专题31 空间几何体的结构特征、表面积与体积6题型分类-备战2025年高考数学一轮专题复习全套考点突破和专题检测

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1．空间几何体的结构特征
(1)多面体的结构特征
(2)旋转体的结构特征
2.直观图
(1)画法：常用斜二测画法．
(2)规则：
①原图形中x轴、y轴、z轴两两垂直，直观图中x′轴、y′轴的夹角为45°或135°，z′轴与x′轴和y′轴所在平面垂直．
②原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍分别平行于坐标轴，平行于x轴和z轴的线段在直观图中保持原长度不变，平行于y轴的线段，长度在直观图中变为原来的一半．
3．圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式
4．柱、锥、台、球的表面积和体积
常用结论
1．与体积有关的几个结论
(1)一个组合体的体积等于它的各部分体积的和或差．
(2)底面面积及高都相等的两个同类几何体的体积相等(祖暅原理)．
2．直观图与原平面图形面积间的关系：S直观图＝eq \f(\r(2),4)S原图形，S原图形＝2eq \r(2)S直观图．
一、单选题
1．（2024高三下·安徽·阶段练习）已知几何体，“有两个面平行，其余各面都是平行四边形”是“几何体为棱柱”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
2．（2024高三·全国·对口高考）设有三个命题；甲：底面是平行四边形的四棱柱是平行六面体；乙：底面是矩形的平行六面体是长方体；丙：直四棱柱是平行六面体．以上命题中真命题的个数为（ ）
A．0个B．1个C．2个D．3个
3．（2024高二上·安徽合肥·阶段练习）如图所示，观察四个几何体，其中判断正确的是（ ）
A． 是棱台B． 是圆台
C． 不是棱柱D． 是棱锥
4．（2024·西藏拉萨·一模）位于徐州园博园中心位置的国际馆（一云落雨），使用现代科技雾化“造云”，打造温室客厅，如图，这个国际馆中3个展馆的顶部均采用正四棱锥这种经典几何形式，表达了理性主义与浪漫主义的对立与统一.其中最大的是3号展馆，其顶部所对应的正四棱锥底面边长为19.2m，高为9m，则该正四棱锥的侧面面积与底面面积之比约为（ ）（参考数据：）
A．2B．1.71C．1.37D．1
5．（2024高三下·湖南长沙·阶段练习）为了给热爱朗读的师生提供一个安静独立的环境，某学校修建了若干“朗读亭”.如图所示，该朗读亭的外形是一个正六棱柱和正六棱锥的组合体，正六棱柱两条相对侧棱所在的轴截面为正方形，若正六棱锥的高与底面边长的比为，则正六棱锥与正六棱柱的侧面积的比值为（ ）
A．B．C．D．
6．（2024·甘肃张掖·模拟预测）仿钧玫瑰紫釉盘是收藏于北京故宫博物院的一件明代宣德年间产的瓷器．该盘盘口微撇，弧腹，圈足．足底切削整齐．通体施玫瑰紫釉，釉面棕眼密集，美不胜收．仿钧玫瑰紫釉盘的形状可近似看成是圆台和圆柱的组合体，其口径为15.5cm，足径为9.2cm，顶部到底部的高为4.1cm，底部圆柱高为0.7cm，则该仿钧玫瑰紫釉盘圆台部分的侧面积约为（ ）（参考数据：π的值取3，）

A．B．C．D．
7．（2024·广东梅州·三模）在马致远的《汉宫秋》楔子中写道：“毡帐秋风迷宿草，穹庐夜月听悲笳.”毡帐是古代北方游牧民族以为居室、毡制帷幔.如图所示，某毡帐可视作一个圆锥与圆柱的组合体，圆锥的高为4，侧面积为，圆柱的侧面积为，则该毡帐的体积为（ ）

A．B．C．D．
8．（2024高三上·广东河源·开学考试）最早的测雨器记载见于南宋数学家秦九韶所著的《数书九章》（1247年）.该书第二章为“天时类”，收录了有关降水量计算的四个例子，分别是“天池测雨”、“圆罂测雨”、“峻积验雪”和“竹器验雪”.如图“竹器验雪”法是下雪时用一个圆台形的器皿收集雪量（平地降雪厚度器皿中积雪体积除以器皿口面积），已知数据如图（注意：单位），则平地降雪厚度的近似值为（ ）

