2022-2023学年天津市南开区高二（下）期末数学试卷(含详细答案解析)

这是一份2022-2023学年天津市南开区高二（下）期末数学试卷(含详细答案解析)，共12页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.若U={x|x<9,x∈N*}，A={1,2,3}，B={5,6,7}，则(∁UA)∩(∁UB)=( )
A. {4,8}B. {2,4,6,8}C. {1,3,5,7}D. {1,2,3,5,6,7}
2.“x2>4”是“x>2”成立的( )
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
3.函数f(x)=x+csxx2的大致图象为( )
A. B. C. D.
4.若a=lg23，b=lg34，c=2−0.3，则( )
A. a5.甲、乙两人准备分别从历史、文学、哲学这3类书中随机选择一本阅读，且两人的选择结果互不影响.记事件A=“甲选择历史书”，事件B=“甲和乙选择的书不同”，则P(B|A)=( )
A. 14B. 12C. 13D. 23
6.对两个变量x，y进行线性相关检验，得线性相关系数r1=0.8995，对两个变量u，v进行线性相关检验，得线性相关系数r2=−0.9568，则下列判断正确的是( )
A. 变量x与y正相关，变量u与v负相关，变量x与y的线性相关性较强
B. 变量x与y负相关，变量u与v正相关，变量x与y的线性相关性较强
C. 变量x与y正相关，变量u与v负相关，变量u与v的线性相关性较强
D. 变量x与y负相关，变量u与v正相关，变量u与v的线性相关性较强
7.设甲乘汽车、动车前往某目的地的概率分别为0.4、0.6，汽车和动车正点到达目的地的概率分别为0.7、0.9，则甲正点到达目的地的概率为( )
A. 0.78B. 0.8C. 0.82D. 0.84
8.为研究某种细菌在特定环境下，随时间变化的繁殖情况，得到如下实验数据：( )
由最小二乘法得y与x的线性回归方程为y =0.7x+a ，则当x=7时，繁殖个数y的预测值为( )
A. 4.9B. 6.65C. 5.95D. 6.15
9.如图所示，用4种不同的颜色涂入图中的矩形A，B，C，D中，要求相邻的矩形涂色不同，则不同的涂法( )
A. 72种B. 48种C. 24种D. 12种
10.已知函数f(x)是定义域为R的函数，f(2+x)+f(−x)=0，对任意x1，x2∈[1,+∞)(x10，已知a，b(a≠b)为关于x的方程x2−2x+t2−3=0的两个解，则关于t的不等式f(a)+f(b)+f(t)>0的解集为( )
A. (−2,2)B. (−2,0)C. (0,1)D. (1,2)
二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。
11.在(2x−1 x)6的展开式中，常数项为______.(请用数字作答)
12.计算：lga2+lga0.5−lg325×lg34×lg59=______.
13.某品牌手机的电池使用寿命X(单位：年)服从正态分布．且使用寿命不少于1年的概率为0.9，使用寿命不少于9年的概率为0.1，则该品牌手机的电池使用寿命不少于5年且不多于9年的概率为______.
14.已知袋中有4个白球2个黑球，现从袋中任取2个球，则取出的2个球为同色球的概率为______.
15.函数f(x)=16x+14x+12x−1的最小值为______.
三、解答题：本题共5小题，共25分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题5分)
在二项式(3x−123x)n的展开式中，前三项系数的绝对值a，b，c满足a+c=2b.
(1)求展开式的第四项；
(2)求展开式中各项的系数和.
17.(本小题5分)
不透明袋中装有质地，大小相同的4个红球，m个白球，若从中不放回地取出2个球，在第一个取出的球是红球的前提下，第二个取出的球是白球的概率为58.
(1)求白球的个数m；
(2)若有放回的取出两个球，记取出的红球个数为X，求E(X).
18.(本小题5分)
已知函数f(x)=x3+x−16.
(1)求曲线y=f(x)在点(2,6)处的切线方程；
(2)直线l为曲线y=f(x)的切线，且经过原点，求直线l的方程及切点坐标．
19.(本小题5分)
甲、乙两班进行消防安全知识竞赛，每班出3人组成甲乙两支代表队，首轮比赛每人一道必答题，答对则为本队得1分，答错或不答都得0分，已知甲队3人每人答对的概率分别为34,23,12，乙队每人答对的概率都是23，设每人回答正确与否相互之间没有影响，用X表示甲队总得分．
(1)求X=2的概率；
(2)求甲队和乙队得分之和为4的概率．
20.(本小题5分)
已知x=3是函数f(x)=aln(1+x)+x2−10x的一个极值点.
(1)求a；
(2)求函数f(x)的单调区间；
(3)若函数y=f(x)−b有3个零点，求b的取值范围.
