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【暑假提升】沪教版数学高一暑假-第15讲《幂指对函数复习及阶段测试》同步讲学案
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第十五讲 《幂指对(函数)》复习一、知识梳理【难度系数:★ 参考时间:15 min】(一)幂函数 1. 定义:形如() 幂的基本不等式:当,时,2. 幂运算法则:(1)(2)(3)(4)(5)3. 图像:①当时,下凹严格增 ②当时,正比例严格增 ③当时,上凸严格增 ④当时,反比例严格减4. 性质:①当时,函数过定点、,在上严格增②当时,函数过定点,在上严格减,坐标轴为渐近线
③,奇分之奇仍为奇,奇分之偶方为偶,分母偶数两不是(二)指数函数和对数函数 1. 对数概念: 真数 (1) (2)零与负数没有对数 (3) (4) (5)2. 对数运算及性质() (1) (积) (2) (商)(3) (真数幂) (4) (底数幂)(5) (换底) (6) (倒数)(7) (恒等式) (8) (恒等式)3. 指数函数和对数函数名称指数函数:对数函数:图像指数函数与对数函数的图像关于直线对称二、典型例题【难度系数:★ 参考时间:20 min】例1. 解不等式:. 【答案】例2. 已知,函数的图像关于原点对称,且与x轴、y轴均无交点,求m的值. 【答案】1,3,5,7例3. 已知,,用、表示. 【答案】例4. 求函数,的最值. 【解析】设,则,对称轴,在严格减所以当,时,;当,时,例5. 已知函数(其中、为常量,且,)的图像经过点. (1)求该函数的表达式;(2)若不等式在上恒成立,求实数m的取值范围. 【答案】(1);(2). 例6. 已知,求下列各式的值:(1); (2); (3). 【答案】(1)8; (2)3; (3)【解析】(1)原式(2),,(3),,A组 双基过关【难度系数:★★ 参考时间:20 min】1. 计算:________. 【答案】 2. 若,且,,则________. 【答案】3. 若,则________. 【答案】 4. 若点在幂函数的图像上,则________. 【答案】65. 函数的定义域是 . 【答案】6. 若函数在R上是严格增函数,则实数m的取值范围是 . 【答案】7. 若,则等于……………………………………( )A. 4 B. 2 C. D. 1【答案】B8. 若,,,则的最小值是………………………………………( )A. 2 B. C. 4 D. 【答案】C9. 函数的值域为………………………………………………………………………( )A. B. C. D. 【答案】C 10. 已知函数是幂函数,且时,若此函数是严格减函数,则m的值为( )A. B. 2 C. 或2 D. 3【答案】A 11. 已知,求的值. 【答案】12. 求函数的最大值及相应x的取值. 【答案】当时, B组 巩固提高【难度系数:★★★ 参考时间:25 min】1. 若,则的值是________. 【答案】2. 若,且,则的值是________. 【答案】 3. 方程的解为________. 【答案】0或1 4. 已知,,试用、表示 . 【答案】5. 无论为何值,函数恒过一定点,这个定点的坐标是________. 【答案】6. 若函数在区间是严格减函数,则实数的取值集合是________. 【答案】7. 若,则的取值范围是………………………………………………………………( )A. B. C. D. 【答案】C(可用特殊值法)8. 若,则的值为………………………………………………( )A. B. 4 C. 1 D. 4或1【答案】B(可用淘汰法或特殊值法)9. 设,,若函数在的函数值大于函数在的函数值,函数在的函数值大于的函数值,则下列关系式中一定成立的是………………………………………………………( )A. B. C. D. 【答案】D 10. 已知关于x的方程有实数解,求实数的取值范围. 【答案】 C组 拓展延伸【难度系数:★★★★ 参考时间:45 min】1. 若函数在上严格单调递减,则实数的取值范围是________. 【答案】2. 若正实数、、均不为1,满足,且,则的值为________. 【答案】13. 函数. 若时,函数值均小于0,则实数的取值范围是 . 【答案】【提示】;;综上4. 若函数的值域为,当正数、满足时,则的最小值为…………………………………………………………………………………………………( )A. B. 1 C. D. 2【答案】A 【提示】,所以,从而当且仅当,时等号成立5. 已知、是方程的两个实根,求的值. 【答案】12【解析】原方程可化为,设,则原方程化为,所以,由已知,是原方程的两个根,则,,即,故6. 已知函数的图像过点和. (1)求此函数的表达式;(2)已知函数,若两个函数图像在区间上有公共点,求t的最小值. 【解析】(1)解得所以. (2)由(1),在上有解,在严格单调递增,所以当,最小值2. 