A．B．C．D．
9．（2024高一下·陕西宝鸡·期末）盲盒是一种深受大众喜爱的玩具，某盲盒生产厂商要为棱长为的正四面体魔方设计一款正方体的包装盒，需要保证该魔方可以在包装盒内任意转动，则包装盒的棱长最短为（ ）
A．B．C．D．
10．（2024高二下·安徽·阶段练习）我们知道立体图形上的最短路径问题通常是把立体图形展开成平面图形，连接两点，根据两点之间线段最短确定最短路线.请根据此方法求函数的最小值（ ）
A．B．C．D．
11．（2024·全国）已知圆锥PO的底面半径为，O为底面圆心，PA，PB为圆锥的母线，，若的面积等于，则该圆锥的体积为（ ）
A．B．C．D．
12．（2024·全国）南水北调工程缓解了北方一些地区水资源短缺问题，其中一部分水蓄入某水库.已知该水库水位为海拔时，相应水面的面积为；水位为海拔时，相应水面的面积为，将该水库在这两个水位间的形状看作一个棱台，则该水库水位从海拔上升到时，增加的水量约为（）（ ）
A．B．C．D．
13．（2024高一·全国·课后作业）若一个正方体的体对角线长为a，则这个正方体的全面积为（ ）
A．B．C．D．
14．（2004·重庆）如图，棱长为5的正方体无论从哪一个面看，都有两个直通的边长为1的正方形孔，则这个有孔正方体的表面积（含孔内各面）是（ ）
A．258B．234C．222D．210
15．（2024高一下·贵州黔西·期末）端午节吃粽子是中华民族的传统习俗.地区不同，制作的粽子形状也不同，黔西南州最出名的就是鲜肉的灰色粽子，其形状接近于正三棱锥（如图）.若正三棱锥的底面边长为2，高为1，则该三棱锥的侧面积为（ ）

A．B．C．D．
16．（2024·河南·模拟预测）在正四棱锥中，，若正四棱锥的体积是8，则该四棱锥的侧面积是（ ）
A．B．C．4D．
17．（2024高三上·辽宁·期末）已知四棱台的上、下底面分别是边长为和的正方形，侧面均为腰长为的等腰梯形，则该四棱台的表面积为（ ）
A．B．
C．D．
18．（2024高三上·广东·阶段练习）“李白斗酒诗百篇，长安市上酒家眠”，本诗句中的“斗”的本义是指盛酒的器具，后又作为计量粮食的工具，某数学兴趣小组利用相关材料制作了一个如图所示的正四棱台来模拟“斗”，用它研究“斗”的相关几何性质，已知该四棱台的上、下底的边长分别是2、4，高为1，则该四棱台的表面积为（ ）
A．B．32C．D．
19．（2024高三上·湖北·开学考试）已知正四棱台上底面边长为2，下底面边长4，高为3，则其表面积为（ ）
A．36B．
C．D．48
20．（2024高一下·全国·课后作业）已知一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，则这个圆柱的全面积与侧面积的比是（ ）
A．B．C．D．
21．（2024·广东湛江·二模）如图，将一个圆柱等分切割，再将其重新组合成一个与圆柱等底等高的几何体，越大，重新组合成的几何体就越接近一个“长方体”．若新几何体的表面积比原圆柱的表面积增加了10，则圆柱的侧面积为（ ）
A．B．C．D．
22．（2024·福建）以边长为的正方形的一边所在直线为旋转轴，将该正方形旋转一周所得圆柱的侧面积等于
A．B．C．D．
23．（2024高三上·全国·阶段练习）已知圆锥的底面半径为2，高为，则该圆锥的侧面积为（ ）
A．B．C．D．
24．（2024·四川成都·二模）若圆锥的表面积为，底面圆的半径为，则该圆锥的高为（ ）
A．B．C．D．
25．（2024高三上·河南·阶段练习）佛兰德现代艺术中心是比利时洛默尔市的地标性建筑，该建筑是一座全玻璃建筑，整体成圆锥形，它利用现代设计手法令空间与其展示的艺术品无缝交融，形成一个统一的整体，气势恢宏，美轮美英．佛兰德现代艺术中心的底面直径为，侧面积为，则该建筑的高为（ ）