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：依题意，U={1,2,3,4,5,6,7,8}，而A={1,2,3}，B={5,6,7}，
则∁UA={4,5,6,7,8}，∁UB={1,2,3,4,8}，
所以(∁UA)∩(∁UB)={4,8}.
故选：A.
用列举法表示全集U，再利用补集、交集的定义求解作答．
本题主要考查补集及其运算，属于基础题．
2.【答案】B
【解析】解：x2>4，即x>2或x<−2，
x>2或x<−2不能推出x>2，充分性不成立，
x>2能推出x>2或x<−2，必要性成立，
故“x2>4”是“x>2”成立的必要不充分条件．
故选：B.
x2>4，即x>2或x<−2，再依次判断充分性、必要性，即可求解．
本题主要考查充分条件与必要条件，属于基础题．
3.【答案】A
【解析】解：由f(−x)=−x+cs(−x)(−x)2=−x+csxx2≠±f(x)，
故函数为非奇非偶函数，排除B、C；
由f(−π)=−π+cs(−π)(−π)2=−π+csππ2=−π−1π2，
f(−π2)=−π2+cs(−π2)(−π2)2=−π2，所以f(−π)故选：A.
应用定义判断函数奇偶性，比较f(−π),f(−π2)，结合排除法即可得答案．
本题考查函数的图象问题，函数的奇偶性，特值点，属中档题．
4.【答案】D
【解析】解：a=lg23>lg22=1，b=lg34>lg33=1，c=2−0.3<20=1，
故a>c，b>c，
又a=lg23=ln3ln2，b=lg34=ln4ln3，
令f(x)=ln(x+1)lnx，x>1，
f′(x)=lnxx+1−ln(x+1)x(lnx)2=xlnx−(x+1)ln(x+1)x(x+1)(lnx)2，
令g(x)=xlnx，x>1，
则g′(x)=1+lnx>0在(1,+∞)上恒成立，故g(x)=xlnx在(1,+∞)上单调递增，
∴xlnx−(x+1)ln(x+1)<0，
则f′(x)=xlnx−(x+1)ln(x+1)x(x+1)(lnx)2<0在(1,+∞)上恒成立，
则f(x)=ln(x+1)lnx在(1,+∞)上单调递减，
故a>b，
∴a>b>c.
故选：D.
先判断出a>1，b>1，c<1，再构造函数，比较出a>b，从而得到答案．
本题主要考查利用导数研究函数的单调性，对数值大小的比较，考查逻辑推理能力，属于中档题．
5.【答案】D
【解析】解：事件A=“甲选择历史书”，则P(A)=13，
事件B=“甲和乙选择的书不同”，
则事件AB=“甲选择历史书，乙选择的是文学书或哲学书”，
所以P(AB)=13×23=29，
所以P(B|A)=P(AB)P(A)=2913=23.
故选：D.
利用条件概率公式求解即可．
本题考查条件概率计算公式，属于基础题．
6.【答案】C
【解析】解：因为线性相关系数r1=0.8995>0，所以x，y正相关，
因为线性相关系数r2=−0.9568<0，所以u，v负相关，
又因为|r1|<|r2|，所以变量u，v的线性相关性比x，y的线性相关性强，
故选：C.
利用相关系数的正负以及绝对值的大小即可判断求解．
本题考查了判断两个变量线性相关性的问题，考查了学生的理解能力，属于基础题．
7.【答案】C
【解析】解：根据题意可得，甲正点到达目的地的概率为P=0.4×0.7+0.6×0.9=0.82.
故选：C.
根据题意利用相互独立事件的概率计算公式可得．
本题考查相互独立事件的概率计算，属于基础题．
8.【答案】B
【解析】解：由题意得：
x−=14(3+4+5+6)=92，y−=14(2.5+3+4+4.5)=72，
b =(3−92)(2.5−72)+(4−92)(3−72) +(5−92)(4−72)+(6−92)(4.5−72)(3−92)2+(4−92)2+(5−92)2+(6−92)2=718，
a =y−−b x−=72−718×92=74，
∴y =0.7x+74，
当x=7时，y=0.7×7+74=6.65.
故选：B.
由已知条件求出回归方程，由此能求出结果．
本题考查繁殖个数预测值的求法，考查线性回归方程等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
9.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查排列、组合的应用，涉及“涂色”问题，是典型题目；分析时要按一定顺序，由相邻情况来确定可以涂色的情况数目，属于基础题．
根据图形，首先确定涂A有4种涂法，则涂B有3种涂法，进而由C与A、B相邻，D只与C相邻，可以确定C、D的涂色的情况，最后由乘法原理，计算可得答案．
【解答】
解：根据题意，首先涂A有C41=4种涂法，则涂B有C31=3种涂法，
C与A、B相邻，则C有C21=2种涂法，
D只与C相邻，则D有C31=3种涂法．
所以，共有4×3×2×3=72种涂法，
故选：A.
