此时的等比数列为，，．
当三项分别取，，时，
由，解得或舍去，
由，解得或，
由，解得或舍去，
综上可知，此时的等比数列为，，；或，，．
当三项分别取，，时，
由，解得或舍去，
由，解得或，
由，解得或舍去，
综上可知，此时的等比数列为，，；或，，．
当三项分别取，，时，
由，解得或舍去，
由，解得，
由，解得或舍去，
综上可知，此时的等比数列为，，．
由上可得，满足条件的等比数列个数为个．
故选：．
数列，，，是等差数列，设其公差为，则，，，再分类利用等比数列的性质求解，则答案可求．
本题考查等差数列的通项公式，考查等比数列的性质，考查运算求解能力，是中档题．
 

9.【答案】 

【解析】解：在正方体中，
以为坐标原点，以，，所在直线为，，轴建立空间直角坐标系，

则，，，
，，，，
由，可得，
故点坐标为，
则，，，
设平面的一个法向量为，则，
令，则，当平面时，，
即，，即，
，
当且仅当时，取等号．
的最小值为．
故选：．
以为坐标原点，以，，所在直线为，，轴建立空间直角坐标系，利用向量法可得，可求的最小值．
本题考查两点间的距离的最小值，考查运算求解能力，属中档题．
 

10.【答案】 

【解析】解：依题意，的重心为，则点是线段的中点，
且，函数的周期，即，
解得，即，由，
得，，而，
则，，因此，
对于；当时，，
而函数在上单调递增，
因此函数在上单调递增，A错误；
对于：，
因此直线不是函数图象的对称轴，B错误；
对于：由，得，
而点是线段的中点，于是点，
而点，则，，
，
，，
因此，C正确；
对于：将的图象向左平移个单位长度得到：

的图象，D错误．
故选：．
根据三角函数图象求出函数解析式，由正弦函数的性质判断；求出点，的坐标，利用夹角公式求出判断；由三角函数的图象变换判断作答．
本题考查三角函数的性质，考查夹角公式，属于中档题．
 

11.【答案】 

【解析】解：由题意可知：与椭圆相切的两条互相垂直的直线的交点的轨迹为圆：，
圆心，半径为，圆：上，圆心，圆的半径为，
 又在圆上，所以两圆有公共点即可，又两圆的圆心距为，
所以，所以．
故选：．
根据蒙日圆的定义，将问题转化为两圆有公共点的问题，根据两圆位置关系即可求解．
本题考查点的轨迹问题，考查圆与圆的位置关系，属中档题．
 

12.【答案】 

【解析】解：已知，
所以，
当时，
因为数列为正项数列，
所以，
则，
此时，故选项C错误；
当时，其不满足，故选项B错误；
对于选项A，当时，
因为，
可得，
所以，
因为，
所以，
即，
则，故选项A错误；
由，
可得，
所以，
则，故选项D正确．
故选：．
由题意，根据即可排除选项B和选项C，结合，即可排除选项A，再由排除法即可判断选项D．
本题考查数列的递推式，考查了逻辑推理和分析能力．
 

13.【答案】 

【解析】解：由，，
可得，
．
故答案为：．
先求出的坐标，再进行数量积运算即可．
本题考查平面向量的坐标运算，属基础题．
 

14.【答案】 

【解析】解：作出不等式组对应的平面区域如图：

设，则，
平移直线，由图象可知当直线经过点时，
直线的截距最小，此时最小，，
即的最小值是．
故答案为：．
作出不等式组对应的平面区域，设，则，利用数形结合即可得到结论．
本题主要考查了线性规划的应用，利用的几何意义，通过数形结合是解决本题的关键．
 

15.【答案】 

【解析】解：依题意该圆柱内放置一个棱长为的正四面体，并且正四面体在该圆柱内可以任意转动，
则该正四面体内接于该圆柱的内切球时，圆柱形容器内壁高最小，
则正四面体外接球的直径即为圆柱形容器内壁的高，
如图正四面体，

设点在面内的射影为，即面，
则球心在上，，
所以，
设外接圆的半径为，，所以，
在中，，即，
解得，
所以该圆柱形容器内壁高的最小值为．
故答案为：．
依题意该正四面体内接于该圆柱的内切球时，圆柱形容器内壁高最小，则正四面体外接球的直径即为圆柱形容器内壁的高，求出正四面体外接球的半径，即可得解．
本题考查圆柱和正四面体的结构特征，考查逻辑推理能力和运算求解能力，属于中档题．
 

16.【答案】 

【解析】解：要使恒成立即求的最小值，
因为曲线与曲线互为反函数，
所以图象关于直线对称，
又是曲线上的点，是曲线上的点，
所以的最小值为曲线上的点到于直线的距离的两倍，
由可得，
设与直线平行且与曲线相切的切点为：，
则，即，
所以平行于直线且与曲线相切的切点为，
所以到直线的距离的最小值即为点到直线的距离的最小值，
即，
所以，所以，
即实数的取值范围是：
故答案为：
要恒成立，即求的最小值，因为曲线与曲线互为反函数，关于直线对称，故的最小值为曲线上的点到于直线的距离的两倍，利用导数的几何意义求出即可．
本题考查了转化思想、导数的几何意义，属于中档题．
 

