【暑假提升】浙教版数学八年级（八升九）暑假-专题第29讲《圆的基本性质 单元综合检测（难点）》预习讲学案

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第29讲 圆的基本性质 单元综合检测（难点）
一、单选题
1．如图，是的直径，弦，若的度数为，则的度数为（     ）

A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
根据平行线的性质可得∠AOD的度数，再根据一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半即可求得结果．
【详解】
解：弦，的度数为，
∴，
∴（一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半），
故选B．
【点睛】
本题主要考查了平行线的性质，同弧所对的圆心角与圆周角的关系，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．
2．如图，四边形内接于，如果，则的度数是（       ）

A．115° B．130° C．65° D．50°
【答案】A
【解析】
【分析】
根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半求出，再根据圆内接四边形对角互补即可求出．
【详解】
解：由同弧所对的圆周角等于圆心交的一半可知：
，
由圆内接四边形对角互补可知：
，
故选：A．
【点睛】
本题考查了圆周角定理及其推论，属于基础题，熟练掌握圆周角定理及其推论是解决本类题的关键．
3．如图，AB为的直径，AC为的弦，D是弧BC的中点，E是AC的中点．若，，则DE=（       ）

A． B．5 C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
连接OC、BC、OE、BD，OE交于F，OD交BC于G，连接OE并延长交于点F，如图，先根据垂径定理得到，，再计算出，设的半径为r，则，利用勾股定理得到，然后利用勾股定理计算DE的长．
【详解】
解：连接OC、BC、BD，OD交BC于G，连接OE并延长交于点F，

∵D是弧BC的中点，
∴，，，
∵E是AC的中点，
∴，，
∴，
∴，
∵，，
∴，，
设的半径为r，则，
在中，，
在中，，
∴，
解得：（舍去），，
∴，
∴，
易得四边形OGCE为矩形，
∴，
在中，．
故选：A．
【点睛】
本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．也考查了垂径定理．
4．如图，在中，，，以的中点为圆心，作圆心角为的扇形，点恰在上，设，当由小到大变化时，图中阴影部分的面积为（       ）

A． B． C． D．随的变化而变化
【答案】C
【解析】
【分析】
连接CD，证明△BDH≌△CDG，利用扇形面积公式、正方形面积公式计算即可．
【详解】
如图，连接，作于点，于点，

∵，，∴，
，，∴，
∴四边形是正方形，
∴，∴，
∵，∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴四边形的面积正方形的面积，
∵正方形的面积，
∴四边形的面积，
∵扇形的面积，
∴阴影部分的面积扇形的面积四边形的面积，恒为定值．
故选：C.
【点睛】
本题考查的是扇形面积的计算、全等三角形的判定和性质、掌握扇形面积公式是解题的关键．
5．如图，是圆的直径，，是弧 上的两点，连接，相交于点，若，那么的度数为（   ）

A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
连接BC，利用直径所对的圆周角是直角，可得∠ACB=90°，易得∠1，利用圆周角定理可得结果．
【详解】
解：连接BC，

∵AB是圆O的直径，
∴∠ACB=90°，
∵∠BEC=58°，
∴∠1=90°-∠BEC=90°-58°=32°，
∴∠DOC=2∠1=2×32°=64°，
故选：B．
【点睛】
本题主要考查了圆周角定理及其推论，作出恰当的辅助线是解答此题的关键．
6．如图，，分别为的内接正三角形和内接正四边形的一边，若恰好是同圆的一个内接正边形的一边，则的值为（       ）

A．8 B．10 C．12 D．14
【答案】C
【解析】
【分析】
连接OB，OC，OA，根据圆内接正三角形，正方形可求出，的度数，进而可求的度数，利用，即可求得答案．
【详解】
如图：连接OB，OC，OA，

为圆内接正三角形

四边形ACDF为圆内接正方形


若以BC为边的圆内接正边形，则有

故选：C．
【点睛】
本题考查了圆内接正多边形中心角的求法，熟练掌握圆内接正多边形的中心角等于（为正多边形的边数）是解题关键．
7．如图，正方形ABCD的顶点A、B在⊙O上，顶点C、D在⊙O内，将正方形ABCD绕点B顺时针旋转α度，使点C落在⊙O上．若正方形ABCD的边长和⊙O的半径相等，则旋转角度α等于（       ）

