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【暑假提升】2023年人教版数学八年级(八升九)暑假-专题2.3《二次函数y=a(xh)2+k的图象与性质》预习讲学案
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❊2.3 y=a(x-h)2+k的图像与性质知 识考 点 y=a(x-h)2+k的图像与性质1.y=a(x-h)2+k的图像与性质2.y=a(x-h)2+k图像的增减性 y=2(x-1)2+3y=-2(x-1)2+3作图【性质1】y=a(x-h)2+k的图像可以看做是将y=ax2+k的图像向______平移______个单位.【性质2】y=a(x-h)2+k的对称轴是______;顶点坐标是______.【性质3】y=a(x-h)2+k的增减性与________和________有关.【注意】由于我们可以直接从y=a(x-h)2+k中得到函数的顶点坐标,所以y=a(x-h)2+k称为函数的顶点式.已知二次函数,填空:(1)函数的开口方向向______;对称轴是______;顶点坐标是______;最______值为______;(2)当x>3时,函数递______;当x<3时,函数递______;离对称轴越远函数值越______.已知二次函数,填空:(1)函数的开口方向向______;对称轴是______;顶点坐标是______;最______值为______;(2)当x>3时,函数递______;当x<3时,函数递______;离对称轴越远函数值越______.关于二次函数,下列说法正确的是( )A.图象的对称轴是直线B.图象与轴没有交点C.当,取得最大值,且最大值为6D.当,的值随值的增大而增大【答案】C【分析】根据二次函数的性质解答即可.【详解】解:∵抛物线,∴该抛物线的图象开口向下,对称轴是直线,故选项A错误,不符合题意;顶点坐标为, ∴当时,函数取得最大值,故选项C正确,符合题意;选项B错误,不符合题意;当时,y随x的增大而减小,故选项D错误,不符合题意;故选:C.对于二次函数,下列说法正确的是( )A.图像的开口向上B.图像的对称轴是直线C.图像的顶点是D.当时,y随x的增大而增大【答案】B【分析】根据二次函数的性质求解即可.【详解】解:∵,∴,开口向下,顶点,对称轴是直线,当时,y随x的增大而减小.故选项A、C、D错误,选项B正确;故选:B.对于抛物线,下列说法错误的是( )A.开口向上B.对称轴是C.当时,y随x的增大而减小D.当时,函数值有最小值是1【答案】C【分析】根据抛物线的性质由得到图像开口向上,根据顶点式得到顶点坐标为,对称轴为直线,当时,随增大而增大.【详解】解:A.由抛物线得抛物线开口向上,故A正确,不符合题意;B.由抛物线顶点式可知顶点坐标为,对称轴为直线,故B正确,不符合题意;C.由抛物线对称轴以及开口方向可知,当时,随增大而增大,故C错误,符合题意;D.当时,函数值有最小值是1,故D正确,不符合题意;故选C.对于抛物线,下列说法中错误的是( )A.对称轴是直线B.顶点坐标是C.当时,随的增大而减小D.当时,函数y的最小值为【答案】D【分析】根据二次函数的性质逐项分析判断即可求解.【详解】解:对于抛物线,抛物线开口向下,A. 对称轴是直线,故该选项正确,不符合题意; B. 顶点坐标是,故该选项正确,不符合题意;C. 当时,随的增大而减小,故该选项正确,不符合题意;D. 当时,函数y的最大值为,故该选项不正确,符合题意;故选:D.抛物线的顶点坐标是( )A.B.C.D.【答案】C【分析】根据抛物线的顶点坐标是,即可求解.【详解】解:抛物线的顶点坐标是.