17.【答案】解：在中，，，则，
而，则，，
所以．
在中，由知，而，则，
所以，
解得，
由正弦定理得，即，所以，，
所以． 

【解析】在中，利用同角公式、二倍角的正余弦公式及和角的余弦公式求解作答．
由中信息，结合三角形的面积求出，再由正弦定理求解作答．
本题主要考查解三角形，正余弦定理的应用，考查运算求解能力，属于中档题．
 

18.【答案】解：根据题意，选考物理的考生有人，选考政治的考生有人，
列联表补充完整如下：

因为，
所以在犯错误概率不超过的前提下，可以认为考生选考物理与选考政治有关；
从人中抽取人包含的基本事件有：甲乙、甲丙、乙丙、甲、甲、乙、乙、丙、丙、，共个，
其中选考物理和政治的各一人的基本事件有：甲、甲、乙、乙、丙、丙，共个，
所以所求概率． 

【解析】根据题意完成列联表，再计算出与比较即可得出判断；
列举出从人中抽取人包含的基本事件，再分析出选考物理和政治的各一人的基本事件，根据古典概型计算公式，计算即可．
本题主要考查了独立性检验的应用，考查了古典概型的概率公式，属于中档题．
 

19.【答案】解：证明：连接，，，因为底面是边长为的菱形，
所以，且是的中点，因为，所以，
又因为，，平面，
所以平面，因为平面，所以；

因为≌，所以，
又因为，所以，
即，因为，，平面，
所以平面，因为底面是边长为的菱形，
且，，所以，
因为为中点，所以，
． 

【解析】连接，，，证明与可得平面，利用线面垂直的性质可得结论；
求出，结合为点，可得，利用可得答案．
本题考查线线垂直的证明，考查空间几何体的体积的计算，属中档题．
 

20.【答案】解：将点的坐标代入抛物线的方程可得，
即，
所以抛物线的方程为：；
由可得焦点，因为，由抛物线的性质可得，
可得，代入抛物线的方程可得，
可得，即，
由抛物线的对称性，设，则直线的斜率，
所以直线的方程为，
联立，整理可得：，
可得，可得可得，
所以，
所以． 

【解析】将点的坐标代入抛物线的方程可得的值，进而求出抛物线的方程；
由的大小，可得点的横坐标，代入抛物线的方程可得点的坐标，由抛物线的对称性，设点的坐标，可得直线的方程，与抛物线的方程联立，可得两根之积，可得的纵坐标，进而可得的横坐标，再由抛物线的性质可得的大小，进而求出的值．
本题考查抛物线的性质的应用及直线与抛物线的综合应用，属于中档题．
 

21.【答案】解：已知，函数定义域为，
而，函数定义域为，
可得，
当时，，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减，
所以当时，取得极大值，
极大值，不符合题意；
当时，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减，
所以当时，取得极大值，
极大值，
解得，符合题意；
当时，，单调递增；
函数无极值，不符合题意
当时，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
所以当时，取得极大值，
极大值，
解得，不符合题意，
综上所述，满足条件的的值为；
若在上恒成立，
即在上恒成立，
当时，在上恒成立，满足条件；
当时，
不妨设，函数定义域为，
可得，
若，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
所以当时取得极小值，也是最小值，
此时，
解得；
若，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减，
所以，
此时，
解得，
综上，满足条件的的取值范围为． 

【解析】由题意，对函数进行求导，分别讨论当，，和这四种情况，结合导数的几何意义得到函数的单调性和极值，列出等式求解即可；
将在上恒成立，转化成在上恒成立，当时，满足条件；当时，构造函数，对函数进行求导，分别讨论当和这两种情况，结合导数的几何意义得到函数的单调性和极值，进而即可求解．
本题考查利用导数研究函数的单调性和极值，考查了逻辑推理、分类讨论和运算能力．
 

22.【答案】解：直线过点且倾斜角为，则直线的参数方程为为参数；
由曲线的方程，得．
，，
曲线的极坐标方程为；
把为参数代入，
可得．
设、对应的参数分别为，，
，，，
则
，当且仅当时等号成立．
的最小值为． 

【解析】直接由已知写出直线的参数方程；结合极坐标与直角坐标的互化公式可得曲线的极坐标方程；
把直线的参数方程代入曲线的普通方程，可得关于的一元二次方程，利用根与系数的关系结合参数的几何意义求解的最小值．
本题考查简单曲线的极坐标方程，考查参数方程化普通方程，考查运算求解能力，是基础题．
 

23.【答案】解：依题意，，当且仅当，即时取等号，
所以的值为；
由知，，而，，均为正数，
所以，当且仅当时取等号，
由解得，，，
所以当，，时，取得最小值． 

【解析】利用绝对值三角不等式求解作答．
由的结论，利用柯西不等式求解作答．
本题考查了绝对值三角不等式、柯西不等式的应用，属于中档题．