A．36° B．30° C．25° D．22.5°
【答案】B
【解析】
【分析】
连接OA，OB，OG，由旋转的性质可得，AB=BG，∠ABE=∠CBG=α，先证明△OAB和△OBG都是等边三角形，得到∠OBA=∠OBG=60°，再由∠ABO+∠OBG=∠ABC+∠CBG=120°，求解即可．
【详解】
解：如图所示，连接OA，OB，OG，
由旋转的性质可得，AB=BG，∠ABE=∠CBG=α
∵正方形ABCD的边长和⊙O的半径相等，
∴OA=OB=OG=BG=AB，
∴△OAB和△OBG都是等边三角形，
∴∠OBA=∠OBG=60°，
∵∠ABO+∠OBG=∠ABC+∠CBG=120°，∠ABC=90°（正方形的性质），
∴∠CBG=30°，
∴α=30°，
故选B．

【点睛】
本题主要考查了旋转的性质，等边三角形的性质与判定，正方形的性质，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．
8．已知，，是等圆，内接于，点C，E分别在，上．如图，①以C为圆心，长为半径作弧交于点D，连接；②以E为圆心，长为半径作弧交于点F，连接；下面有四个结论：①；②；③；④，所有正确结论的个数是（ ）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【解析】
【分析】
根据圆心角、弧、弦的关系，圆周角定理即可得到结论．
【详解】
解：由题意得，，，
∵，
∴；故①错误；
∵，，是等圆，
∴，
∵，
∴；故②正确；
∴，，
∵，
∴；故③正确；
∵，，
∵，
∴，故④正确；
∴正确结论的序号是②③④，
故选：C．
【点睛】
本题考查了三角形的外接圆与外心，圆心角、弧、弦的关系，圆周角定理，熟练掌握圆心角、弧、弦的关系是解题的关键．
9．如图，锐角三角形ABC内接于⊙O，点D、E分别是、的中点，设∠BAC＝α，∠DAE＝β，则（       ）

A．α+β＝180° B．2β﹣α＝180° C．β﹣α＝60° D．2α﹣β＝60°
【答案】B
【解析】
【分析】
连接DE、DC、BE，由同圆中，等弧所对的圆周角相等，得到∠ACD＝∠BCD，同弧所对的圆周角相等，∠ACD＝∠AED，即∠ACB＝2∠AED，∠ABC＝2∠ADE，在△ADE中三角形的内角和为180°，可以得出∠ADE+∠AED＝180°﹣β，在△ABC中，∠A＝2，∠ACB+∠ABC＝2∠AED+2∠ADE＝360°﹣2β，即可以得出β与α的关系．
【详解】
解：如图，
连接DE、DC、BE，

∵D、E分别是、中点，
∴＝，＝，
∴∠ACD＝∠BCD，
∵∠ACD＝∠AED，
∴∠ACD＝∠AED＝∠BCD，
∴∠ACB＝2∠AED，
∵＝，
∴∠ABE＝∠EBC，
∵∠ABE＝∠ADE，
∴∠ABE＝∠EBC＝∠ADE，
∴∠ABC＝2∠ADE，
在△ADE中，∠DAE＝β，
∴∠ADE+∠AED＝180°﹣β，
在△ABC中，
∠ACB+∠ABC＝2∠AED+2∠ADE＝2（180°﹣β）＝360°﹣2β，
∵∠BAC＝α，
∴α+360°﹣2β＝180°，
∴2β﹣α＝180°，
故选：B
【点睛】
此题考查了三角形的内心和外心，圆周角定理，解题的关键是掌握圆周角定理和三角形的内外心性质等．
10．如图，在⊙O中，直径CD垂直弦AB于点E，且OE＝DE．点P为上一点（点P不与点B，C重合），连结AP，BP，CP，AC，BC．过点C作CF⊥BP于点F．给出下列结论：①△ABC是等边三角形；②在点P从B→C的运动过程中，的值始终等于．则下列说法正确的是（　　）

A．①，②都对 B．①对，②错 C．①错，②对 D．①，②都错
【答案】A
【解析】
【分析】
作CM⊥AP于M，连接AD，根据线段垂直平分线的性质得到AO=AD，证明△AOD是等边三角形，求出∠D＝∠ABC＝60°，根据垂径定理得到CA＝CB，从而证得①；利用圆周角定理求出∠CPF＝60°，根据角平分线的性质得到CF=CM，证明Rt△CPF≌Rt△CPM得到PF=PM，证明Rt△AMC≌Rt△BFC得到AM＝BF，求出再根据三角函数求出得到②正确.
【详解】
如图，作CM⊥AP于M，连接AD．