A．B．C．D．
26．（2024高三上·河南·开学考试）圆台轴截面面积为，上下底面半径之比为，母线与底面所成角为，则圆台侧面积为（ ）
A．B．
C．D．
27．（2024高二上·江苏镇江·开学考试）已知圆台的上下底面半径分别为2和5，且母线与下底面所成为角的正切值为，则该圆台的表面积为（ ）
A．B．C．D．
28．（2024·甘肃兰州·模拟预测）攒尖是中国古建筑中屋顶的一种结构形式，常见的有圆形攒尖、三角攒尖、四角攒尖、六角攒尖等，多见于亭阁式建筑，兰州市著名景点三台阁的屋顶部分也是典型的攒尖结构．如图所示是某研究性学习小组制作的三台阁仿真模型的屋顶部分，它可以看作是不含下底面的正四棱台和正三棱柱的组合体，已知正四棱台上底、下底、侧棱的长度（单位：dm）分别为2，6，4，正三棱柱各棱长均相等，则该结构表面积为（ ）
A．B．C．D．
29．（2024高三上·黑龙江哈尔滨·期中）正三棱柱侧面的一条对角线长为2，且与底面成角，则此三棱柱的体积为（ ）
A．B．C．D．
30．（2008·四川）若三棱柱的一个侧面是边长为2的正方形，另外两个侧面都是有一个内角为的菱形，则该棱柱的体积等于
A．B．C．D．
31．（2024高三上·河南焦作·开学考试）把过棱锥的顶点且与底面垂直的直线称为棱锥的轴，过棱锥的轴的截面称为棱锥的轴截面．现有一个正三棱锥、一个正四棱锥、一个正六棱锥，它们的高相等，轴截面面积的最大值也相等，则此正三棱锥、正四棱锥、正六棱锥的体积之比为（ ）
A．B．
C．D．
32．（2024·广东深圳·二模）设表面积相等的正方体、正四面体和球的体积分别为、和，则（ ）
A．B．C．D．
33．（2024·河南郑州·模拟预测）《九章算术·商功》：“斜解立方，得两堑堵，斜解堑堵，其一为阳马，其一为鳖臑”.意思是一个长方体沿对角面斜解（图1），得到一模一样的两个堑堵（图2），再沿一个堑堵的一个顶点和相对的棱斜解（图2），得一个四棱锥称为阳马（图3），一个三棱锥称为鳖臑（图4）.若长方体的体积为，由该长方体斜解所得到的堑堵、阳马和鳖臑的体积分别为，，，则下列等式错误的是（ ）

A．B．
C．D．
34．（2024高三下·浙江杭州·阶段练习）已知矩形中，，，是的中点，沿直线将△翻折成△，则三棱锥的体积的最大值为（ ）
A．B．C．D．
35．（2024·全国）正四棱台的上､下底面的边长分别为2，4，侧棱长为2，则其体积为（ ）
A．B．C．D．
36．（2024高一下·江苏连云港·阶段练习）在《九章算术商功》中将正四面形棱台体棱台的上、下底面均为正方形称为方亭．在方亭中，，四个侧面均为全等的等腰梯形且面积之和为，则该方亭的体积为（ ）
A．B．C．D．
37．（2024高三上·山西运城·期中）已知一个正四棱台的上下底面边长为、，侧棱长为，则棱台的体积为（ ）
A．B．C．D．
38．（2024·河南·模拟预测）光岳楼，又称“余木楼”“鼓楼”“东昌楼”，位于山东省聊城市，在《中国名楼》站台票纪念册中，光岳楼与鹳雀楼、黄鹤楼、岳阳楼、太白楼、滕王阁、蓬莱阁、镇海楼、甲秀楼、大观楼共同组成中国十大名楼.其墩台为砖石砌成的正四棱台，如图所示，光岳楼的墩台上底面正方形的边长约为32m，下底面正方形的边长约为34.5m，高的4倍比上底面的边长长4m，则光岳楼墩台的体积约为（ ）

