【暑假提升】浙教版数学八年级（八升九）暑假-专题第05讲《二次函数y=ax2bxc(a≠0)的性质》预习讲学案

这是一份【暑假提升】浙教版数学八年级（八升九）暑假-专题第05讲《二次函数y=ax2bxc(a≠0)的性质》预习讲学案，文件包含第05讲二次函数yax2+bx+ca≠0的性质解析版docx、第05讲二次函数yax2+bx+ca≠0的性质原卷版docx等2份学案配套教学资源，其中学案共43页， 欢迎下载使用。
第05讲 二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的性质

一、二次函数的图象与性质
1.二次函数图象与性质
函数
二次函数（a、b、c为常数，a≠0）
图象




开口方向
向上
向下
对称轴
直线
直线
顶点坐标


增减性
在对称轴的左侧，即当时，y随x的增大而减小；在对称轴的右侧，即当时，y随x的增大而增大．简记：左减右增
在对称轴的左侧，即当时，y随x的增大而增大；在对称轴的右侧，即当时，y随x的增大而减小．简记：左增右减
最大(小)值
抛物线有最低点，当时，y有最小值，
抛物线有最高点，当时，y有最大值，
二、求二次函数的最大（小）值的方法
如果自变量的取值范围是全体实数，那么函数在顶点处取得最大（或最小）值，即当时，．
要点：如果自变量的取值范围是x1≤x≤x2，那么首先要看是否在自变量的取值范围x1≤x≤x2内，若在此范围内，则当时，，若不在此范围内，则需要考虑函数在x1≤x≤x2范围内的增减性，如果在此范围内，y随x的增大而增大，则当x＝x2时，；当x＝x1时，，如果在此范围内，y随x的增大而减小，则当x＝x1时，；当x＝x2时，，如果在此范围内，y值有增有减，则需考察x＝x1，x＝x2，时y值的情况．



例1．二次函数有（       ）
A．最大值 B．最小值 C．最大值 D．最小值
【答案】C
【解析】
【分析】
直接把二次函数的一般式化为顶点式即可排除选项．
解：由二次函数可得：，
∵，
∴当x=1时，二次函数有最大值为-4；
故选C．
【点睛】
本题主要考查二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
例2．已知二次函数，则下列关于这个函数图象和性质的说法，正确的是（       ）
A．图象的开口向上 B．图象的顶点坐标是
C．当时，随的增大而增大 D．图象与轴有唯一交点
【答案】C
【解析】
【分析】
先利用配方法得到，可根据二次函数的性质可对、、进行判断；通过解方程可对进行判断．
解：，
抛物线的开口向下，顶点坐标为，抛物线的对称轴为直线，当 时，随的增大而增大，
令，则，解方程解得 ，，
△，
抛物线与轴有两个交点．
故选：．
【点睛】
本题考查了二次函数的性质和二次函数的顶点式的知识点，熟悉相关性质是解题的关键．
例3．已知二次函数，若点，，在此二次函数图象上，则，，的大小关系正确的是（       ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
由题意易得二次函数的对称轴为直线，进而可得点，关于抛物线的对称轴对称，然后根据二次函数的性质可排除选项．
解：∵二次函数，
∴二次函数的对称轴为直线，
∴点为二次函数的顶点，
∵点，，
∴根据二次函数的对称性可得：，
∴，
∵3＞0，
∴二次函数的开口向上，
∴；
故选C．
【点睛】
本题主要考查二次函数图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．
例4．已知二次函数y＝x2+bx+c的最小值是﹣6，它的图象经过点（4，c），则c的值是（　　）
A．﹣4 B．﹣2 C．2 D．6
【答案】B
【解析】
【分析】
把点（4，c）代入y＝x2+bx+c即可得b＝-4，再把y＝x2+bx+c，化成顶点式，根据二次函数的性质即可求得c．
解：∵二次函数y＝x2+bx+c的图象经过点（4，c），
∴c＝16+4b+c，
∴b＝-4．
∴，
∵最小值是﹣6
∴-4+c=-6
∴c=-2
故选：B．
【点睛】
本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，以及二次函数的性质，把函数y＝x2+bx+c的解析式化成顶点式是解题的关键．
例5．下表是二次函数（，均为整数）的自变量与因变量的部分对应值．
自变量





