2022-2023学年天津市南开区高一（下）期末数学试卷（含详细答案解析）

这是一份2022-2023学年天津市南开区高一（下）期末数学试卷（含详细答案解析），共11页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.从装有4个黑球、2个白球的袋中任取3个球，若事件A为“所取的3个球中至多有1个白球”，则与事件A互斥的事件是( )
A. 所取的3个球中至少有一个白球B. 所取的3个球中恰有2个白球1个黑球
C. 所取的3个球都是黑球D. 所取的3个球中恰有1个白球2个黑球
2.设复数z=1−2i，则复数z的模为( )
A. 1B. 10C. 3D. 5
3.已知|a|=3，|b|=4，且a与b的夹角θ=120∘，则a⋅b等于( )
A. −6B. 6C. −6 3D. 6 3
4.某研究机构为了解某地年轻人的阅读情况，通过随机抽样调查了100位年轻人，对这些人每天的阅读时间(单位：分钟)进行统计，得到样本的频率分布直方图(如图所示)，则a的值为( )
A. 0.20
B. 0.040
C. 0.020
D. 0.010
5.如图，在正三棱柱ABC−A1B1C1中，AB=2，AA1=3，则四棱锥A1−B1C1CB的体积是( )
A. 2 3
B. 2 10
C. 4 23
D. 4 6π
6.某校高一年级随机抽取15名男生，测得他们的身高数据，如下表所示：
那么这组数据的第80百分位数是( )
A. 170B. 175C. 176D. 176.5
7.从数字1，2，3，4中任取三个不同的数字，则所抽取的三个数字之和能被6整除的概率为( )
A. 12B. 15C. 14D. 25
8.已知正四面体的棱长为2，则其外接球的表面积为( )
A. 4πB. 6πC. 8πD. 10π
9.已知三条不同的直线l，m，n和两个不同的平面α，β，下列四个命题中正确的是( )
A. 若m//α，n//α，则m//nB. 若l//α，m⊂α，则l//m
C. 若α⊥β，l⊂α，则l⊥βD. 若l//α，l⊥β，则α⊥β
10.已知C为△ABC的一个内角，向量m=(2csC−1,−2)，n=(csC,csC+1).若m⊥n，则角C等于.( )
A. 30∘B. 60∘C. 120∘D. 150∘
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
11.某个年级有男生180人，女生160人，用分层抽样的方法从该年级全体学生中抽取一介容量为68的样本，则此样本中女生人数为______ .
12.已知i为虚数单位，复数z=3+2i2−i的共轭复数为______ .
13.已知向量a=(1,3)，b=(1,1)，则a在b方向上的投影向量为______ .
14.已知正三棱柱ABC−A1B1C1，O为△ABC的外心，则异面直线AC1与OB所成角的大小为______ .
15.在矩形ABCD中，AB=1，AD= 3，点M在对角线AC上，点N在边CD上，且AM=14AC，DN=13DC，则MN⋅AC=______ .
三、解答题：本题共5小题，共55分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题8分)
复数z=(1−i)2−3a+2+i(α∈R).
(1)若z为纯虚数求实数a的值，及z在复平面内对应的点的坐标；
(2)若z在复平面内对应的点位于第三象限，求实数a的取值范围．
17.(本小题10分)
甲、乙、丙三人进行投球练习，每人投球一次.已知甲命中的概率是34，甲、丙都未命中的概率是112，乙、丙都命中的概率是14.若每人是否命中互不影响.
(1)求乙、丙两人各自命中的概率；
(2)求甲、乙、丙三人中不少于2人命中的概率.
18.(本小题12分)
已知e1，e2是平面内两个不共线的非零向量，AB=2e1+e2，BE=−e1+λe2，EC=−2e1+e2，且A，E，C三点共线．
(1)求实数λ的值；若e1=(2,1)，e2=(2,−2)，求BC的坐标；
(2)已知点D(3,5)，在(1)的条件下，若ABCD四点构成平行四边形，求点A的坐标．
19.(本小题12分)
已知△ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且a=1，sinA−sinC=ba+c(sinB−sinC).
