2022-2023学年四川省达州市高二（下）期末数学试卷（理科）（含解析）

2022-2023学年四川省达州市高二（下）期末数学试卷（理科）

一、单选题（本大题共12小题，共60.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  已知集合，，则(    )

A.  B.  C.  D.

2.  复数，则的虚部是(    )

A.  B.  C.  D.

3.  某地区高三学生参加体检，现随机抽取了部分学生的身高，得到下列频数分布表：

根据表格，估计该地区高三学生的平均身高是(    )

A.  B.  C.  D.

4.  已知，则(    )

A.  B.  C.  D.

5.  的展开式中，的系数为(    )

A.  B.  C.  D.

6.  某市年中考体育考试要求考生必须在篮球、足球、排球这三个项目中选择一个项目考试如果这三个项目该市一初三寝室的四名同学都有人选，则这四名同学所有可能选择的方案为(    )

A.  B.  C.  D.

7.  已知，分别是双曲线的左、右焦点，直线与的一个交点为，，则的离心率为(    )

A.  B.  C.  D.

8.  桌上放着张卡片，每张卡片的一面写着一个大写或小写字母，另一面
写着一个到的整数数字，小明只能看到卡片的一面下面的张卡片，要判断命题“卡片的一面是大写字母，这张卡片的另一面是奇数”为真，小明至少翻开的卡片是(    )

A.  B.  C.  D.

9.  已知中，角，，的对边分别为，，若，的面积为，则(    )

A.  B.  C.  D.

10.  在棱长为的正方体中，点满足，，在满足条件的中随机取一点，与所成角小于等于的概率为(    )

A.  B.  C.  D.

11.  椭圆任意两条相互垂直的切线的交点轨迹为圆：，这个圆称为椭圆的蒙日圆在圆上总存在点，使得过点能作椭圆的两条相互垂直的切线，则的取值范围是(    )

A.  B.  C.  D.

12.  设表示集合的子集个数，，，其中给出下列命题：
当时，是函数的一个对称中心；
时，函数在上单调递增；
函数的值域是；
对任意的实数，任意的正整数，恒成立．
其中是真命题的为(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

13.  已知向量，满足，，，则 ______ ．

14.  曲线在点处的切线方程是______ ．

15.  某玩具厂计划设计一款玩具，准备将一个棱长为的正四面体所有棱长都相等的三棱锥密封在一个圆柱形容器内，并且这个正四面体在该圆柱形容器内可以任意转动，则该圆柱形容器内壁高的最小值为______ ．

16.  已知，是函数的两个零点，且，记，，，用“”把，，连接起来______ ．

三、解答题（本大题共7小题，共82.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分
已知等差数列前五项和为，等比数列的前三项积为，且．
求和的通项公式；
设，求数列的前项和．

18.  本小题分
某地区新高考要求语文、数学和英语是考生的必考科目，考生还要从物理、化学、生物、历史、地理和政治六个科目中选取三个科目作为选考科目现从该地区已选科的学生中随机选出人，对其选科情况进行统计，选考物理的占，选考政治的占，物理和政治都选的有人．
完成选考物理和政治的人数的列联表，并判断是否可以在犯错误概率不超过的前提下，认为考生选考物理与选考政治有关？

在该地区已选科的考生中随机选出人，这人中物理和政治都选了的考生的人数为，视频率为概率，求的分布列和数学期望．
附参考数据和公式：

，其中．

19.  本小题分
已知四棱锥的底面是边长为的菱形，且，，，为中点．
证明：；
若与底面所成角的正弦值为，求二面角的余弦值．

20.  本小题分
已知抛物线：上任意一点到焦点的距离比到轴的距离大．
求的标准方程；
，，交于，两点，交于，两点求四边形的面积的最小值．

21.  本小题分
已知函数，．
求函数的单调区间；
若函数存在极大值点，且，求的取值范围．

22.  本小题分
在平面直角坐标系中，曲线的方程为，直线过点且倾斜角为以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系．
写出直线的参数方程用点坐标与表示和曲线的极坐标方程；
设直线与曲线交于，两点，求的最小值．