0.07
1.33
因变量
7.0089
0.1664


1.4025
3.2849
10.0889
给出下列判断，其中错误的是（       ）A．该抛物线的对称轴是直线 B．该二次函数的最小值为
C．当、时， D．当时，
【答案】D
【解析】
【分析】
利用待定系数法求出该二次函数解析式，并改为顶点式，即可判断A和B选项．利用二次函数的对称性和增减性即可判断C和D选项．
根据表格将和代入二次函数解析式，得：
，
解得：．
故该二次函数解析式为，且改为顶点式为．
∴该抛物线的对称轴是直线，故A正确，不符合题意；
该二次函数的最小值为−1，故B正确，不符合题意；
∵关于对称轴对称为，
∴，
当时，y随x的增大而增大，
∴，即．故C正确，不符合题意；
∵，
∴，
∴，，
∴，故D错误，符合题意．
故选D．
【点睛】
本题考查利用待定系数法求函数解析式，二次函数图象和性质．根据表格利用待定系数法求出该函数解析式是解答本题的关键．
例6．抛物线y＝ax2+bx+c的部分图象如图所示，对称轴为直线x＝﹣1，则当y＜0，x的取值范围是（　　）

A．x＜1 B．x＞﹣1 C．﹣3＜x＜1 D．﹣4≤x≤1
【答案】C
【解析】
【分析】
先利用抛物线的对称性求解抛物线与轴的另一个交点的坐标为： 再利用图像得到y＜0时，函数图像在轴的下方，从而可得答案．
解：由抛物线的对称轴为： 且过
所以抛物线与轴的另一个交点的坐标为：
当y＜0时，函数图像在轴的下方，
所以：＜＜
故选：
【点睛】
本题考查的是抛物线的对称性，利用抛物线的图像写不等式的解集，掌握以上知识是解题的关键．
例7．已知二次函数（m为常数，且），（       ）
A．若，则，y随x的增大而增大 B．若，则，y随x的增大而减小
C．若，则，y随x的增大而增大 D．若，则，y随x的增大而减小
【答案】D
【解析】
【分析】
先求出二次函数图象的对称轴，然后根据m的符号分类讨论，结合图象的特征即可得出结论．
该二次函数图象的对称轴为直线，
若，对于无法判断其符号，故A、B选项不一定正确；
若，则，即，且抛物线的开口向下，
∴当时，随的增大而减小，
故选：D．
【点睛】
此题考查的是二次函数的图象及性质，解决此题的关键是分类讨论确定对称轴的位置，再结合开口方向进行综合分析．
例8．已知二次函数（a为常数，且）（       ）
A．若时，y随x的增大而增大，则或
B．若时，y随x的增大而增大，则
C．若时，y随x的增大而减小，则或
D．若时，y随x的增大而减小，则
【答案】D
【解析】
【分析】
根据二次函数的性质和题意，可以求得的取值范围，本题得以解决．
解：二次函数为常数，且，
若时，随的增大而增大，则当时，，得；当时，，得；
若时，随的增大而减小，则当时，，得；当时，，得；
故选：．
【点睛】
本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
例9．已知，两点均在抛物线上点是该抛物线的顶点，若，则的取值范围为___________．
【答案】或
【解析】
【分析】
先判断出抛物线开口方向上，进而求出对称轴即可求解．
解：∵点是该抛物线的顶点，且，
∴该函数有最小值，则函数开口向上，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
当时，点B、C重合，则，不符合题意；
∴的取值范围为：或．
故答案为：或．
【点睛】
本题考查了二次函数图象上点坐标特征，主要利用了二次函数的增减性与对称性，根据顶点的纵坐标最大确定出抛物线开口方向是解题的关键．
例10．已知抛物线 y= -x2+ mx +2m ，当-1 ≤ x ≤ 2时，对应的函数值y的最大值是6，则 m的值是___________．
【答案】
【解析】
【分析】
求出抛物线的对称轴，分，，三种情况进行讨论即可．
抛物线开口向下，对称轴为直线x=
①当时，即m< -2时，x=-1时，y最大=-1+m=6，解得m=7（舍）；
②当时，即时，x=时，y最大=，解得，（舍）；
③当时，即时，x=2时，y最大=，解得m=（舍）.
综上所述：
故答案为．
【点睛】
考查二次函数的图象与性质，注意分类讨论，不要漏解．
例11．当﹣1≤x≤3时，二次函数y＝x2﹣4x+5有最大值m，则m＝_____．
【答案】10
【解析】
【分析】
根据题目中的函数解析式和二次函数的性质，可以求得m的值，本题得以解决．
∵二次函数y＝x2﹣4x+5＝（x﹣2）2+1，
∴该函数开口向上，对称轴为x＝2，
∵当﹣1≤x≤3时，二次函数y＝x2﹣4x+5有最大值m，
∴当x＝﹣1时，该函数取得最大值，此时m＝（﹣1﹣2）2+1＝10，
故答案为：10．
【点睛】
本题考查二次函数的性质、二次函数的最值，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
例12．已知二次函数中函数y与自变量x之间部分对应值如下表所示，点在函数图象上
x
…
0
1
2
3
…
y
…
m
n
3
n
…

