【暑假提升】沪教版数学高一暑假-第14讲《二次函数及根的分布》同步讲学案

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第十四讲  二次函数及根的分布【教学目标】1. 掌握二次函数的性质与图像并能简单应用；2. 掌握二次函数的最值求法；3. 掌握二次函数对应方程的根的分布.  【应知应会】一、复习引入在初中阶段，我们已经学习过二次函数和（）的图像和部分性质，那么高中阶段我们又会重点研究二次函数的什么问题呢？ 二、知识梳理【难度系数：★★★   参考时间：20 min】（一）二次函数的定义形如（）的函数叫二次函数（quadratic functions）. 【注】（1）决定开口方向，开口大小：与图像“全等”；（2）影响对称轴（）【同左异右】和顶点坐标（，）；（3）决定与轴的交点. （二）二次函数的图象1. 画出、和的图像.            2. 画出和的图像.     （三）二次函数的性质  1. 定义域：      2. 值域：，；，3. 单调性：，在区间上严格减，在区间严格增；，在区间上严格增，在区间严格减4. 对称性：关于直线成轴对称图形5. 最值：，；，6. 与坐标轴交点：（1）与轴交点：（，）（2）与轴交点：，两个不同的交点；，一个交点；，没有交点 定义 对于函数，，如果存在实数，使得，我们就把叫做该函数的零点. 【零点不是点，是数】 （四）二次函数的最值求法核心是对函数对称轴与给定区间的相对位置关系的讨论. 一般分为：对称轴在区间的左边，中间，右边三种情况. 设，求在上的最大值与最小值. 分析：将配方，得对称轴方程（1）当时，抛物线开口向上 若，则必在顶点取得最小值，离对称轴较远端点处取得最大值； 若，此时函数在上具有单调性，在离对称轴较远端点处取得最大值，较近端点处取得最小值. （2）当时，同上. 综上，对二次函数的区间最值结合函数图像总结如下：  （1）当时，          （2）当时，          （五）韦达定理与根（零点）的分布1. 韦达定理：一元二次方程的两个根为，那么，. 【注意】解题过程中不能忽视对方程的判别式进行判断. 2. 二次函数对应方程根的分布（实根；）【两根异号】 一个图像等价条件（1）不同区间，只看端点     （2）同一区间，要看三点：（开口方向），对称轴，区间端点三、典型例题【难度系数：★★★   参考时间：30 min】例1. 求值域：（1），            （2），【答案】（1）；                               （2）例2. 设常数，则在区间的最大值为           . 【答案】【提示】对称轴严格减例3. 已知函数在区间上有最小值3，求的值. 【答案】或【提示】对称轴漂流记，对称轴，区间①“上游”：；②“中游”：无解；③“下游”：例4. 若和分别是一元二次方程的两根. （1）求的值；       （2）求的值；         （3）求的值. 【答案】（1）；（2）；（3）     【解析】同第五讲例7例5. 若方程的根满足下列条件，分别求出实数的取值范围. （1）方程两实根均为正数；                 （2）方程有一正根一负根. 【答案】（1）；                    （2）  【提示】两根异号例6. 若关于的方程的一个根大于1、另一根小于1，求实数的取值范围. 【答案】        【提示】不同区间，只看端点：A组  双基过关【难度系数：★★   参考时间：20 min】1. 函数在上的最大值为________，最小值为________. 【答案】5； 2. 已知函数，若是其零点，则实数k的值是________. 【答案】23. 函数的最大值是________；最小值是________. 【答案】3；0 4. 若方程在内恰有一解，则实数的取值范围是________. 【答案】 5. 若函数没有零点，则实数的取值范围是________. 【答案】6. 函数的零点个数是………………………………………………………………（       ）A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 不能确定【答案】C7. 函数的图像关于直线对称的充要条件是………………………………（      ）A.  B.  C.  D. 【答案】A8. 已知两根均在，求实数的取值范围. 【答案】【提示】同一区间，要看三点：△，对称轴，区间端点【解析】  B组  巩固提高【难度系数：★★★   参考时间：25 min】1. 函数的最大值是________，此时________. 【答案】1；2. 若函数，的最大值为M，最小值为N，则________. 【答案】83. 函数在上的最大值是           . 【答案】4. 已知函数在区间上是单调函数，则实数的取值范围是               . 【答案】5. 若函数在内有一个零点，则实数的取值范围是               . 【答案】        【提示】两大类，和【四小类，参考C组第4题第3问】6. 函数在定义域内有……………………………………………………………（     ）A. 最小值1  B. 最大值1C. 最小值5  D. 最大值5【答案】C7. 已知函数有两个不同的零点，且一个零点在区间内，另一个在区间，求实数的取值范围. 【答案】  【提示】不同区间，只看端点【解析】①时，；②时，综上，8. 已知函数. （1）若有三个零点，求实数的值；（2）若有零点，求实数的取值范围. 【解析】（1）由题意知，方程有三个不同的解，即函数和有三个不同的交点，数形结合得；（2）由题意知，函数和有交点，数形结合得. C组  拓展延伸【难度系数：★★★★   参考时间：30 min】1. 已知x满足，求函数的最大值及最小值. 【解析】由令，则  当即时，；当即时，2. 求函数，的最大值，并作出图像. 【答案】3. 已知函数，在区间上有最大值4，最小值1，设. （1）求、的值；   （2）不等式在上恒成立，求实数k的取值范围. 【解析】（1）①当时，在上是严格增函数，则  解得②当时，在上是严格减函数，则  解得（舍）     综上，，（2），可化为即，令，，则，，设，，，所以. 4. 已知二次函数. （1）若有一个零点大于2，另一个零点小于2，求m的取值范围；（2）若在区间和上各有一个零点，求m的取值范围；（3）若在区间上只有一个零点，求m的取值范围. 【解析】（1）由，得；     （2）由，得；（3）对称轴，①；②由，得；③由，得，或，；④由，得，或，. 综上，. D组  综合训练【难度系数：★★★    参考时间：25 min】1. 已知函数在区间(－∞，3)上是严格减函数，则的取值范围是            . 【答案】2. 若函数在区间上有最大值4，则________. 【答案】3. 若，是关于的方程的两个实根，求的最小值. 【答案】        【解析】由韦达定理得，，对称轴故当时，取最小值       【点评】此题容易忽视4. 求函数，的最大值与最小值. 【答案】①当时，，；②当时，，；③当时，，；④当时，，. 5. 已知为实数，试求函数的最小值. 【答案】   【提示】【注意】对称轴，对称轴，分段点【口诀】分段点“轴轴漂流记”，先画每个函数全部的图像，然后“取其一瓢饮”，进行图像“拼接”，特别注意，即两部分函数图像都经过这个点