A．B．C．D．
39．（四川省仁寿第一中学校（北校区）2023-2024学年高三上学期9月月考文科数学试题）已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为（ ）
A．B．C．D．
40．（2024高三上·江苏苏州·开学考试）若某圆柱体的底面半径与某球体的半径相等，圆柱体与球体的体积之比和它们的表面积之比的比值相等，则该圆柱体的高与球体的半径的比值为（ ）
A．B．C．D．2
41．（2024·河南·模拟预测）圆锥的高为2，其侧面展开图的圆心角为，则该圆锥的体积为（ ）.
A．B．C．D．
42．（2024高三上·福建厦门·阶段练习）已知母线长为5的圆锥的侧面积为，则这个圆锥的体积为（ ）
A．B．C．D．
43．（2024高三下·河南开封·阶段练习）木桶作为一种容器，在我国使用的历史已经达到了几千年，其形状可视为一个圆台．若某圆台形木桶上、下底面的半径分别为，母线长为，木板厚度忽略不计，则该木桶的容积为（ ）
A．B．C．D．
44．（2024高三上·福建厦门·阶段练习）用一个平行于圆锥底面的平面截该圆锥得到一个圆台，若圆台上底面和下底面半径之比为，则该圆台与圆锥的体积之比为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
45．（2024·全国）如图，四边形为正方形，平面，，记三棱锥，，的体积分别为，则（ ）
A．B．
C．D．
46．（2024·福建·模拟预测）等腰梯形的上下底边之比为，若绕该梯形的对称轴旋转一周所得几何体的表面积为，则该梯形的周长可能为（ ）
A．B．8C．D．16
47．（2024·河南·模拟预测）如图，正三棱柱的底面边长为1，高为3，为棱的中点，分别在棱上，且满足取得最小值．记四棱锥、三棱锥的体积分别为，则（ ）

A．B．C．D．
48．（2024高三上·湖南·阶段练习）若某正方体的棱长为，则（ ）
A．该正方体的体积为5B．该正方体的内切球的体积为
C．该正方体的表面积为30D．该正方体的外接球的表面积为
三、填空题
49．（2024·辽宁锦州·模拟预测）已知用斜二测画法画梯形OABC的直观图如图所示，，，，轴，，为的三等分点，则四边形OABC绕y轴旋转一周形成的空间几何体的体积为 ．

50．（2024高三·全国·对口高考）若正用斜二测画法画出的水平放置图形的直观图为，当的面积为时，的面积为 ．
51．（2024高三下·上海宝山·开学考试）我们知道一条线段在“斜二测”画法中它的长度可能会发生变化的，现直角坐标系平面上一条长为4cm线段AB按“斜二测”画法在水平放置的平面上画出为，则最短长度为 cm（结果用精确值表示）
52．（2024高三·全国·阶段练习）如图，梯形ABCD是水平放置的一个平面图形的直观图，其中，，，则原图形的面积为 ．
53．（2024高三上·上海普陀·期中）2022年4月16日，神舟十三号载人飞船返回舱在东风着陆场预定区域成果着陆．如图，在返回过程中使用的主降落伞外表面积达到1200平方米，若主降落伞完全展开后可以近似看着一个半球，则完全展开后伞口的直径约为 米（精确到整数）
54．（2024高一下·四川成都·阶段练习）已知圆锥的底面半径为1，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的体积为 ．
55．（2024·安徽·模拟预测）如图，在三棱锥P-ABC的平面展开图中，，，，，，则三棱锥外接球表面积为 ．
56．（2024·安徽马鞍山·模拟预测）已知三棱锥P－ABC的底面ABC为等边三角形．如图，在三棱锥P－ABC的平面展开图中，P，F，E三点共线，B，C，E三点共线，，，则PB＝ ．
57．（2024高三上·山西大同·阶段练习）如图，在三棱锥的平面展开图中，，，，，，则三棱锥的外接球的表面积为 ．

