【暑假提升】浙教版数学八年级（八升九）暑假-专题第04讲《特殊二次函数的性质》预习讲学案

第04讲 特殊二次函数的性质一、二次函数y=ax2（a≠0）与y=ax2+c(a≠0)的图象及性质（复习图像，分析性质，数形结合）1.二次函数y=ax2(a≠0)的图象的性质二次函数y=ax2（a≠0）的图象的性质，见下表： 2.二次函数y=ax2+c(a≠0)的图象的性质关于二次函数的性质，主要从抛物线的开口方向、顶点、对称轴、函数值的增减性以及函数的最大值或最小值等方面来研究．下面结合图象，将其性质列表归纳如下：二、二次函数与的图象与性质1.函数的图象与性质 2.函数的图象与性质例1．下列说法中正确的是（       ）A．在函数中，当时y有最大值0B．在函数中，当时y随x的增大而减小C．抛物线，，中，抛物线的开口最小D．不论a取何值，的顶点都是坐标原点【答案】C【解析】【分析】直接利用y=ax2（a≠0）图象的性质分别分析得出答案．A 由函数的解析式y＝2x2，可知抛物线顶点坐标在原点，开口方向向上，故当x=0时y有最小值0，故A错误；B 由函数的解析式y＝2x2，可知其对称轴为y轴，对称轴的左边（x＜0），y随x增大而减小，对称轴的右边（x＞0），y随x增大而增大，故B错误；C 根据二次函数的性质，可知系数a决定开口方向和开口大小，且a的绝对值越大，函数图象开口越小，可知抛物线y＝2x2的开口最小，故C正确；D 不论a是正数还是负数，抛物线y＝ax2 (a≠0)的顶点都是坐标原点，故D错误故选：C【点睛】此题主要考查了二次函数的图像与性质，解题关键是明确y=ax2（a≠0）的图像的特点．例2．函数y＝x＋1，y＝x2＋2，y＝x2，y＝－2x2＋1中，当x＞0时，y随x的增大而增大的函数共有（       ）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】C【解析】【分析】根据一次函数与二次函数的图象与性质即可判断．解：当x＞0时，y随x的增大而增大的函数是一次函数y＝x＋1和二次函数y＝x2＋2和y＝x2．故选C．【点睛】此题主要考查函数的图象，解题的关键是熟知一次函数与二次函数的图象与性质．例3．下列关于二次函数的说法正确的是（       ）A．它的图象经过点(，) B．它的图象的对称轴是直线C．当x3 C．≥ 3 D．≤ 3【答案】C【解析】【分析】由题知道二次函数对称轴为，开口向上，根据二次函数图像的性质，当x在对称轴左边的时候随的增大而减小，即可得解．解：由题知二次函数对称轴为，开口向上，根据二次函数图像的性质：只需满足即可满足题意，故选C．【点睛】本题考查了顶点式的二次函数图像的性质；掌握好二次函数图像的性质时本题的关键．例9．如图，抛物线y1=a（x+2）2-3与y2=（x-3）2+1交于点A（1，3），过点A作x轴的平行线，分别交两条抛物线于点B，C．则以下结论：  ①无论x取何值，y2的值总是正数；②a=1；③当x=0时，y2-y1=4；④2AB=3AC；其中正确结论是（　　）A．①② B．②③ C．③④ D．①④【答案】D【解析】【分析】直接由判断①；把A点坐标代入抛物线y1=a（x+2）2-3求出a值判断②；由x=0求得y2，y1作差后判断③；由二次函数的对称性求出B，C的坐标，进一步验证2AB=3AC判断④．解：对于①，，∴无论x取何值，y2的值总是正数正确；对于②，∵抛物线y1=a（x+2）2-3过点A（1，3），则3=a（1+2）2-3，解得，②错误；对于③，，当x=0时，，③错误；对于④，∵抛物线y1=a（x+2）2-3与交于点A（1，3），∴可求得B（-5，3），C（5，3），求得AB=6，AC=4，则2AB=3AC，④正确．故选D．【点睛】本题考查命题的真假判断与应用，考查了二次函数的性质，属中档题．例10．当a＞0时，抛物线的开口______，对称轴是直线______，顶点坐标是______，当x＝h时，y有最____值为0，当x＜h时，y随x的增大而____；当x＞h时，y随x的增大而______．当a＜0时，抛物线的开口______，对称轴是直线______，顶点坐标是______，当x＝h时，y有最____值为0，当x＜h时，y随x的增大而_____；当x＞h时，y随x的增大而_____．【答案】     向上     x＝h     （h，0）     小     减小     增大     向下     x＝h     （h，0）     大     增大     减小【解析】略例11．已知二次函数y＝（a+2）x2有最小值，那么a的取值范围是_____．【答案】a＞﹣2．