所以,即:t的最小值为2. 7. 已知不等式的解集为M,求当时,函数的最大值和最小值. 【答案】;【解析】因为,所以所以,即,所以,所以. 所以. . 因为,所以. 所以当,即时,;当,即时,. 8. (1)关于x的方程在上有唯一解,求实数k的取值范围;(2)已知关于x的方程有两个不同的实数根,求实数m的取值范围. 【解析】(1)令,所以原方程化为即显然,,再令,,在同一直角坐标系中作出它们的图像,所以原方程有唯一解,两曲线有唯一公共点或,所以或(2)原方程可化为 令得原方程有两个不同的实数根等价于方程有两个大于0的根,于是即得 D组 综合训练【难度系数:★★★ 参考时间:30 min】1. 若函数在区间上是严格减函数,则实数m的取值范围是________. 【答案】2. 若函数的定义域是R,则的取值范围是 . 【答案】3. 若函数的值域是R,则实数的取值范围是 . 【答案】4. 若直线与函数的图像有两个公共点,则的取值范围是________. 【答案】5. 若函数,存在实数,和的函数值相反,则实数m的取值范围是________. 【答案】6. 方程解的情况为……………………………………………………………………( )A. 两个正根 B. 一个正根一个负根C. 一个正根 D. 无实数根【答案】C 7. 如果,m、n为不等于1的正数,那么下列关系式中成立的是………………( )A. B. C. D. 【答案】D8. 若,,,且,,则等于………………( )A. B. C. D. 【答案】D 9. 化简或求值:(1); (2). 【答案】(1) (2) 10. 已知x满足,求函数的最大值和最小值. 【答案】当时,最小值为0;当时,最大值为2. 11. 已知,求的值. 【解析】由,去分母可得,所以 ,所以. 12. 设x、y、z均为正数,且. (1)试求x、y、z之间的关系;(2)求使成立,且与p最近的正整数(即求与p的差的绝对值最小的正整数);(3)试比较3x、4y、6z的大小. 【解析】(1)令,由x、y、z均为正数得,则,所以因为,且,所以;(2)因为,所以,所以,即,因为,,因为,所以,即,所以与p的差最小的整数是3;(3)由(1)得,,,,又x、y、且x、y、,所以,,所以,则,同理可求,则,综上可知,. 阶段测试卷 (总分100分,时间45分钟) 姓名 成绩 一、填空题(共12小题,1~6每题4分,7~11每题6分,共54分)1. 已知,,则 . 【答案】 【出处】2021·上海·22. 不等式的解集为 . 【答案】 【出处】2017·上海·33. 已知集合且,则实数的值为 . 【答案】【提示】4. 已知,,用,表示= . 【答案】【提示】换底公式, 5. 若不等式的解集为,则实数的取值范围是 . 【答案】, 【出处】2018·七宝·7 6. 已知,若幂函数的图像关于原点对称,且在上递减,则_________. 【答案】 【出处】2018·上海·7 7. 若,且,则的最大值为 . 【答案】 【出处】2019·上海·7【提示】8. 集合,若,,则实数的取值范围是 . 【答案】 【提示】分母为零, 9. 已知集合,集合,且,,则 , , . 【答案】 【提示】推理出A集合只有一根,10. 已知,则 . 【答案】2【解析】即两边同除以,得,解得或,由,故所以11. 若集合中只有一个元素,则实数的取值范围是___________. 【答案】 【出处】2017·上中·5【提示】绝对值的几何意义,距离最近的整数和,一个距离,一个距离,能否取等 二、选择题(共2小题,第12题4分,第13题6分,共10分)12. 若,则“”是“”的( ). A.充分非必要条件 B.必要非充分条件 C.充要条件 D.既非充分又非必要条件 【答案】A 【出处】2020·复旦青分·10月月考·313. 已知集合,是的子集,当时,,且,则称为的一个“孤立元素”,那么中无“孤立元素”的4元子集的个数是( ). A. 4 B. 5 C. 6 D. 7【答案】C 【提示】注意审题,理解题意,一一列举四连:,,;2连+2连:,, 三、解答题(共2大题,第14题16分,第15题20分,共36分)14. (本题共2问,第一小问6分,第二小问10分,共16分)(1)已知关于的二次方程两根均在区间内,求实数的取值范围;(2)已知,求函数在上的最小值. 【答案】(1);(2)【提示】(1)同一区间,要看三点;(2)定轴动区间,区间漂流记,对称轴左中右 15. (本题共2问,第一问8分,第二小问12分,共20分)已知关于的不等式(),设为整数集. (1)求不等式的解集;(2)对于上述集合,设,探究能否为有限集?若能,求出使元素个数最少时的的所有取值,及此时的集合,若不能,请说明理由. 【出处】2020·复旦青分·10月月考·20【答案】(1)当时,;当时,;当时,;(2),【提示】(1)对应方程两根只要,必定;只要,必定【平均值不等式】(2)当时,,要使元素个数最少,只需此时
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