【暑假提升】沪教版数学高一暑假-第12讲《指数函数》同步讲学案

第十二讲  指数函数

【教学目标】

1. 理解指数函数的概念，研究指数函数的基本性质；

2. 能用描点法作出具体指数函数的图像，探索指数函数图像的分布规律.

一、应知应会

【难度系数：★   参考时间：10 min】

一、复习引入

1. 幂函数的图像经过点，此幂函数的解析式是           .

2. 比较下列各题中两个数的大小

（1）与                   （2）与

3. 下列幂函数在区间内严格递增，且图像关于原点中心对称的是___________.

（1）（2）（3）（4）

4. 一张纸对折一次，由1层变为2层，再对折一次由2层变为4层，……对折次后，层数与折叠次数的函数关系式是怎样的？

二、知识梳理

【难度系数：★★   参考时间：15 min】

（一）指数函数的定义

对于函数来说，首先要假设，以保证对所有实数，都有意义. 还要假设，因为如果，就恒等于1，这种极为特殊的情况我们不必专门研究.

定义：当底数固定，且，时，等式

确定了变量随变量变化的规律，称为底为的指数函数（exponential function）.

因为对所有实数，都是有意义的，所以指数函数的定义域是全体实数.

（二）指数函数的图像

    分别描绘指数函数，，，的大致图像.

（三）指数函数的性质

由前面的几种指数函数的图像，结合幂的运算性质，我们可以得到如下的性质：

1. 指数函数的函数值恒大于

2. 指数函数的图像恒经过定点

3. 当时，指数函数在上严格增

当时，指数函数在上严格减

4. 指数函数及的图像关于轴对称

关于指数函数的图像与性质的总结见下表：

三、典型例题

【难度系数：★★★   参考时间：20 min】

例1. 在下列函数中，是指数函数的有___________.

①  ②  ③  ④

⑤   ⑥   ⑦

例2. 函数是指数函数，则=___________.

例3. 指数函数①，②满足不等式，则它们的图象是…………(     )

例4. 若函数的图像在第一、三、四象限内，则………………………………(     )

A.      B.      C. 且     D.

例5. 比较下列各组数的大小:

（1）和；   （2）和；   （3） 和；

（4） 和；  （5）和；    （6）和.

例6. 已知函数，其中.

（1）求，并计算的值；

（2）作出该函数的图像，并求函数的值域.

A组  双基过关

【难度系数：★★   参考时间：20 min】

1. 函数的值域为__________.

2. 若且，则函数的图像经过的定点坐标为__________.

3. 函数关于轴对称的函数为               .

4. 若，则和的大小关系为               .

5. 已知指数函数（）在区间上的最大值比最小值大，则实数的值为          .

6. 若某地现有绿地100 km2，计划每年按10 %的速度扩大绿地，则三年后该地的绿地为________km2.

7. 若函数，当时函数值，则的取值范围是………………………（    ）

A.   B.

C.   D.

8. 已知函数（，且）.

（1）求该函数的图像恒过的定点坐标；

（2）指出该函数的单调性（不必证明）.

B组  巩固提高

【难度系数：★★★   参考时间：25 min】

1. 若函数在上是严格减函数，则的取值范围是               .

2. 若函数在区间上的最大值比最小值大，则实数的值是           .

3. 方程的实根的个数为________.

4. 若函数的图像关于原点成中心对称，则实数的值为________.

5. 若定义运算，则函数的函数值的取值范围为________.

6. 函数的图像……………………………………………………………………………（     ）

A. 关于原点成中心对称                             B. 关于y轴对称

C. 既关于原点成中心对称又关于y轴对称             D. 既不关于原点成中心对称也不关于y轴对称

7. 若，函数的值恒大于1，则实数的取值范围为……………………………（     ）

A.   B.

C.   D.

8. 判断函数，的单调性，并求出它的值域.

C组  拓展延伸

【难度系数：★★★★    参考时间：25 min】

1. 若函数（是常数），当时，则函数的值域为           .

2. 若函数在区间上是严格减函数，则实数m的取值范围是             .

3. 若函数在的图像恒在x轴上方，则实数的取值范围是…………（     ）

A.  B.  C.  D.

4. 已知函数.

（1）当时，求函数在上的值域；

（2）若对任意，总有成立，求实数的取值范围.

5. 已知.

（1）求证：；

（2）计算：；

（3）若，根据，写出一个更为一般的函数.

D组  综合训练1

【难度系数：★★★   参考时间：25 min】

1. 函数恒过定点________.

2. 函数，的值域为________.

3. 将函数图像向上平移1个单位再向右平移1个单位，可得函数________的图像.

4. 若时，的值总是小于1，则实数的取值范围是________.

5. 若关于的方程有负根，则的取值范围为__________.

6. 若直线与函数（且）的图像有两个公共点，则实数的取值范围是________.

7. 若设、为实数，且，则的最小值是……………………………………………（     ）

A. 6 B. 8 C.  D.

8. 已知对任意的，不等式恒成立，求实数m的取值范围.

E组  综合训练2

【难度系数：★★★★   参考时间：30 min】

1. 设，若，满足，则__________.

2. 设（且，），若，则_________.

3. 函数与的图像关于……………………………………………………（      ）

A. 轴对称；   B. 轴对称；        C. 原点对称；      D. 直线对称.

4. 已知，，则函数的图像必定不经过……………………………………（      ）

A. 第一象限；   B. 第二象限；      C. 第三象限；         D. 第四象限

5. 设且，且函数在区间上的最大值为14，求的值.

6. 若关于的方程有实根，求的取值范围.

7. 设集合，且集合中恰有两个元素. 求的取值范围.

8. 设函数的最小值为，求实数的值.