∵AE⊥OD，OE＝DE，
∴AO＝AD，
∵OA＝OD，
∴AO＝AD＝OD，
∴△AOD是等边三角形，
∴∠D＝∠ABC＝60°，
∵CD⊥AB，
∴AE＝EB，
∴CA＝CB，
∴△ABC是等边三角形，故①正确，
∵∠CPA＝∠ABC＝60°，∠APB＝∠ACB＝60°，
∴∠CPF＝180°﹣60°﹣60°＝60°，
∵∠CPM＝∠CPF＝60°，CF⊥PF，CM⊥PA，
∴CF＝CM，
∵PC＝PC，∠CFP＝∠CMP，
∴Rt△CPF≌Rt△CPM（HL），
∴PF＝PM，
∵AC＝BC，CM＝CF，∠AMC＝∠CFB＝90°，
∴Rt△AMC≌Rt△BFC（HL），
∴AM＝BF，
∴AP﹣PB＝PM+AM﹣（BF﹣PF）＝2PM＝2PF，
∴，
在Rt△CPF中，
∵∠CPF＝60°，∠CFP＝90°，
，
，
∴，故②正确，
故选：A.
【点睛】
此题是一道综合题，考查了圆的性质，线段垂直平分线的性质，等边三角形的判定及性质，全等三角形的判定及性质，三角函数.
二、填空题
11．如图，在菱形中，，过A，B，C三点的圆交的延长线于点E，连结，则_______度．

【答案】75
【解析】
【分析】
连接，根据菱形的性质可得根据可得，再根据三角形的内角和即可求解．
【详解】
解：如图，连接，

∵四边形是菱形，，
∴，
，
，
∴
故答案为：
【点睛】
本题考查了菱形的性质，同弧所对的圆周角相等，掌握以上性质定理是解题的关键．
12．如图，AB为⊙O的直径，点C，点D是⊙O上的两点，连接CB，CD，BD，若，则的度数为是 _____．

【答案】
【解析】
【分析】
连接AC，利用圆内接四边形的性质可求出，再利用直径所对的圆周角等于，即可求出．
【详解】
解：连接AC，

∵四边形ABDC内接于⊙O，
∴，
∵，
∴，
∵AB为⊙O的直径，
∴，
∴．
故答案为：
【点睛】
本题考查圆内接四边形的性质，直径所对的圆周角等于，解题的关键是理解圆内接四边形的性质，证明．
13．如图，AC的半圆O的一条弦，将弧AC沿弦AC为折线折叠后过圆心O，图中阴影部分的面积为，则⊙O的半径为 ___．

【答案】2
【解析】
【分析】
过点O作OE⊥AC，交AC于F，连接OC，BC，证明弓形OC的面积＝弓形BC的面积，这样图中阴影部分的面积＝△OBC的面积．
【详解】
过点O作OE⊥AC，交AC于F，连接OC，BC，

∵OF＝FE OEOA，
∴∠A＝30°，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠B＝60°，
∴△OBC是等边三角形，
∴OC＝BC，
∴弓形OC面积＝弓形BC面积，
∵阴影部分面积 ，S△OBCOB OB．
∴OB＝2，
故答案为：2．
【点睛】
本题考查了折叠问题、扇形的面积．解决本题的关键是把阴影部分的面积转化为△OBC的面积．
14．如图所示，是的直径，，，点为弧的中点，点是直径上的一个动点，的最小值为__________．

【答案】
【解析】
【分析】
作出D关于AB的对称点D′，则PC+PD的最小值就是CD′的长度，在△COD′中根据边角关系即可求解．
【详解】
解：作出D关于AB的对称点D′，连接OC，OD′，CD′．

又∵点C在⊙O上，∠CAB=30°，D为弧的中点，即，
∴∠BAD′=∠CAB=15°．
∴∠CAD′=45°．
∴∠COD′=90°．则△COD′是等腰直角三角形．
∵OC=OD′=AB=10，
∴CD′=，
故答案为：．
【点睛】
本题考查了圆周角定理以及路程的和最小的问题，正确作出辅助线是解题的关键．
15．如图，在中，，截三边所得的弦长，则____________度．