(1)求角A；
(2)求△ABC周长的取值范围.
20.(本小题13分)
如图，四棱锥P−ABCD的底面ABCD为菱形，PB=PD，E，F分别为AB和PD的中点．
(1)求证：EF//平面PBC；
(2)求证：平面PBD⊥平面PAC.
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：从装有4个黑球、2个白球的袋中任取3个球，
事件A为“所取的3个球中至多有1个白球”即所取的3个球是3黑或2黑1白，
∴与事件A互斥的事件是所取的3个球中恰有2个白球1个黑球．
故选：B.
事件A为“所取的3个球中至多有1个白球”即所取的3个球是3黑或2黑1白，由此能求出与事件A互斥的事件．
本题考查样本中最大的编号的求法，考查系统抽样的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
2.【答案】D
【解析】解：z=1−2i，
则|z|= 12+(−2)2= 5.
故选：D.
根据已知条件，结合复数模公式，即可求解．
本题主要考查复数模公式，属于基础题．
3.【答案】A
【解析】解：由题意可得：a⋅b=|a||b|cs120∘=3×4×(−12)=−6，
故选：A.
由平面向量数量积的运算可得：a⋅b=|a||b|cs120∘，然后求解即可．
本题考查了平面向量数量积的运算，属基础题．
4.【答案】C
【解析】解：由频率分布直方图可知：每组频率依次为0.1，10a，0.45，10a，0.05，
则0.1+10a+0.45+10a+0.05=20a+0.6=1，
解得a=0.020.
故选：C.
根据题意结合频率和为1列式求解．
本题主要考查了频率分布直方图的应用，属于基础题．
5.【答案】A
【解析】解：如图，取B1C1的中点E，连结A1E，A1E⊥B1C1，
BB1⊥面A1B1C1，A1E⊂面A1B1C1，BB1⊥A1E，
BB1∩B1C1=B1，所以A1E⊥平面BB1C1C，所以A1E为四棱锥A1B1C1CB的高，
矩形BB1C1C的面积为S=2×3=6，
所以四棱锥A1B1C1CB的体积V=13×6× 3=2 3，
故选：A.
由已知得A1E为四棱锥A1B1C1CB的高，再运用棱锥的体积公式可得选项．
本题主要考查锥体体积的计算，空间想象能力的培养等知识，属于基础题．
6.【答案】D
【解析】解：将身高按升序排列得：168，169，169，170，172，173，173，174，175，175，175，176，177，179，182，
因为15×0.8=12，
所以这组数据的第80百分位数是176+1772=176.5.
故选：D.
根据百分位数的定义运算求解．
本题主要考查了百分位数的定义，属于基础题．
7.【答案】C
【解析】解：从数字1，2，3，4中任取三个不同的数字，方法有：123，124，134，234共4种，
其中所抽取的三个数字之和能被6整除的有：1+2+3=6共1种，
故所求概率为14.
故选：C.
利用列举法，结合古典概型概率计算公式，计算出所求概率．
本题主要考查古典概型的问题，熟记概率的计算公式即可，属于常考题型．
8.【答案】B
【解析】解：因为正四面体的棱长为2，所以底面三角形的高为 3，
棱锥的高为h= 22−(2 33)2=2 63，
设外接球半径为R，
则R2=(2 63−R)2+(2 33)2，解得R= 62，
所以外接球的表面积为S=4πR2=4π( 62)2=6π.
故选：B.
由正四面体的棱长，求出正四面体的高，设外接球半径为R，利用勾股定理求出R的值，可求外接球的表面积．
本题考查了正四面体外接球的表面积计算，属于中档题．
9.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理能力，是中档题．
对于A，m与n相交、平行或异面；对于B，l与m平行或异面；对于C，l不一定垂直β；对于D，由面面垂直的判定定理得α⊥β.
【解答】
解：三条不同的直线l，m，n和两个不同的平面α，β，
对于A，若m//α，n//α，则m与n相交、平行或异面，故A错误；
对于B，若l//α，m⊂α，则l与m平行或异面，故B错误；
对于C，若α⊥β，l⊂α，则l不一定垂直β，故C错误；
对于D，若l//α，l⊥β，则由面面垂直的判定定理得α⊥β，故D正确．
故选：D.