23.  本小题分
已知函数，函数的最小值为．
求的值；
已知，，均为正数，且，求的最小值．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：由中不等式解得：，
即，
，
，
故选：．
求出中不等式的解集确定出，找出与的交集，确定答案．
此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．
 

2.【答案】 

【解析】解：，
则，其虚部为．
故选：．
根据已知条件，结合复数的四则运算，共轭复数、虚部的定义，即可求解．
本题主要考查复数的四则运算，共轭复数、虚部的定义，属于基础题．
 

3.【答案】 

【解析】解：由题意，随机抽取的学生人数为人，
则估计该地区高三学生的平均身高为．
故选：．
根据平均数的定义可计算出该地区高三学生的平均身高．
本题考查平均数的应用，考查学生计算能力，属于基础题．
 

4.【答案】 

【解析】解：因为，
所以



．
故选：．
利用诱导公式和二倍角公式结合已知条件可求得结果．
本题主要考查二倍角的三角函数，属于基础题．
 

5.【答案】 

【解析】解：由于表示个因式的乘积，
故它的展开式中，要得到含的项，
个因式都取；或有一个因式取，一个因式取，还有一个因式取．
故的系数为．
故选：．
由题意，利用乘方的意义，组合数公式，计算求得结果．
本题主要考查乘方的意义，组合数公式的应用，属于中档题．
 

6.【答案】 

【解析】解：根据题意：分步进行：
四名同学在蓝球足球排球这三个项目中选择一个项目考试，且每个项目至少有一名同学报名，
可以把四名同学分成三组，人数分别为，，，有种分组方法；
将分好的三组对应三个项目，有种对应方法，
则四名同学所有可能选择的方案有种．
故选：．
按照，，把人分层三组，将分好的三组对应三个项目，由分步计数原理计算可得答案．
本题考查排列组合的应用，属于基础题．
 

7.【答案】 

【解析】解：因为与的一个交点为，可得轴，
所以，
由双曲线的性质定义可得，
又因为，
可得，可得，
即，
可得离心率．
故选：．
由题意可得的大小，再由双曲线的定义可得的大小，再由题意可得，的关系，进而可得双曲线的离心率．
本题考查双曲线的性质的应用，属于基础题．
 

8.【答案】 

【解析】解：的正面是小写字母，无论的背面是奇数还是偶数，都无法判断命题的真假；
的正面是大写字母，如果的背面是奇数，则命题是真命题，否则命题是假命题；
的正面是，如果的背面是小写字母，也无法说明命题是假命题；
的正面是，若的背面是大写字母，则判断命题为假．
综上，要验证命题的真假，至少要翻开的是．
故选：．
根据题目信息进行合情推理，能求出结果．
本题考查合情推理的知识，属于基础题．
 

9.【答案】 

【解析】解：因为，所以，即，
，
所以，又，所以，
在中，由射影定理知：，
所以




．
故选：．
根据数量积及面积公式列方程求得，利用射影定理化简式子，代入求解即可．
本题考查平面向量和解三角形的综合应用，属中档题．
 

10.【答案】 

【解析】解：如图建立空间直角坐标系，

则，，，，，
所以，，，，
因为，，，
所以，
所以，
设与所成角为，则，
因为与所成角小于等于，则，
，
所以，即，
因为，，目标式子为，
如下图所示，

满足的为图中扇形中的点，
，，所以．
即在满足条件的中随机取一点，与所成角小于等于的概率为．
故选：．
建立空间直角坐标系，表示出，设与所成角为，则，依题意可得，即可得到，再根据几何概型的概率公式计算可得．
本题考查异面直线所成角，几何概型，属于基础题．
 

11.【答案】 

【解析】解：由题意可知：与椭圆相切的两条互相垂直的直线的交点的轨迹为圆：，
圆心，半径为，圆：上，圆心，圆的半径为，
 又在圆上，所以两圆有公共点即可，又两圆的圆心距为，
所以，所以．
故选：．
根据蒙日圆的定义，将问题转化为两圆有公共点的问题，根据两圆位置关系即可求解．
本题考查点的轨迹问题，考查圆与圆的位置关系，属中档题．
 