【答案】125
【解析】
【分析】
过点O作OM⊥DE于M，OK⊥FG于K，OP⊥HI于P，如图，由于=，利用弦、圆心角和对应的弦心距的关系得到OM=OK=OP，则可判断OA平分∠BAC，OC平分∠ACB，然后根据角平分线的定义和三角形内角和求解．
【详解】
解：过点O作OM⊥DE于M，OK⊥FG于K，OP⊥HI于P，如图，

∵
∴OM=OK=OP，
∴OA平分∠BAC，OC平分∠ACB，
∴∠OAC+∠OCA=（∠BAC+∠ACB）=（180°∠B）=90°，
∴∠AOC=180°（∠OAC+∠OCA）
=180°
=125°．
故答案为：125．
【点睛】
本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等；在角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上．也考查了弦、弧、圆心角和弦心距的关系．
16．我国魏晋时期的数学家刘徽首创“割圆术”，利用圆的内接正多边形来确定圆周率．若设⊙O的半径为R，圆内接正n边形的边长、面积分别为an，Sn，圆内接正2n边形边长、面积分别为a2n，S2n．刘徽用以下公式求出a2n和S2n．，．如图，若⊙O的半径为1，则⊙O的内接正八边形AEBFCGDH的面积为________．

【答案】
【解析】
【分析】
求出正四边形的边长，利用公式求出面积即可．
【详解】
解：连接AC，四边形ABCD是圆内接正四边形，∠ADC=90°，
∴AC是圆的直径，AC=2，
∵，
∴，
，
故答案为：．


【点睛】
本题考查了圆内接正多边形，解题关键是利用圆内接正多边形的性质求出正方形边长．
17．如图，△ABC中，AB＝4，∠ACB＝75°，∠ABC＝45°，D是线段BC上的一个动点，以AD为直径画⊙O分别交AB，AC于E，F，连接EF，则EF的最小值为_____．

【答案】
【解析】
【分析】
连接OE、OF，过O点作OM⊥EF，如图，利用垂径定理得到EM＝FM，再计算出∠BAC＝60°，根据圆周角定理得到∠EOF＝120°，易得∠OEF＝∠OFE＝30°，利用含30度的直角三角形三边的关系得到EF＝OE，所以当OE的值最小时，EF的值最小，根据垂线段最短，当AD垂直BC时，AD的值最小，过A点作AH⊥BC于H，则AH＝AB＝，从而得到AD的最小值为，于是得到EF的最小值．
【详解】
解：连接OE、OF，过O点作OM⊥EF，如图，则EM＝FM，
∵∠ACB＝75°，∠ABC＝45°，
∴∠BAC＝60°，
∴∠EOF＝2∠EAF＝120°，
∵OE＝OF，
∴∠OEF＝∠OFE＝30°，
∴OM＝OE，
∴，
∴，
当OE的值最小时，EF的值最小，
∵D是线段BC上的一个动点，AD为直径，
∴当AD垂直BC时，AD的值最小，即OE的值最小，
过A点作AH⊥BC于H，
∴∠ABH=90°，
∵∠ABH＝45°，
∴∠BAH=∠ABH=45°，
∴AH=BH，
∵，
∴，
∴，即AD的最小值为，
∴OE的最小值为，
∴EF的最小值为．
故答案为：．

【点睛】
本题主要考查了垂径定理，圆周角定理，含30度角的直角三角形的性质，等腰直角三角形的性质与判定，勾股定理等等，解题的关键在于能够根据题意把求EF的最小值转化成求AD的最小值．
18．如图，已知是的直径，是上的一个动点（点与点、不重合），连接，是的中点，作弦于.若点和点不重合，连接、和，当是等腰三角形时，的度数为______.