10.【答案】C
【解析】解：m=(2csC−1,−2)，n=(csC,csC+1)，m⊥n，
则2cs2C−csC−2csC−2=0，即(2csC+1)(csC−2)=0，解得csC=−12或csC=2(舍去)，
∵C∈(0,π)，
∴C=120∘.
故选：C.
根据已知条件，结合向量垂直的性质，即可求解．
本题主要考查向量垂直的性质，属于基础题．
11.【答案】32
【解析】解：由题意可得：样本中女生人数为68×160180+160=32.
故答案为：32.
根据分层抽样的性质运算求解．
本题主要考查了分层抽样的定义，属于基础题．
12.【答案】45−75i
【解析】解：由题意可得：z=3+2i2−i=(3+2i)(2+i)(2−i)(2+i)=45+75i，
所以复数z的共轭复数为z−=45−75i.
故答案为：45−75i.
根据复数的运算结合共轭复数的概念求解．
本题主要考查了复数的运算，考查了共轭复数的概念，属于基础题．
13.【答案】(2,2)
【解析】解：由题意可得：|b|= 12+12= 2,a⋅b=1×3+1×1=4，
所以a在b方向上的投影向量为(a⋅bb2)b=2b=(2,2).
故答案为：(2,2).
先根据向量的坐标运算求|b|,a⋅b，进而求投影向量．
本题主要考查了投影向量的定义，属于基础题．
14.【答案】π2
【解析】解：延长BO交AC于点M，
因为△ABC为正三角形，则点M为AC的中点，可得BM⊥AC，
又因为AA1⊥平面ABC，BM⊂平面ABC，可得BM⊥AA1，
且AC∩AA1=A，AC，AA1⊂平面ACC1A1，可得BM⊥平面ACC1A1，
由于AC1⊂平面ACC1A1，所以BM⊥AC1，即OB⊥AC1，
所以异面直线AC1与OB所成角的大小为π2.
故答案为：π2.
根据异面直线夹角的定义结合线面垂直分析求解．
本题考查异面直线的夹角相关知识，属于中档题．
15.【答案】73
【解析】解：以{AB,AD}为基底向量，
则AC=AB+AD，
MN=MC+CN=34AC−23AB=34(AB+AD)−23AB=112AB+34AD，
因为AB=1，AD= 3，且AB⊥AD，
则AB⋅AD=0，
所以MN⋅AC=(112AB+34AD)⋅(AB+AD)=112AB2+34AD2=73.
故答案为：73.
以{AB,AD}为基底向量表示MN,AC，再根据垂直关系结合数量积的运算律运算求解．
本题考查平面向量的线性运算，考查运算求解能力，属于基础题．
16.【答案】解：(1)若z=(1−i)2−3a+2+i=−2i−3a+2+i=2−3a−i为纯虚数，
则2−3a=0，即a=23，此时复数z在复平面内对应的点的坐标(0,−1)；
(2)由(1)得z=2−3a−i
因为z在复平面内对应的点位于第三象限，
所以2−3a<0，
解得a>23.
【解析】(1)把已知的等式变形，然后利用复数代数形式的乘除运算化简，结合复数的概念求出z对应点的坐标得答案；
(2)结合(1)的化简及复数的几何意义可求．
本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．
17.【答案】解：(1)记“甲投球命中”为事件A，“乙投球命中”为事件B，“丙投球命中”为事件C，
则P(A)=34,P(A−C−)=[1−P(A)][1−P(C)]=14[1−P(C)]=112，解得P(C)=23，
P(BC)=P(B)P(C)=23P(B)=14，解得P(B)=38，
所以乙、丙两人各自命中的概率分别为23、38.