【解析】【分析】根据二次函数的性质，当二次项系数大于0时抛物线开口向下，函数有最小值，即可得出答案．解：因为二次函数y＝（a+2）x2有最小值，所以a+2＞0，解得a＞﹣2．故答案为：a＞﹣2．【点睛】本题考查二次函数性质，熟练掌握y=ax2形的图象性质是解题关键．例12．当时，二次函数的最大值是______，最小值是______．【答案】     4     0【解析】【分析】利用二次函数图像找到范围内的图像变化规律，从而求解．∵二次函数，∴对称轴为y轴，顶点为原点，开口向上，y轴左边y随x的增大而减小，在y轴右边，y随x的增大而增大．∴当时，最小值是当x＝0时，y＝0；当x＝－1时，y＝1；当x＝2时，y＝4．故答案为4；0．【点睛】本题主要考查二次函数图像与不等式，正确利用数形结合分析是解题关键．本题难度不大，注意顶点在不等式范围内，顶点为最小值．例13．设A(－2，y1)、B(1，y2)、C(2，y3)是抛物线y＝－(x＋1)2＋k上的三点，则y1、y2、y3的大小关系为__________．【答案】【解析】【分析】本题要比较，，的大小，由于，，是抛物线上三个点的纵坐标，所以可以根据二次函数的性质进行解答：先求出抛物线的对称轴，再由对称性得点关于对称轴的对称点的坐标，再根据抛物线开口向下，在对称轴右边，随的增大而减小，便可得出，，的大小关系．解：抛物线，对称轴为，，点关于的对称点，，在的右边随的增大而减小，，，，，，故答案选：．【点睛】本题考查了二次函数图象的性质，对称轴的求法，解题的关键是熟记二次函数的性质：时，在对称轴左边，随的增大而减小，在对称轴右边，随的增大而增大；时，在对称轴左边，随的增大而增大，在对称轴右边，随的增大而减小．例14．已知关于x的二次函数，当1≤x≤3时，函数有最小值2h，则h的值为___________．【答案】或6【解析】【分析】依据二次函数的增减性分1≤h≤3、h3三种情况，由函数的最小值列出关于h的方程，解之可得．∵中a=1>0，∴当xh时，y随x的增大而增大；①若1≤h≤3，则当x=h时，函数取得最小值3，即2h=3，解得：h=；②若h3，则在1≤x≤3范围内，x=3时，函数取得最小值2h，即 解得：h=6,h=2(舍去)；故答案为:或6.【点睛】本题考查二次函数的图像和性质，因为对称轴的位置不确定，所以分类讨论.例15．我们知道：二次函数：，当x=1时，y有最小值，当x=2时，y有最小值；那么请同学们探究一下：，当x=______时，y有最小值．，当x=202时y有最小值，则___．【答案】          2020【解析】【分析】利用二次函数的，开口向上，求出对称轴，当x为对称轴的值时，函数取最小值即可．由，当时，y有最小值．由，得，当．函数取最小值∴，故答案为：，2020．【点睛】本题考查二次函数的最值问题，掌握二次函数中a决定开口方向，当a>0时，抛物线开口向上，x=时函数取最小值，反之，当a3时，y随x的增大而增大，故A正确；B. 图象向右平移3个单位则变为y=2(x−6)2−1，故B错误；C. 当x=3时，函数y有最小值−1，故C错误；D. 图象的对称轴是直线x=3，故D错误.故选：A.【点睛】本题主要考查了二次函数的性质，正确把握二次函数的性质是解题关键．9．如图，点A，点B的坐标分别为，，抛物线的顶点在线段AB上运动，与x轴交于C，D两点（点C在点D的左侧）．若点D的横坐标的最大值为6，则点C的横坐标的最小值为（       ）A． B．1 C． D．【答案】C【解析】【分析】当D点横坐标最大值时，抛物线顶点必为，可得此时抛物线的对称轴为直线，求出间的距离；当C点横坐标最小时，抛物线顶点为，再根据此时抛物线的对称轴及的长，可判断C点横坐标的最小值．解：当点D横坐标为6时，抛物线顶点为，∴对称轴为直线，；当抛物线顶点为时，抛物线对称轴为直线，∵，∴，∴点C的横坐标最小值为，故选C．【点睛】本题考查了二次函数的性质和图象．明确CD的长度是定长是解题的关键．10．已知A，B两点的坐标分别为，，线段AB上有一动点，过点M作x轴的平行线交抛物线于点，两点（点P在Q的左侧）．若恒成立，则b的取值范围为（       ）A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】由恒成立，即点M要在线段PQ上，即抛物线在x=1时的函数值要比B的纵坐标大和x=-2时函数值要比A的纵坐标大，由此求解即可．解：如图所示，∵恒成立，即点M要在线段PQ上，∴，∴， 故选：B．【点睛】本题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征，正确理解恒成立，即点M要在线段PQ上是解题的关键．二、填空题(共0分)11．二次函数y=，当x