四川省达州市2022-2023高二下学期期末文科数学试卷+答案

达州市2023年普通高中二年级春季期末监测

数学试题（文科）

注意事项：

1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷无效．

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1. 已知集合，，则（    ）

A.  B.  C.  D.

2. 复数，则的虚部是（    ）

A. bi B.  C. 0 D.

3. 某地区高三学生参加体检，现随机抽取了部分学生的身高，得到下列频数分布表：

根据表格，估计该地区高三学生的平均身高是（    ）

A. 165 B. 167 C. 170 D. 173

4. 已知，则（    ）

A.  B.  C.  D.

5. 是定义域为R的奇函数，，，则（    ）

A. 3 B.  C. 6 D. 0

6. 已知双曲线的离心率为2，则它的渐近线方程为（    ）

A.  B.  C.  D.

7. 设，，，则（    ）

A.  B.  C.  D.

8. 已知1，，，成等差数列（，，都是正数），若其中3项按一定的顺序成等比数列，则这样的等比数列个数为（    ）

A. 3 B. 4 C. 5 D. 6

9. 已知棱长为的正方体中，点P满足，其中，．当平面时，的最小值为（    ）

A. 1 B.  C.  D. 2

10. 如图，函数的图象交坐标轴于点B，C，D，直线BC与曲线的另一交点为A．若，的重心为，则（    ）

A. 函数在上单调递减

B. 直线是函数图象一条对称轴

C.

D. 将图象向左平移个单位长度，得到的图象

11. 椭圆任意两条相互垂直的切线的交点轨迹为圆：，这个圆称为椭圆的蒙日圆．在圆上总存在点P，使得过点P能作椭圆的两条相互垂直的切线，则r的取值范围是（    ）

A.  B.  C.  D.

12. 设是正项数列的前n项和，，则（    ）

A. 如果，那么 B.

C. 如果，那么 D.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13. 平面向量，满足，，则______．

14. 如果x，y满足，则的最小值为______．

15. 某玩具厂计划设计一款玩具，准备将一个棱长为4 cm的正四面体（所有棱长都相等的三棱锥）密封在一个圆柱形容器内，并且这个正四面体在该圆柱形容器内可以任意转动，则该圆柱形容器内壁高的最小值为______cm．

16. 已知是曲线上点，是曲线上的点，恒成立，则实数a的取值范围是______．

三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．

（一）必考题：共60分．

17. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，，．

（1）求和的值；

（2）若的面积为，求的值．

18. 某地区新高考要求语文、数学和英语是考生的必考科目，考生还要从物理、化学、生物、历史、地理和政治六个科目中选取三个科目作为选考科目．现从该地区已选科的学生中随机选出200人，对其选科情况进行统计，选考物理的占，选考政治的占，物理和政治都选的有80人.

（1）完成选考物理和政治的人数的列联表，并判断是否可以在犯错误概率不超过的前提下，认为考生选考物理与选考政治有关？

（2）若甲、乙、丙三人选考的是物理、化学和生物，A，B两人选考的是历史、地理和政治，从这5人中随机选出2人，求这两人中选考物理和政治的各一人的概率.

附参考数据和公式：

，其中.

19. 已知四棱锥，底面ABCD是边长为2的菱形，且，，，E为PB中点．

（1）证明：；

（2）若，求三棱锥的体积．

20. 已知是抛物线上的点．当时，．

（1）求E的标准方程；

（2）F是E的焦点，直线AF与E的另一交点为B，，求的值．

21. 已知函数．

（1）若，函数的极大值为，求a的值；

（2）若在上恒成立，求a的取值范围．

（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．

［选修4-4：坐标系与参数方程］

22. 在平面直角坐标系xOy中，曲线C的方程为，直线l过点且倾斜角为．以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．

（1）写出直线l的参数方程（用P点坐标与表示）和曲线C的极坐标方程；

（2）设直线l与曲线C交于A，B两点，求的最小值．

［选修4-5：不等式选讲］

23. 已知函数，函数的最小值为k．

（1）求k的值；

（2）已知a，b，c均为正数，且，求的最小值．
数学试题（文科）答案

1——10.  ACBAB

6——8.  ADCCC

11——12. DD

第12题详解：由，当时，由于，所以，此时，故排除C，

当时，显然不满足,故排除B,

对于A,由于，当时，,

所以，

由于,,所以,故,故排除A，

因为，故，故，

故，故D成立.

13. 1

14.

15.

16.

第16题详解：要恒成立即求的最小值，

因为曲线与曲线互为反函数，

所以图像关于直线对称，

又是曲线上的点，是曲线上的点，

所以的最小值为曲线上的点到于直线的距离的两倍，

由，

设与直线的平行且在上的切点为：，

则，即，

所以曲线上切点为，

所以到直线的距离的最小值即为点到直线的距离的最小值，

即，

所以，所以，

即实数a的取值范围是：.

故答案为：

17. （1）在中，，，则，

而，则，，

因此.

（2）在中，由（1）知，而，则，

于是的面积，解得，

由正弦定理得，即，因此，

所以.

18. （1）根据题意，选考物理的考生有人，

选考政治的考生有人，列联表补充完整如下：

因为，

所以在犯错误概率不超过的前提下，可以认为考生选考物理与选考政治有关.

（2）从5人中抽取2人包含的基本事件有甲乙、甲丙、乙丙、甲A、甲B、乙A、乙B、丙A、丙B、AB，

共10个，其中选考物理和政治的各一人的基本事件有、甲A、甲B、乙A、乙B、丙A、丙B，共6个，

所以所求概率.

19. （1）连接，

因为底面ABCD是边长为2的菱形，

所以，且是的中点，

因为，所以，

又因为平面，

所以平面，因为平面，

所以

（2）因为，所以，

又因为，所以，即，

因为平面ABCD，所以平面ABCD，

因为底面ABCD是边长为2的菱形，且，，

所以，

因为E为PB中点，所以，

所以

20. （1）依题意，抛物线过点，则，解得，

所以E的标准方程为.

（2）由（1）知，抛物线E的焦点，准线方程为，

显然直线不垂直于轴且斜率不为0，

设直线的方程为：，点，

由消去并整理得：，则，，

而，解得，于是，，

所以.

21. （1）由，得

，

①当时，，

当时，，当时，，

所以当时，取得极大值，不合题意，

②当时，令，则

当时，，当时，，

所以当时，取得极大值，

解得，

③当时，令，则或，

当时，，则在上递增，所以无极值，所以不合题意，

当时，，

当或时，，当时，，

所以在和上递增，在上递减，

所以当时，取得极大值，

解得（舍去），

综上，

（2）由在上恒成立，得在上恒成立，

当时，上式恒成立，

当时，令，

则，

①当时，当时，，当时，，

所以在上递减，在上递增，

所以当时取得极小值，也是最小值，

所以，解得，

②当时，当时，，当时，，

所以在上递减，在上递增，

所以，

所以，解得，

综上，，

即a的取值范围为

22. （1）因为直线l过点且倾斜角为，则直线l的参数方程为（为参数），

把代入方程得：，

所以曲线C的极坐标方程是.

（2）由（1）知，把直线l的参数方程代入方程得：

，设点所对参数分别为，则，

因此

，当且仅当时取等号，

所以的最小值为.

23. （1）依题意，，当且仅当，即时取等号，

所以k的值为3.

（2）由（1）知，，而均为正数，

所以，当且仅当时取等号，

由解得，

所以当时，取得最小值.