故选:C抛物线的顶点坐标是( )A.B.C.D.【答案】D【分析】直接利用顶点式的特殊形式可得顶点坐标.【详解】∵函数是抛物线的顶点式,∴顶点坐标为故选:D若抛物线的开口向下,顶点是,y随x的增大而减小,则x的取值范围是( )A.B.C.D.【答案】C【分析】根据二次函数的性质可进行求解.【详解】解:∵抛物线的顶点坐标为,∴对称轴为直线,又∵开口向下,函数y随自变量x的增大而减小,∴.故选:C.若二次函数,当时,y随x的增大而减小,则m的取值范围是( )A.B.C.D.【答案】C【分析】根据二次函数的性质可进行求解.【详解】解:抛物线的对称轴为直线,抛物线开口向上,当时,y随x的增大而减小,因为当时,y随x的增大而减小,所以.故选:C.已知二次函数,当时,若y随着x的增大而______(填“增大”“不变”或“减小”).【答案】减小【分析】根据二次函数顶点式的图象与性质进行解答即可.【详解】∵,对称轴,∴当时,若y随着x的增大而减小,故答案为:减小.当时,函数的函数值随的增大而减小,则的取值范围是______.【答案】【分析】函数的开口向上,顶点坐标为,根据函数图像的性质即可求解.【详解】解:根据题意可知,函数的开口向上,顶点坐标为,∴当时,函数值随的增大而减小,∵当时,函数的函数值随的增大而减小,∴,即函数的对称轴在大于或等于的位置,满足当时,函数的函数值随的增大而减小,故答案为:.已知点,,是抛物线上的两点,则,的大小关系是( )A.B.C.D.无法确定【答案】B【分析】根据抛物线开口向上,对称轴为x=2,判定在对称轴的右侧,y随x的增大而增大,即可求解.【详解】解:∵抛物线,∴抛物线开口向上,对称轴为,∴在对称轴的右侧,y随x的增大而增大,∵,∴,故选:B.抛物线上有三个点,,,那么、、的大小关系是( )A.B.C.D.【答案】D【分析】先根据抛物线的解析式得到抛物线的对称轴及开口方向,再根据二次函数的性质,通过三点与对称轴距离的远近来比较函数值的大小.【详解】解:根据题意得:抛物线的对称轴为直线,∵,∴抛物线上的点离对称轴的距离越远函数值越小,∵,∴.故选:D若点都在二次函数的图象上,则的大小关系为( )A.B.C.D.【答案】A【分析】先写出抛物线的对称轴,利用对称性求出的对称点,再运用增减性解题即可.【详解】解:抛物线的对称轴为,∵关于对称轴的对称点为,在对称轴右侧y随x的增大而增大,∴故选A.若点,,都是二次函数的图象上的点,则,,的大小关系为( )A.B.C.D.【答案】D【分析】根据题意可得当时,y随x的增大而增大,即可求解.【详解】解:∵,,∴二次函数开口向下,对称轴为直线,∴当时,y随x的增大而增大,∵点,,都是二次函数的图象上的点,∴.故选:D点,都在上,若,则m的取值范围是( )A.B.C.D.【答案】C【分析】由函数解析式可知,其图像开口向上,对称轴为.当时,点关于直线对称,故;当及时,结合图像确定点的位置,然后比较即可获得答案.【详解】解:对于函数,,可知其图像开口向上,对称轴为,则当,即当时,如图1,此时点关于直线对称,故;当时,如图2,此时点在对称轴左侧,点在对称轴右侧,随着的增大而减小,随着的增大而增大,故;当时,如图3,此时函数值随着的增大而增大,点在点左侧,故.综上所述,若,则的取值范围是.故选:C.已知点、都在二次函数的图象上,且,则、的大小关系是______.【答案】【分析】根据函数解析式确定出对称轴,再根据二次函数的增减性解答.【详解】解:的对称轴为直线,,时y随x的增大而增大,且函数的最大值为,,.故答案为: .已知抛物线经过点,,,且,则,,的大小关系是( )A.B.C.D.【答案】B【分析】当时,抛物线上的点离对称轴越近,则对应的函数值越小,反之越大,根据这一特点即可作出选择.