【暑假提升】沪教版数学高一暑假-第10讲《幂、指数与对数》同步讲学案

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第十讲  幂、指数与对数【教学目标】1. 掌握有理数指数幂的定义和运算性质，掌握实数指数幂的定义和运算性质，并会简单证明；2. 经历由指数得到对数的过程，理解对数的概念；3. 能熟练利用初中学过的指数运算公式解决实际的计算问题，对数的运算公式熟练掌握；4. 熟练地进行对数式与指数式的互换，掌握对数的运算性质．一、应知应会【难度系数：★   参考时间：5 min】1. 根式（1）根式的概念若，则叫做的次方根，其中且. 式子叫做根式，叫做根指数，叫做被开方数. （2）的次方根2. 有理数指数幂幂的概念正分数指数幂负分数指数幂：0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂无意义有理数指数幂的性质 指数幂的运算指数幂的运算规律（1）有括号的先算括号里的，无括号的先算指数运算. （2）先乘除后加减，负指数幂化成正指数幂的倒数. （3）底数是负数，先确定符号，底数是小数，先化成分数，底数是带分数的，先化成假分数. （4）若是根式，应化为分数指数幂，尽可能用幂的形式表示，运用指数幂的运算性质来解答.  二、知识梳理【难度系数：★★   参考时间：15 min】（一）指数幂的拓展对任意给定的正数及实数，前述的指数幂的三个运算性质仍然成立，即有对任意给定的正数及实数，成立，，.  我们不加证明地给出定理  当，，恒成立. 此定理称为幂的基本不等式.  （二）对数1．对数的概念：一般地，如果，那么数叫做以为底的对数，记作：，其中叫做对数的底数，叫做真数. 【注意】①是否是所有的实数都有对数呢？负数和零没有对数，即.  ②底数的限制：且. 2．指数与对数的互化幂底数  ←→  对数底数指数   ←→   对数幂   ←→   真数 3．对数的形式①常用对数：以10为底的对数，简记为.  ②自然对数：以无理数=2. 71828…为底的对数，简记为.  ③一般对数：.  4．对数运算（1）基本性质① 0和负数没有对数，即；          ② 1的对数是0，即；③底数的对数等于1，即；        ④对数恒等式：. （2）运算法则如果，则①；          ②；③（）；        ④；             ⑤. 5．换底公式若，且，且，，则. 【两个常用推论】（1）            （2）（且） 三、典型例题【难度系数：★★★   参考时间：30 min】例1．用有理数指数幂的形式表示下列各式（其中，）：（1）；  （2）； 【答案】（1）；                          （2）； （3）； （4）. （3）AB；                                 （4）  例2．求下列各式中的值：（1）； （2）；    （3）；   （4）. 【答案】（1）；（2）；（3）；（4） 例3．求下列各式的值：（1）； （2）； （3）. 【答案】（1）由，得；（2）由，得；（3）. 例4．判断下列各式是否成立，如果成立，请给出证明；若不成立，请给出反例. （且；；）（1）；     （2）；（3）；    （4）. 【答案】（1）不成立，取，；   （2）不成立，取，；（3）不成立，取，；         （4）不成立，取，.  例5．求下列各式的值：（1）；  （2）；（3）；  （4）；（5）； （6）. 【答案】（1）（2）（3）（4）（5）（6）例6．已知，（且），用含有的代数式表示. 【答案】【提示】，设，，则例7．（1）设，试用含有的代数式表示；（2）设，，试用、表示；（3）设，，试用、表示. 【答案】（1）（2），（3），例8．设均为正实数，且，求的最大值. 【答案】1                              【解析】，，当且仅当即时取等【对数函数单调性（暂时超纲）】，故的最大值为1例9．已知方程的两个实根分别为、，求的值. 【答案】      【提示】设，则方程的两根为、，由韦达定理，得例10．设，求证：. 【提示】指数变对数+换底公式A组  双基过关【难度系数：★★   参考时间：20 min】1. 化简：________.  【答案】2. 设，则________.  【答案】3. 若，，则________.  【答案】774. 若，则________.   【答案】2若，则用含有的代数式表示________.  【答案】6. 设且，，若，则________.  【答案】7. 若，则的结果是……………………………………………………（  C  ）A．； B．；      C．1； D．.  8. 设，，则……………………………………………………………（  B  ）A．； B．；       C．；          D．. 9. 设、是方程的两个实根，则的值是………………………………（  A  ）A．2； B．3；       C．4； D．以上均不对.  10. 设，若，则………………………………………………………（  C  ）A．2；               B．1；               C．0；        D．. B组  巩固提高【难度系数：★★★   参考时间：20 min】1. 若，则的值是________. 【答案】4 2. 如果，那么________. 【答案】10     【提示】3. 若，且，则的值是________. 【答案】4. 方程的解为________. 【答案】0或1【提示】设5. 若正实数、、均不为1，满足，且，则的值为________. 【答案】16. 已知，. 用含有的代数式表示. 【答案】7. 设是方程的两根，求的值. 【答案】     【提示】韦达定理，，8. 已知关于x的不等式，当不等式解集为时，求实数的值．【答案】【提示】设2，3是方程的两个根C组  拓展延伸【难度系数：★★★★   参考时间：30 min】1. 若，则的值为………………………………………………（ B ）A.  B. 4 C. 1 D. 4或12. 若，，，且，，则等于………………（ D ）A.  B. C.  D. 3. 已知，求的值. 【答案】【解析】由，去分母可得，所以，所以. 4. 设实数，，求的最小值. 【答案】【提示】，，当且仅当，取等5. 已知、是方程的两个实根，求的值. 【答案】12【提示】设两根为和  D组  综合训练【难度系数：★★★    参考时间：30 min】1. 计算：_____. 【答案】 【提示】2. 若有意义，则的取值范围为……………………………………………………………（  D  ）A．； B．；      C．；         D．. 3. 设且，则……………………………………………………（  A  ）A．      B．        C．；   D．. 4. 设且，，若，则……………………………………………（  D  ）A．6； B．；       C．；           D．. 5. 设，. 用含有的代数式表示. 【答案】6. 已知的三边长分别是，且满足，. 判断的形状，并说明理由. 【答案】直角三角形【提示】，7. 已知，求下列各式的值：（1）；    （2）；    （3）. 【答案】（1）8；     （2）3；          （3）【解析】（1）原式（2），，（3），，