则表格中的m＝______；当时，和的大小关系为______．
【答案】     -1    
【解析】
【分析】
根据二次函数图象的对称性确定其对称轴，根据对称轴公式求出b的值，代入表格中的坐标求出c的值，然后根据二次函数的对称性及增减性判断和的大小关系．
根据图表知，
当x=1和x=3时，所对应的y值都是n，
∴抛物线的对称轴是直线x=2，
∴ ，b=4
∴
把(2，3）代入得：c=-1
∴
把x=0代入得：m=-1
又∵对称轴是直线x=2，
∵，
关于对称轴的对称点在4和5之间，
∵该二次函数的图象的开口方向是向下，当x＞2时，y随x的增大而减小，
∴y1＜y2，
故答案为：-1；y1＜y2
【点睛】
本题主要考查对二次函数图象上点的坐标特征，用待定系数法求二次函数的解析式等知识点的理解和掌握，能根据二次函数的对称性判断两点的纵坐标的大小是解此题的关键．

一、单选题
1．已知二次函数的图像开口向下，顶点坐标为，那么该二次函数有（       ）
A．最小值-7 B．最大值-7 C．最小值3 D．最大值3
【答案】B
【解析】
【分析】
抛物线开口向下，则顶点的纵坐标为函数的最大值．
∵抛物线开口向下，顶点坐标为，
∴二次函数的最大值为．
故选B．
【点睛】
本题考查二次函数图像的性质，解题关键是掌握二次函数图像的性质．
2．若，，为二次函数的图象上的三点，则，，的大小关系是（       ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
把三个点的横坐标代入函数解析式，求出对应函数值，比较大小即可．
解：把，，分别代入得，
；；；
则，，的大小关系是，
故选：B．
【点睛】
本题考查了二次函数比较函数值大小，准确求出二次函数对应函数值是解题关键．
3．二次函数的图象如图所示，若M＝4a＋2b，N＝a－b．则M、N的大小关系为（       ）


A．M＜N B．M＝N C．M＞N D．无法确定
【答案】A
【解析】
【分析】
由图像可知，当时，，当时，，然后用作差法比较即可.
解：当时，，
当时，，

，
即，
故选：A.
【点睛】
本题考查了二次函数图像上点的坐标特征，作差法比较代数式的大小，熟练掌握二次函数图像上点的坐标满足二次函数解析式是解答本题的关键.
4．下列表格是二次函数的自变量x与函数值y的对应值，判断方程 （a≠0，a，b，c，为常数）的一个解x的范围是（        ） ．
x
6.17
6.18
6.19
6.20
6.21
y=ax2+bx+c
-0.3
0.1
0.6
1.2
2.0

A．6.17