备战2024高考一轮复习数学（理） 课时验收评价（四十五） 空间几何体的结构特征及表面积与体积

这是一份备战2024高考一轮复习数学（理） 课时验收评价（四十五） 空间几何体的结构特征及表面积与体积，共6页。试卷主要包含了点全面广强基训练，重点难点培优训练等内容，欢迎下载使用。
课时验收评价（四十五）空间几何体的结构特征及表面积与体积一、点全面广强基训练1．将8个半径为1的实心铁球熔成一个大球，则这个大球的半径是(　 )A．8     B．2      C．2      D.解析：选C　8个半径为1的实心铁球的总体积为8×π×13＝π，设大球半径为R，则πR3＝π，解得R＝2.2．给出下列命题：①在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线；②有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥；③直角三角形绕其任一边所在直线旋转一周所形成的几何体都是圆锥；④棱台的上、下底面可以不相似，但侧棱长一定相等．其中正确命题的个数是(　 )A．0       B．1       C．2  D．3解析：选A　①不一定，只有这两点的连线平行于轴时才是母线；②不一定，因为“其余各面都是三角形”并不等价于“其余各面都是有一个公共顶点的三角形”，如图1所示；③不一定，当以斜边所在直线为旋转轴时，其余两边旋转形成的面所围成的几何体不是圆锥，如图2所示，它是由两个同底圆锥组成的几何体；④错误，棱台的上、下底面是相似且对应边平行的多边形，各侧棱延长线交于一点，但是侧棱长不一定相等．3．如图是某几何体的正视图和侧视图，则该几何体的俯视图不可能是(　 )解析：选A　根据正视图可知，正视图中间是一条实线，而A选项中的俯视图，其对应的正视图中间是虚线，所以俯视图不可能是A.4.如图，△A′B′C′是水平放置的△ABC的斜二测画法的直观图，其中O′C′＝O′A′＝2O′B′，则△ABC是(　 )A．钝角三角形B．等腰三角形，但不是直角三角形C．等腰直角三角形D．等边三角形解析：选C　将其还原成原图，如图所示，设A′C′＝2，则可得OB＝2O′B′＝1，AC＝A′C′＝2，从而AB＝BC＝，所以AB2＋BC2＝AC2，即AB⊥BC，故△ABC是等腰直角三角形．故选C.5.如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，三棱锥D1-AB1C的表面积与正方体的表面积的比为(　 )A．1∶1  　　 B．1∶C．1∶  　　 D．1∶2解析：选C　设正方体的边长为a，则表面积S1＝6a2，因为三棱锥D1-AB1C的各面均是正三角形，其边长为正方体的侧面对角线．又面对角线长为a，则三棱锥D1-AB1C的表面积S2＝4××(a)2×＝2a2，所以S2∶S1＝2a2∶6a2＝1∶.6．小明同学用两个全等的六边形木板和六根长度相同的木棍搭成一个直六棱柱ABCDEF-A1B1C1D1E1F1，由于木棍和木板之间没有固定好，第二天他发现这个直六棱柱变成了斜六棱柱ABCDEF-A′B′C′D′E′F，如图所示．设直棱柱的体积和侧面积分别为V1和S1，斜棱柱的体积和侧面积分别为V2和S2，则(　 )A.>  　 B.<C.＝  　 D.与的大小关系无法确定解析：选A　设底面面积为S，底面周长为C，则V1＝S·AA1，S1＝C·AA1，所以＝，设斜棱柱的高为h，则V2＝S·h，S2＝AB×hAB＋BC×hBC＋CD×hCD＋DE×hDE＋EF×hEF＋FA×hFA>(AB＋BC＋CD＋DE＋EF＋FA)×h＝Ch，所以<＝＝.7.(2022·浙江高考)某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的体积(单位：cm3)是(　 )A．22π  B．8π  C.π   D.π解析：选C　由三视图知，该几何体是由半球体、圆柱体、圆台组合而成的，其中半球的半径为1，圆柱的底面半径为1，高为2，圆台的上、下底面的半径分别为1和2，高为2，所以该几何体的体积为××π×13＋π×12×2＋π(12＋1×2＋22)×2＝π，故选C.8．某车间生产一种圆台形纸杯，其杯底直径为R，杯口直径为2R，高为h，将该纸杯装满水(水面与杯口齐平)，现将一直径为R的小铁球缓慢放入杯中，待小铁球完全沉入水中并静止后，从杯口溢出水的体积为纸杯容积的，则＝(　 )A.         B.      C.       D.解析：选B　由题意可得圆台形纸杯的体积为V＝π＋＋R2·h＝，小铁球的体积为π3＝，由题意可得×＝，即＝.9．斗笠，用竹篾夹油纸或竹叶粽丝等编织而成，是人们遮阳光和雨的工具．某斗笠的三视图如图所示(单位：cm)，若该斗笠水平放置，雨水垂直下落，则该斗笠被雨水打湿的面积为(　 )A．(800＋100)π  B．(900＋100)πC．1 100π  D．1 000π解析：选A　根据三视图可知，该几何体是由一个底面半径为10，高为20的圆锥和宽度为20的圆环组成的几何体，所以该斗笠被雨水打湿的面积为S＝π×302－π×102＋π××10＝(800＋100)π，故选A.10.