【答案】18°或45°
【解析】
【分析】
当是等腰三角形时，分两种情况：①当CE=BC时，设所对圆心角的度数为x°，根据弦相等，则弧相等得出，表达出，根据，计算出x的值，即可计算出；②当CE=BE时，设所对圆心角的度数为x°，同样表达出，根据，计算出x的值，即可计算出．
【详解】
解：连接OC，当是等腰三角形时，分两种情况：
①当CE=BC时，如图1，
∴，
设所对圆心角的度数为x°，则，
∵，
DE⊥AB，AB为直径，
∴
∴，
∵是的中点，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴∠BOC=36°，
，

②当CE=BE时，如图2，
∴
设所对圆心角的度数为x°，
∴
∵DE为弦，OB为半径，
∴
∴，
∵是的中点，
∴
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴∠BOC=90°，
∴，
综上所述，∠CAB的度数为18°或45°，
故答案为：18°或45°．
【点睛】
本题考查了等腰三角形的判定、圆周角定理、圆心角与弦、弧的关系、垂径定理、三角形的内角和定理，综合性较强，并采用了分类讨论的思想，解题的关键是运用弧的度数与圆心角的度数相结合，利用方程解决问题．
三、解答题
19．如图，在⊙O中，，弦AB与CD相交于点M．


(1)求证：．
(2)连接AC，AD，若AD是⊙O的直径．求证：．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【解析】
【分析】
（1）利用圆心角、弧、弦之间的关系解决问题即可；
（2）利用圆周角定理可得，再利用三角形外角性质可得，根据直径所对的圆周角为90°可得，进而根据三角形内角和定理和等量代换可证结论．
(1)
证明：∵，
∴，
∴，
∴．
(2)
证明：∵，
∴，
∴，
∵AD是⊙O的直径，
∴，
∴，
∴．
【点睛】
本题考查了圆心角、弧、弦之间的关系、三角形内角和定理、三角形外角性质，同弧或等弧所对的圆周角相等，直径所对的圆周角为90°，解题的关键是熟练掌握并灵活运用所学相关知识．
20．已知：如图，在中，，以为直径的分别交，于点，，连结，交于点．

（1）求证：．
（2）若，，求的长．
【答案】（1）见解析；（2）3
【解析】
【分析】
（1）由AB为⊙O的直径，根据圆周角定理的推论得到AE⊥BE，由等腰三角形的性质可证∠C=∠ODB，则OD//AC，即可得到结论；
（2）OD⊥BE，根据垂径定理得弧BD=弧DE，则DB=DE=，设OF=x，则DF=-x，利用勾股定理可得BD2-DF2=OB2-OF2，列方程可求出x的值，易证得OF为△BAE的中位线，从而可求AE的长．
【详解】
（1）证明：∵AB为⊙O的直径，
∴∠AEB=90°，
∵AB=AC，
∴∠C=∠ABC．
∵BO=OD，
∴∠ODB=∠ABC，
∴∠C=∠ODB，
∴OD//AC，
∴OD⊥BE；
（2）解：∵OD⊥BE，
∴弧BD=弧DE，
∴DB=DE=，
∵AB=5，则OB=OD=，
设OF=x，则DF=-x，
∵BF2=BD2-DF2=OB2-OF2，
即()2-(-x)2=()2-x2，
解得x=，
∵OF//AE，OA=OB，
∴AE=2OF=2×=3．
【点睛】
本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的弧．也考查了圆周角定理的推论、等腰三角形的性质、平行线的性质以及勾股定理．熟练掌握垂径定理是解答本题的关键．
21．已知，如图，AB为的直径，，BC交于点D，AC交于点E，．

(1)求的度数；
(2)求证：；
(3)若圆O的半径为，求弦BD与围成的弓形的面积．
【答案】（1）22.5°；（2）见解析；（3）
【解析】
【分析】
（1）由AB为⊙O的直径，AB＝AC，∠BAC＝45°，即可求得∠ABE与∠ABC的度数，继而求得∠EBC的度数；
（2）首先连接AD，由圆周角定理可得，可得∠ADB＝90°，又由三线合一，即可证得BD＝DC；
（3）首先连接OD，过点B作BH⊥OD于点H，易求得∠BOD的度数与△OBD的高，继而求得答案．
【详解】
解：（1）∵AB为⊙O的直径，
∴∠AEB＝90°，
∵∠BAC＝45°，AB＝AC，
∴∠ABE＝45°，∠ABC＝∠C＝67.5°，
∴∠EBC＝∠ABC﹣∠ABE＝22.5°；
（2）证明：连接AD，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
即AD⊥BC，
∵AB＝AC，
∴BD＝DC；
（3）连接OD，过点B作BH⊥OD于点H，
∵AB＝AC，AD⊥BC，
∴∠BAC＝2∠BAD，
∴∠BOD＝2∠BAD＝∠BAC＝45°，
∴BH＝OH＝OB=×=1，
∴弦BD与围成的弓形的面积为：
S扇形OBD-S△OBD＝．