12.【答案】 

【解析】解：因为集合的子集个数为，
所以，，，
所以，
所以，
当时，，
所以是函数的一个对称中心，故正确；
当时，，
由余弦函数的性质，在在上不单调，
所以函数在上不是单调函数，故错误；
，
所以当时，取最大值，所以当时，取最小值，
即函数的值域是，故正确；
因为，故正确；
综上，真命题为故选：．
根据子集个数确定数列通项公式，求得，
对于根据余弦函数的图象与性质判断即可；
对于根据二倍角的余弦公式，结合二次函数的最值判断即可；
对于根据余弦函数的有界性及等比数列求和判断即可．
本题考查了余弦函数的性质、二倍公式的应用及等比数列的求和公式，属于中档题．
 

13.【答案】 

【解析】解：，，
则，
，
，解得．
故答案为：．
根据已知条件，结合向量垂直的性质，即可求解．
本题主要考查向量垂直的性质，属于基础题．
 

14.【答案】 

【解析】解：由，得，
，
则曲线在点处的切线方程是，
即．
故答案为：．
求出原函数的导函数，得到函数在处的导数值，再由直线方程的点斜式得答案．
本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，熟记基本初等函数的导函数是关键，是基础题．
 

15.【答案】 

【解析】解：依题意该圆柱内放置一个棱长为的正四面体，并且正四面体在该圆柱内可以任意转动，
则该正四面体内接于该圆柱的内切球时，圆柱形容器内壁高最小，
则正四面体外接球的直径即为圆柱形容器内壁的高，
如图正四面体，

设点在面内的射影为，即面，
则球心在上，，
所以，
设外接圆的半径为，，所以，
在中，，即，
解得，
所以该圆柱形容器内壁高的最小值为．
故答案为：．
依题意该正四面体内接于该圆柱的内切球时，圆柱形容器内壁高最小，则正四面体外接球的直径即为圆柱形容器内壁的高，求出正四面体外接球的半径，即可得解．
本题考查圆柱和正四面体的结构特征，考查逻辑推理能力和运算求解能力，属于中档题．
 

16.【答案】 

【解析】解：由，得，
令，
作出的图象，

由题意可得的图象与直线有两个交点，
则有，又，
所以，，
又因为，
所以，，
令，，
则，，
则，，，
作出函数与在上的图象，如图所示：

由此可得，当时，，当时，，
当时，；当时，；当时，，
，，
又因为，从而有，
则，
即，
，，
而，从而，
则，
即，
所以．
故答案为：．
由，得，，借助的图象可得，的范围，令，，则，，，利用函数与在上的图象，以及指数幂运算和函数的单调性即可得答案．
本题考查了对数函数、指数函数、二次函数的性质及数形结合思想，属于中档题．
 

17.【答案】解：由题意，设等差数列的公差为，
则，
即，
解得，
，，
设等比数列的公比为，
则，
即，解得，
，．
由可得，，
则，
，
两式相减，
可得

，
． 

【解析】先设等差数列的公差为，根据题干已知条件列出关于公差的方程，解出的值，即可得到等差数列的通项公式，再设等比数列的公比为，根据题干已知条件列出关于公比的方程，解出的值，即可得到等比数列的通项公式；
先根据第题的结果计算出数列的通项公式，再运用错位相减法即可计算出前项和．
本题主要考查等差数列与等比数列的基本运算，以及数列求和问题．考查了方程思想，转化与化归思想，错位相减法，等比数列求和公式的运用，以及逻辑推理能力和数学运算能力，属中档题．
 

18.【答案】解：根据题意，选考物理的考生有人，选考政治的考生有人，
列联表补充完整如下：

因为，
故犯错误概率不超过的前提下，可以认为考生选考物理与选考政治有关．
在该地区已选科的考生中随机选出人，则物理和政治都选了的概率为，
易知，随机变量服从二项分布，即，
所以可取，，，，
，
，
，

故的分布列如下：

则． 

【解析】根据题意完成列联表，再计算出与比较即可得出判断；
因为任取一人物理和政治都选了的概率为，且，所以根据二项分布的概率计算公式列出分布列计算数学期望即可．
本题考查离散型随机变量的应用，属于中档题．
 