如图是一块长、宽、高分别为6 cm、4 cm、3 cm的长方体木块，一只蚂蚁要从长方体木块的一个顶点A处，沿着长方体的表面到长方体上和A相对的顶点B处吃食物，那么它需要爬行的最短路径的长是(　 )A. cm  B. cmC．9 cm  D．(3＋2) cm解析：选B　第一种情况：把所看的前面和上面组成一个平面，如图所示，则这个长方形的长和宽分别为9和4，所以所走的路程最短线段为＝；第二种情况：把看到的左面与上面组成一个长方形，如图所示，则这个长方形的长和宽分别为7和6，所以所走的路程最短线段为＝； 第三种情况：把看到的前面与右面组成一个长方形，如图所示，则这个长方形的长和宽分别为10和3，所以所走的路程最短线段为＝.故选B.11．三棱柱ABC-A1B1C1中，若E，F分别为AB，AC的中点，平面EFC1B1将三棱柱分成体积为V1和V2两部分，那么V1∶V2的比值可以为(　 )A．3∶2     B．4∶3      C．5∶6     D．7∶5解析：选D　设△ABC的面积为S，三棱柱ABC-A1B1C1的高为h，则其体积为V＝Sh，根据题意可知几何体AEF-A1B1C1为三棱台，则可知底面面积分别为S，S，高为h，则其体积为V1＝h＝Sh，所以V2＝V－V1＝Sh－Sh＝Sh，则V1∶V2＝Sh∶Sh＝7∶5，故选D.12．一个六棱锥的体积为2，其底面是边长为2的正六边形，侧棱长都相等，则该六棱锥的侧面积为________．解析：由题意得，棱锥是正六棱锥，设棱锥的高为h，则×6××22×h＝2，所以h＝1，棱锥的斜高为＝＝2，该六棱锥的侧面积为6××2×2＝12.答案：1213．如图所示的几何体是由一个圆柱挖去一个以圆柱上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥而得到的组合体，现用一个竖直的平面去截这个组合体，则截面图形可能是________．解析：一个圆柱挖去一个圆锥后，剩下的几何体被一个竖直的平面所截后，圆柱的轮廓是矩形除去一条边，当截面经过圆柱上下底面的圆心时，圆锥的截面为三角形除去一条边，所以①正确；当截面不经过圆柱上下底面的圆心时，圆锥的截面为抛物线的一部分，所以⑤正确．答案：①⑤14.如图，在正四棱台ABCD-EFGH中，AB＝4，EF＝9，且四棱锥E-ABCD的体积为48，则该四棱台的体积为________．解析：由题意，设点E到平面ABCD的距离为h，由四边形ABCD面积为S＝(4)2＝48，得四棱锥E-ABCD的体积为48＝hS＝×48h，得h＝3.所以棱台体积为V＝h＝×3×(48＋＋243)＝399.答案：399二、重点难点培优训练1．已知一个直角三角形的两条直角边分别为2和2，以它的斜边所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周所围成的旋转体的表面积为(　 )A．(12＋4)π  B．(6＋2)πC．(4＋3)π  D．(3＋)π解析：选B　如图所示旋转体为两个圆锥拼接在一起的几何体，设直角三角形为△ABC，斜边为AC，过B作BD⊥AC，由题意知，AC＝＝4，BD＝＝，即圆锥底面圆的半径为，两个圆锥的母线长分别为2和2，故旋转体表面积为×2π××(2＋2)＝(2＋6)π.2．在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N分别为棱AB，C1D1的中点．平面α过B1，M两点，且BN∥α.设平面α截正方体所得截面面积为S，且将正方体分成两部分的体积比为V1∶V2，有如下结论：①S＝，②S＝，③V1∶V2＝1∶3，④V1∶V2＝7∶17，则下列结论正确的是(　 )A．①③     B．①④       C．②③        D．②④解析：选D　如图，取AD的中点H，连接HM，HD1，B1D1，MD1，BN，B1M，BD，可得BN∥MD1，则BN∥平面HMB1D1，故平面α即平面HMB1D1.由题意易知截面HMB1D1为等腰梯形，可得B1D1＝，MH＝，MB1＝HD1＝，高为＝，其面积S＝××＝.故①错误，②正确．另几何体AMH-A1B1D1为棱台，上底面积S△AMH＝，下底面积S△A1B1D1＝，高AA1＝1，故体积V1＝××1＝，另一部分体积V2＝1－＝，所以V1∶V2＝7∶17.故③错误，④正确．故选D.3.如图是一个由圆柱和圆锥组成的几何体，若圆锥的母线长为6，且圆锥的高是圆柱高的，则当该几何体的体积最大时，该几何体的高为(　 )A．2  B．6C．8  D．10解析：选D　设圆锥的高为x，则底面半径为，x∈(0,6)．所以，该几何体的体积为V(x)＝π(36－x2)x＋4π(36－x2)x＝π(36－x2)x，x∈(0,6)．所以V′(x)＝π(36－3x2)，令V′(x)＝0得x＝2，所以，当x∈(0,2)时，V′(x)>0，V(x)单调递增，当x∈(2，6)时，V′(x)<0，V(x)单调递减，所以当x＝2时，V(x)取得最大值V(2)＝π×24×2＝208π，此时，该几何体的高为5x＝10.