【点睛】
此题考查了圆周角定理、等腰三角形的性质以及扇形的面积．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．
22．如图，已知是直径，且．，是上的点，，交于点，连结，．

(1)求的度数．
(2)求出的长度．
(3)求出图中阴影部分的面积（结果保留）．
【答案】(1)∠COA=60°
(2)CE=2
(3)
【解析】
【分析】
（1）根据平行线的性质得到∠OCB=∠CBD=30°，根据等腰三角形的性质得到∠OCB=∠OBC=30°，即可求得∠COA=60°；
（2）根据平行线的性质得到∠AEO=∠ADB=90°，由∠AOC=60°，求得∠A=30°，即可得到OE=OA=OC，即可求得CE=OC=2；
（3）根据扇形和三角形的面积公式即可得到结论．
(1)
解：∵OCBD，
∴∠OCB=∠CBD=30°，
∵OC=OB，
∴∠OCB=∠OBC=30°，
∴∠COA=∠OCB+∠OBC=60°；
(2)
∵AB是直径，
∴∠ADB=90°，
∵OCBD，
∴∠AEO=∠ADB=90°，
∵∠AOC=60°，
∴∠OAE=30°，
∴OE=OA，
∴CE=OC=×4=2；
(3)
连接OD，

∵∠CBD=∠OBC=30°，
∴∠BOD=60°，
∵OB=OD，
∴△BOD是等边三角形，
∴S阴影=S扇形BOD-S△BOD ==．
【点睛】
本题考查了扇形面积的计算，圆周角定理，解直角三角形，正确地作出辅助线是解题的关键．
23．如图，等边内接于，点是劣弧上的一点（端点除外），连接，延长至点，使，连接、．

（1）如图1，若经过圆心；

①求的度数；
②猜想是何种特殊三角形，并加以证明；
（2）小明经过探究发现：“无论点在劣弧上怎样运动（如图2），的大小都不会发生变化.”你认为小明的说法正确吗？请说明理由．
【答案】（1）①；②是等边三角形，见解析；（2）小明的说法正确，见解析
【解析】
【分析】
（1）①根据等边三角形的性质得到∠BAC=60°，AB=AC，根据垂径定理得到，根据圆周角定理得到答案；②根据等边三角形的性质和题意证明△BAP≌△DBC，得到PC=CD，根据圆内接四边形的性质得到∠DPC=60°，根据等边三角形的判定定理证明即可；
（2）△CAP≌△DBC，得到PC=CD，根据圆内接四边形的性质得到∠DPC=60°，证明△PCD等边三角形，根据等边三角形的性质求出∠D即可．
【详解】
解：（1）①∵是等边三角形，
∴，，
∴，
又经过圆心，
∴，
∴；
②是等边三角形．
证明：∵，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
又，
∴是等边三角形；
（2）小明的说法正确．
理由：根据题意可得，
在和中，
，
∴，
∴，
又，
∴是等边三角形，
∴，
∴无论点在劣弧上怎样运动，的大小都不会发生变化．
【点睛】
本题考查的是垂径定理的推理、圆周角定理、等边三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质以及研究四边形的性质，灵活运用相关定理、数形结合思想是解题的关键．
24．如图，AB是⊙O的直径，弦，E是CA延长线上的一点，连接DE交⊙O于点F连接AF，CE．

(1)若，求的度数．
(2)求证：AF平分．
(3)若，，且CF经过圆心O，求CE的长．
【答案】(1)70°
(2)详见解析
(3)
【解析】
【分析】
（1）由垂径定理得到，从而得到与的关系，通过直角三角形的性质可以得到,由圆周角定理的推理即可得出；
（2）由垂径定理和圆周角定理的推理可以得出,再由圆内接四边形和得出与的关系，从而得到，由圆周角定理的推理得出与的关系，从而得出与的关系，得证；
（3）由垂径定理可以得出CH，由勾股定理得出OH，从而得出AH的长，再由勾股定理得出AC的长，由，根据平行线分线段成比例定理，得出，从而得出CE的长．
(1)
（1）解：如图，连接OD，AD，设AB交CD于H．

∵，
∴，，
∴，
∴，
∴∠AFC＝∠ADH＝70°．
(2)
（2）证明：∵AB是直径，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴AF平分．
(3)
（3）解：如图，设AB交CD于H．