10.【答案】D
【解析】解：由f(2+x)+f(−x)=0，得f(1)=0且函数f(x)关于点(1,0)对称，
由对任意x1，x2∈[1,+∞)(x10，
可知函数f(x)在[1,+∞)上单调递增，
又因为函数f(x)的定义域为R，
所以函数f(x)在R上单调递增，
因为a，b(a≠b)为关于x的方程x2−2x+t2−3=0的两个解，
所以Δ=4−4(t2−3)>0，解得−2且a+b=2，即b=2−a，
又f(2+x)+f(−x)=0，
令x=−a，则f(a)+f(b)=0，
则由f(a)+f(b)+f(t)>0，得f(t)>0=f(1)，
所以t>1，
综上，t的取值范围是(1,2).
故选：D.
由题可得函数f(x)关于点(1,0)对称，函数f(x)在R上单调递增，进而可得f(t)>0=f(1)，利用函数的单调性即得．
本题考查了函数奇偶性和单调性的综合应用，属于中档题．
11.【答案】60
【解析】【分析】
考察了二项式定理的应用，考查了学生的运算能力，属于基础题．
求出展开式的通项，然后令x的指数为0，进而可以求解．
【解答】
解：二项式的展开式的通项为Tr+1=C6r(2x)6−r(−1 x)r=C6r⋅26−r⋅(−1)rx6−3r2，r=0，1，2，...，6，
令6−3r2=0，解得r=4，
所以展开式的常数项为C64⋅22⋅(−1)4=60，
故答案为：60.
12.【答案】−8lg32
【解析】解：lga2+lga0.5−lg325×lg34×lg59=lga2×0.5−lg325×lg34×lg59
=lga1−2lg5lg3⋅2lg2lg3⋅2lg3lg5=0−8lg2lg3=−8lg32.
故答案为：−8lg32.
由题意，利用对数的运算性质，计算求得结果．
本题主要考查对数的运算性质，属于基础题．
13.【答案】0.4
【解析】解：由题意知P(X≥1)=0.9，P(X≥9)=0.1，
∴P(X<1)=1−0.9=0.1=P(X≥9)，
∴正态分布曲线的对称轴为直线X=1+92=5，
因为P(1≤X<9)=0.9−0.1=0.8，
∴P(5≤X<9)=0.82=0.4，
故该品牌手机的电池使用寿命不少于5年且不多于9年的概率为0.4.
故答案为：0.4.
易得P(X<1)=P(X≥9)从而正态分布曲线的对称轴为直线X=1+92=5，即可得到答案．
本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，考查正态分布中两个量μ和σ的应用，考查曲线的对称性，属于基础题．
14.【答案】715
【解析】解：取出的2个球共有C62=15种，
若同为白球，共有C42=6种；若同为黑球，共有C22=1种；
可得同色球共有6+1=7种，
所以取出的2个球为同色球的概率为P=715.
故答案为：715.
根据题意分同为白球和同为黑球两种情况，结合古典概型运算求解．
本题考查古典概型相关知识，属于基础题．
15.【答案】4
【解析】解；由2x>0，根据基本不等式，
得16x+14x+12x−1=(2x)4+1(2x)2+12x+12x≥44(2x)4⋅1(2x)2⋅12x⋅12x=4，
当且仅当(2x)4=1(2x)2=12x，即x=0时等号成立．
所以函数f(x)=16x+14x+12x−1的最小值为4.
故答案为：4.
利用基本不等式求和的最小值．
本题主要考查基本不等式的公式，属于基础题．
16.【答案】解：(1)因为(3x−123x)n的展开通项为：Tr+1=Cnr(3x)n−r(−123x)r=Cnr(−2)rxn−2r3,r=0,1,2,⋅⋅⋅,n，
由题意可知：a=Cn0，b=12Cn1，c=14Cn2，且a+c=2b，n≥2，
则Cn0+14Cn2=12Cn1×2，即1+n(n−1)8=n，
解得n=8或n=1(舍去)，
第四项T4=C83(−2)3x8−2×33=−7x23；
(2)由(1)可得二项式(3x−123x)8，
令x=1，得展开式的各项系数的和为(1−12)8=1256.
【解析】(1)根据题意结合二项展开式的通项公式求得n=8，进而可得展开式的第四项；
(2)利用赋值法，令x=1，求各项系数之和．
本题主要考查了二项式定理的应用，属于基础题．
17.【答案】解：(1)由题意知，袋中装有质地，大小相同的4个红球，m个白球，
因为第一个取出的球是红球，第二个取出的球是白球的概率为58，
设第一个取出的球是红球为事件A，第二个取出的球是白球为事件B，
所以P(B|A)=P(AB)P(A)=4m+4⋅mm+34m+4=mm+3=58
所以mm+3=58，解得m=5.