19.【答案】解：证明：因为底面是菱形，
所以，
又因为，，
所以≌，
因为，
所以，
又，面，面，
所以面，
因为面，
所以，
因为底面是菱形，
所以，
因为，
所以面，
因为为中点，面，
所以．
连接交与点，连接，
因为四边形是边长为的菱形，，
所以，，
因为与底面所成角的正弦值为，面，
所以，，
又为的中点，为中点，则，
所以面，
以为坐标原点，以，，方向分别为轴，轴，轴正方向，建立空间直角坐标系，
则，，，，
所以，，，
设平面的一个法向量为，
则，即，
令，则，，
所以，
同理可得平面的一个法向量，
所以，，
因为二面角的平面角为锐角，
所以二面角的余弦值为． 

【解析】根据题意可得≌，由线面垂直的判定定理可得面，进而可得，推出面，即可得出答案．
连接交与点，连接，根据题意可得面，建立空间直角坐标系，解得平面的法向量为，平面的一个法向量，坐标，进而可得，，即可得出答案．
本题考查直线与平面的位置关系，解题中需要理清思路，属于中档题．
 

20.【答案】解：由抛物线的性质可得到焦点的距离等于到准线的距离，
再由到焦点的距离比到轴的距离大，可得准线到轴的距离为，
即，可得，
所以的标准方程为：；
由可得焦点，
由题意直线，的斜率存在，且不为，
设直线的方程为，设，，
联立，整理可得：，
可得，，
由抛物线的性质可得，
同理可得，
所以，
当且仅当，即时，取等号，
所以边形的面积的最小值为． 

【解析】由抛物线的性质可得的值，进而可得的值，求出抛物线的方程；
设直线的方程，与抛物线的方程联立，可得两根之和，再由抛物线的性质可得弦长的表达式，同理可得弦长的表达式，代入四边形的面积公式，再由均值不等式可得面积的最小值．
本题考查抛物线的性质的应用及直线与抛物线的综合应用，属于基础题．
 

21.【答案】解：，
，
当时，，在上单调递增，
当时，令得，
所以在上，单调递增，
在上，单调递减，
综上所述，当时，在上单调递增，
当时，在上单调递增，在上单调递减．
，
，
令得，
结合函数和函数图象可知，
当时，存在使得，
所以当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
所以为函数的极小值点，不合题意，
当时，函数在处的切线是，恒过点，
所以函数存在极大值点，即直线与曲线有两个交点，
其中为位于第一象限交点的横坐标，
所以，，即，
因为，
所以，
由，得，
所以，
由于在上单调递增，且，
所以，
所以，
设，
因为，
所以当上，单调递减，
所以，
所以实数的取值范围为 

【解析】求导得，分两种情况：当时，当时，分析的符号，的单调性．
根据题意可得，求导分析单调性，极值，使得函数存在极大值点，且，即可得出答案．
本题考查导数的综合应用，解题中注意转化思想的应用，属于中档题．
 

22.【答案】解：直线过点且倾斜角为，则直线的参数方程为为参数；
由曲线的方程，得．
，，
曲线的极坐标方程为；
把为参数代入，
可得．
设、对应的参数分别为，，
，，，
则
，当且仅当时等号成立．
的最小值为． 

【解析】直接由已知写出直线的参数方程；结合极坐标与直角坐标的互化公式可得曲线的极坐标方程；
把直线的参数方程代入曲线的普通方程，可得关于的一元二次方程，利用根与系数的关系结合参数的几何意义求解的最小值．
本题考查简单曲线的极坐标方程，考查参数方程化普通方程，考查运算求解能力，是基础题．
 

23.【答案】解：依题意，，当且仅当，即时取等号，
所以的值为；
由知，，而，，均为正数，
所以，当且仅当时取等号，
由解得，，，
所以当，，时，取得最小值． 

【解析】利用绝对值三角不等式求解作答．
由的结论，利用柯西不等式求解作答．
本题考查了绝对值三角不等式、柯西不等式的应用，属于中档题．