∵AB是直径，，
∴，
∵，，
∴
∴，
∴
∵CF是直径，
∴，
∴，
∴
∵，
∴，
∴．
【点睛】
本题考查了垂径定理、圆周角定理及推理、勾股定理、平行线分线段成比例定理，熟练掌握相关定理是解决本题的关键．
25．如图，D是的边上一点，连结，作的外接圆O，将沿直线折叠，点C的对应点E落在上．


(1)若，如图1．
①求的度数．
②若，求的度数．
(2)若，如图2．求的长．
【答案】(1)①30，②60；
(2)
【解析】
【分析】
（1）①根据折叠的性质可得，根据等弧所对的圆周角即可求解；
②根据等边对等角可得，根据（1）的结论可得，进而根据折叠的性质求得，进而根据即可求得，
（2）根据，可得，，根据折叠的性质可得，进而即可求解．
(1)
①，，
，
将沿直线折叠，点C的对应点E落在上，
；
②，
，
，
，
将沿直线折叠，点C的对应点E落在上，
，
中，，则，
，
，
，
(2)




折叠




【点睛】
本题考查了折叠的性质，同弧或等弧所对的圆周角相等，弧与弦的关系，三角形内角和定理的应用，综合运用以上知识是解题的关键．
26．在平面直角坐标系xOy中，已知点P（4，3），⊙O经过点P，过点P作x轴的平行线交⊙O于点E．


(1)如图1，求线段OP的长；
(2)点A为y轴正半轴上的一动点，点B和点A关于直线PE对称，连接PA，PB．直线PA，PB分别交⊙O于点C，D．直线CD交x轴于点F，交直线PE于点G．
①点A运动到如图2位置，连接CE，DE．求证：∠DGP=ECP．
②在点A运动过程中，当DF=OP时，求点D的坐标．
【答案】(1)5
(2)①见解析；②点D的坐标为（－3，4）或（－3，－4）或（3，－4）
【解析】
【分析】
（1）过P作PH⊥x轴于H，利用勾股定理求解OP的长即可；
（2）①利用外角性质得∠DGP=∠EPC+∠DCP，由对称性知∠EPC=∠DPE，根据弧与圆周角关系知∠DPE=∠DCE，再进行等量代换即可；
②连接OE、OP，设PE交y轴于Q，过D作DM⊥x轴于M，由圆周角与圆心角关系知∠POE=2∠ECP，由垂径定理证得∠POE=2∠POQ，由平行线性质及等量代换可证得△POQ≌△DMF，根据对应边相等求出D点坐标即可．
(1)
解：过P作PH⊥x轴于H，连接OP，如图所示，

由P（4，3）知，OH=4，PH=3，
在Rt△POH中，由勾股定理得：OP=．
(2)
解：①证明：∵∠DGP是△PCG的外角，
∴∠DGP=∠DCP+∠CPG，
∵B和A关于直线PE对称，
∴∠DPE=∠CPE，
∵∠DPE=∠DCE（同圆中，同弧所对的圆周角相等），
∴∠CPE=∠DCE，
而∠ECP=∠DCE+∠PCD，
∴∠ECP =∠CPE+∠PCD=∠DGP．
②解：连接OE、OP，过D作DH⊥x轴于H，如图所示，

则∠POE=2∠ECP（同圆中，同弧所对的圆心角的度数是圆周角度数的2倍），
由①知，∠ECP=∠DGP，
∴∠POE=2∠DGP，
∵PE∥x轴，即PE⊥y轴，y轴过圆心O，
∴OM⊥PE，∠POE=2∠POM，
∴∠POM=∠DGP，
而∠DGP=∠DFH（两直线平行，同位角相等），
∴∠POM=∠DFH，
又DF=OP=5，
∴△DFH≌△POM，
∴DH=PM=4，
即D点纵坐标的绝对值为4，
连接OD，易知OD=5，则由勾股定理得：OH=3，
即D点横坐标的绝对值为3，
∵A在y轴正半轴上运动，
∴D不会在第一象限，
∴D（－3，4）或（－3，－4）或（3，－4）．
【点睛】
本题考查了勾股定理，同圆中弧、圆心角、圆周角的关系，三角形外角性质及全等三角形判定与性质等知识，解题关键是利用圆的性质证明三角形全等的条件．