(2)甲、乙、丙三人中2人命中的概率P1=P(A−)P(B)P(C)+P(A)P(B−)P(C)+P(A)P(B)P(C−)
=14×38×23+34×58×23+34×38×13=1532，
甲、乙、丙三人中都命中的概率P2=P(A)P(B)P(C)=34×38×23=316，
所以甲、乙、丙三人中不少于2人命中的概率P=P+1P2=1532+316=2132.
【解析】(1)根据题意结合独立事件的概率乘法公式运算求解；
(2)分甲、乙、丙三人中2人命中和甲、乙、丙三人中都命中两种情况，结合独立事件的概率乘法公式运算求解．
本题主要考查相互独立事件的概率乘法公式，属于基础题．
18.【答案】解：(1)∵AE=AB+BE=(2e1+e2)+(−e1+λe2)=e1+(1+λ)e2，
∵A，E，C三点共线，
∴存在实数k，使得AE=kEC.
即e1+(1+λ)e2=k(−2e1+e2)，
得(1+2k)e1=(k−1−λ)e2.
∵e1，e2是平面内两个不共线的非零向量，
∴1+2k=0λ=k−1，
解得k=−12，λ=−32.
∴BC=BE+EC=−3e1−12e2=(−6,−3)+(−1,1)=(−7,−2).
(2)∵A、B、C、D四点构成平行四边形，
∴AD=BC.
设A(x,y)，则AD=(3−x,5−y)，
又BC=(−7,−2)，
∴3−x=−75−y=−2，
解得x=10y=7，
∴点A的坐标为(10,7).
【解析】本题考查平面向量的坐标运算，有一定的思维量，属于中档题．
(1)通过几何法将向量转化为两向量的和，再将所得向量坐标化，即可得正确结论；
(2)由已知几何条件得到向量间关系，再坐标化得到A点的坐标，即本题答案．
19.【答案】解：(1)因为sinA−sinC=ba+c(sinB−sinC)，
由正弦定理可得a−c=ba+c(b−c)，
整理得b2+c2−a2=bc，
由余弦定理可得csA=b2+c2−a22bc=bc2bc=12，
又A∈(0,π)，
所以A=π3.
(2)由正弦定理asinA=bsinB=csinC=1 32=2 33，
可得b=2 33sinB,c=2 33sinC，
则△ABC周长a+b+c=1+2 33sinB+2 33sinC=1+2 33sinB+2 33sin(A+B)
=1+2 33sinB+2 33( 32csB+12sinB)= 3sinB+csB+1
=2sin(B+π6)+1，
因为B∈(0,2π3)，
则B+π6∈(π6,5π6)，
可得sin(B+π6)∈(12,1],
所以△ABC周长a+b+c=2sin(B+π6)+1∈(2,3],
即△ABC周长的取值范围为(2,3].
【解析】(1)根据题意结合正、余弦定理运算求解；
(2)利用正弦定理边化角，结合三角恒等变换可得a+b+c=2sin(B+π6)+1，再根据三角函数的性质运算求解．
本题考查解三角形，考查运算求解能力，属于中档题．
20.【答案】证明：(1)取PC的中点G，
∵F是PD的中点，
∴FG//CD，且FG=12CD，
又∵底面ABCD是菱形，E是AB中点，
∴BE//CD，且BE=12CD，
∴BE//FG，且BE=FG，
∴四边形BEFG是平行四边形，
∴EF//BG，
又EF⊄平面PBC，BG⊂平面PBC，
∴EF//平面PBC；
(2)设AC∩BD=O，则O是BD中点，
∵底面ABCD是菱形，
∴BD⊥AC，
又∵PB=PD，O是BD中点，
∴BD⊥PO，
又AC∩PO=O，AC⊂平面PAC，PO⊂平面PAC，
∴BD⊥平面PAC，
∵BD⊂平面PBD，
∴平面PBD⊥平面PAC.
【解析】(1)只需证明四边形BEFG是平行四边形，即可得到EF//BG，由此得证；
(2)只需证明BD⊥平面PAC，再利用面面垂直的判定可得出结论．
本题考查线面平行及面面垂直的判定，考查逻辑推理能力，属于基础题．编号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
身高
173
179
175
173
170
169
177
175
174
182
168
175
172
169
176