【详解】解:由题意得,抛物线的对称轴为直线,开口向上,,点B离对称轴最近,其次是点C,点A离对称轴最远,,故选:B.已知抛物线经过点,,且,则下列不等式一定成立的是( )A.B.C.D.【答案】D【分析】根据二次函数的性质进行讨论即可判断.【详解】解:由抛物线可知对称轴为直线,∵且,当时,,则,∴,当时,,则,∴,综上,下列不等式一定成立的是D,故选:D. 1.对于二次函数的图象,下列说法错误的是( )A.抛物线开口向下B.y的最大值是4C.当时,y随x的增大而增大D.当时,函数值【答案】D【分析】由抛物线解析式可直接得出抛物线的开口方向、顶点坐标、对称轴,可判断A、B、C,令解关于的一元二次方程则可求得答案.【详解】解:抛物线开口向下故A正确,不符合题意;对称轴为,顶点坐标为当时,有最大值,最大值为4;故B正确,不符合题意;时,随的增大而增大;时,随的增大而增大;故C正确,不符合题意;令可得解得抛物线与轴的交点坐标为和当时,函数值,当时,函数值,故D不正确,符合题意.2.二次函数的对称轴是______.【答案】【分析】直接根据抛物线的顶点式写出对称轴即可.【详解】解:∵二次函数解析式为,∴该抛物线的顶点坐标为,∴该抛物线的对称轴为:直线.故答案为:.3.在以下关于二次函数的图象的说法,正确的是( )A.开口向下B.当时,随的增大而减小C.对称轴是直线D.顶点坐标是【答案】D【分析】根据二次函数的性质对各选项进行判断.【详解】A、由二次函数的解析式,可知,故函数图像开口向上,故A项错误;B、当时,随的增大而增大,故B项错误;C、由二次函数的顶点式可知对称轴为直线,故C项错误;D、函数的顶点式可知该函数的顶点坐标是,故D项正确.故选D.4.二次函数的最小值是______.【答案】【分析】由解析式为顶点式,根据其解析式即可直接求的二次函数的最小值.【详解】解:,时,有最小值,故答案为:.5.关于二次函数,下列叙述正确的是( )A.当时,y有最大值3B.当时,y有最大值3C.当时,y有最小值3D.当时,y有最小值3【答案】C【分析】是抛物线的顶点式,a决定抛物线的形状和开口方向,其顶点是,对称轴是.【详解】∵二次函数,∵,∴抛物线开口向上,函数有最小值,∴当时,有最小值3.故选:C.6.在二次函数中,当时,随的增大而______.(填“增大”或“减小”)【答案】增大【分析】根据解析式得出对称轴为直线,开口向上,在对称轴右侧,随的增大而增大【详解】解:在二次函数中,,则抛物线开口向上,对称轴为直线,∴在对称轴右侧,随的增大而增大故答案为:增大.7.二次函数的图象上有三点,,,则、、的大小关系为( )A.B.C.D.【答案】B【分析】根据函数解析式的特点为顶点式,其对称轴为,图象开口向上;根据二次函数图象的对称性可判断.【详解】解:∵二次函数的图象对称轴是直线,开口向上,∴抛物线上离对称轴越近的点的纵坐标越小,点,,是二次函数的图象上的三点,∵,即离对称轴最远,对称轴最近,∴,故选:B.8.若,,是二次函数图象上的三个点,则,,的大小关系是( )A.B.C.D.【答案】C【分析】求得抛物线对称轴为直线,然后根据二次函数的对称性和增减性即可得出答案.【详解】解:∵抛物线∴抛物线的开口向下,对称轴是直线∴当时,随的增大而减小∵与点关于对称,且∴故答案为:9.在抛物线上,有两点,,当时,判断______(用“”,“”或“”连接)【答案】【分析】先根据函数解析式可得当时,y随x的增大而减小,然后再结合即可解答.【详解】解:∵∴当时,y随x的增大而减小∵∴.故答案为.
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