(2)由题意，随机变量X可能为0，1，2，
则P(X=0)=59×59=2581，
P(X=1)=49×59×2=4081，
P(X=2)=49×49=1681，
所以随机变量X的分布列为：
则期望为E(X)=0×2581+1×4081+2×1681=89.
【解析】(1)由条件概率公式可得mm+3=58，解方程即可得出答案；
(2)求出随机变量X的可能取值及对应的概率，再由期望公式求解即可．
本题考查离散型随机变量的分布列与期望的求解，属中档题．
18.【答案】解：(1)由f(x)=x3+x−16，得
f′(x)=3x2+1，∴f′(2)=3×22+1=13，
∴曲线y=f(x)在点(2,6)处的切线方程为y−6=13(x−2)，即13x−y−20=0；
(2)设切点为(x0,x03+x0−16)，f′(x0)=3x02+1，
∴切线方程为y−(x03+x0−16)=(3x02+1)(x−x0)，
∵切线经过原点，
∴−(x03+x0−16)=−x0(3x02+1)，
∴2x03=−16，x0=−2.
则f′(−2)=13，
∴所求的切线方程为y=13x；
切点为(−2,−26).
【解析】(1)求出原函数的导函数，得到函数在x=2时的导数，即切线的斜率，然后由直线方程的点斜式得答案；
(2)设出切点坐标，求出函数过切点的切线方程，由切线过原点求得切点横坐标，则直线方程与切点坐标可求．
本题考查了利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，关键是区分切线所经过的点是否为切点，是中档题．
19.【答案】解：(1)X=2，则甲队有两人答对，一人答错，
故P(X=2)=34×23×(1−12)+34×(1−23)×12+(1−34)×23×12=1124；
(2)设甲队和乙队得分之和为4为事件A，设乙队得分为Y，则Y∼B(3,23)，
P(X=1)=34×(1−23)×(1−12)+(1−34)×23×(1−12)+(1−34)×(1−23)×12=14，
P(X=3)=34×23×12=14，
P(Y=1)=C31⋅23⋅(13)2=29,P(Y=2)=C32⋅(23)2⋅13=49，
P(Y=3)=C33(23)3=827，
∴P(A)=P(X=1)P(Y=3)+P(X=2)P(Y=2)+P(X=3)P(Y=1)
=14×827+1124×49+14×29=13.
【解析】(1)由题意，根据独立事件的概率乘法公式，可得答案；
(2)由题意，根据概率乘法公式与二项分布的概率公式，结合概率加法公式，可得答案．
本题考查了概率乘法公式与二项分布的概率公式，属于中档题．
20.【答案】解：(1)f′(x)=a1+x+2x−10，
因为x=3是函数f(x)=aln(1+x)+x2−10x的一个极值点，
所以f′(3)=a4−4=0，解得a=16.
(2)由(1)得f(x)=16ln(1+x)+x2−10x，x∈(−1,+∞)，
f′(x)=161+x+2x−10=2x2−8x+6x+1=2(x−1)(x−3)x+1，
令f′(x)=0，得x=1，x=3.
f′(x)和f(x)随x的变化情况如下：
f(x)的增区间是(−1,1)和(3,+∞)；减区间是(1,3).
(3)由(2)知，f(x)的极大值为f(1)=16ln2−9，极小值为f(3)=32ln2−21.
因为f(−12)=−16ln2+214，f(3)−f(−12)=48ln2−1054>32−1054>0，
所以f(−12)因为f(7)=48ln2−21，f(7)−f(1)=32ln2−12>16−12>0，
所以f(7)>f(1).
函数图像如图所示，
当直线y=b与函数y=f(x)的图像有3个交点时，函数y=f(x)−b有3个零点，
b的值在函数y=f(x)的极小值和极大值之间，所以b的取值范围为(32ln2−21,16ln2−9).
【解析】(1)由极值点，有f′(3)=0，可解得a；
(2)利用导数求函数f(x)的单调区间；
(3)利用函数单调性和极值，数形结合求b的取值范围．
本题主要考查利用导数研究函数的单调性，极值，函数的零点问题，考查运算求解能力，属于中档题．天数x(天)
3
4
5
6
繁殖个数y(千个)
2.5
3
4
4.5
X
0
1
2
P
2581
4081
1681
x
(−1,1)
1
(1,3)
3
(3,+∞)
f′(x)
+
0
-
0
+
f(x)
↗
极大值
↘
极小值
↗