58．（2024高三·河北·专题练习）如图，正方体的棱长为，点为的中点，在对角面上取一点，使最小，其最小值为
59．（2024高三上·四川成都·开学考试）如图一个正六棱柱的茶叶盒，底面边长为，高为，则这个茶叶盒的表面积为 .
60．（2024高二上·上海黄浦·阶段练习）若长方体的对角线的长为，其长、宽、高的和是，则长方体的全面积是 ．
61．（2024·全国·模拟预测）正四棱锥P-ABCD的各条棱长均为2，则该四棱锥的表面积为 ．
62．（2024高三·全国·专题练习）一个正三棱台的上、下底面边长分别是3 cm和6 cm，高是cm．则三棱台的斜高为 ；三棱台的侧面积为 ；表面积为 ．
63．（2024高三·全国·专题练习）若矩形的周长为36，矩形绕它的一条边旋转形成一个圆柱，求圆柱侧面积的最大值为 ．
64．（2024高二上·北京海淀·期中）若一个圆锥的轴截面是等边三角形，其面积为，则这个圆锥的侧面积是 ．
65．（2024高三上·全国·专题练习）某地球仪上北纬纬线的长度为，该地球仪的半径是 cm，
表面积是 cm2．
66．（2024·全国）已知圆和圆是球的大圆和小圆，其公共弦长等于球的半径，，且圆与圆所在的平面所成的一个二面角为则球的表面积等于 .
67．（2009年普通高等学校招生全国统一考试理科数学（全国卷Ⅱ））设OA是球O的半径,M是OA的中点,过M且与OA成角的平面截球O的表面得到圆C．若圆C的面积等于,则球O的表面积等于
68．（2024·全国）用平面截半径为的球，如果球心到截面的距离为，那么截得小圆的面积与球的表面积的比值为 ．
69．（2024高三上·广东广州·阶段练习）陀螺是中国民间较早的娱乐工具之一，也称陀罗，图l是一种木陀螺，可近似地看作是一个圆锥和一个圆柱的组合体，其直观图如图2所示，其中A是圆锥的顶点，B，C分别是圆柱的上､下底面圆的圆心，且，，底面圆的半径为1，则该陀螺的表面积是 .

70．（2024高三·全国·专题练习）如图，八面体的每一个面都是正三角形，并且4个顶点A，B，C，D在同一个平面内．如果四边形ABCD是边长为30 cm的正方形，那么这个八面体的表面积是 .

71．（2024高三上·天津北辰·阶段练习）已知一个圆柱的高是底面半径的2倍，且其上、下底面的圆周均在球面上，若球的体积为，则圆柱的体积为 ．
72．（2024高三上·云南昆明·阶段练习）已知某圆锥的侧面展开图是一个半径为的半圆､则该圆锥的体积为 .
73．（2024·浙江嘉兴·模拟预测）已知圆锥的底面半径为1，侧面积为，则此圆锥的体积是 ．
74．（2024高三上·广东广州·阶段练习）已知圆锥的底面半径为2，侧面展开图是一个圆心角为120°的扇形.把该圆锥截成圆台，已知圆台的下底面与该圆锥的底面重合，圆台的上底面半径为1，则圆台的体积为 .
名称
棱柱
棱锥
棱台
图形
底面
互相平行且全等
多边形
互相平行且相似
侧棱
平行且相等
相交于一点但不一定相等
延长线交于一点
侧面形状
平行四边形
三角形
梯形
名称
圆柱
圆锥
圆台
球
图形
母线
互相平行且相等，垂直于底面
相交于一点
延长线交于一点
轴截面
矩形
等腰三角形
等腰梯形
圆
侧面展开图
矩形
扇形
扇环
圆柱
圆锥
圆台
侧面展开图
侧面积公式
S圆柱侧＝2πrl
S圆锥侧＝πrl
S圆台侧＝π(r1＋r2)l
名称
几何体
表面积
体积
柱体
S表＝S侧＋2S底
V＝Sh
锥体
S表＝S侧＋S底
V＝eq \f(1,3)Sh
台体
S表＝S侧＋S上＋S下
V＝eq \f(1,3)(S上＋S下＋eq \r(S上S下))h
球
S表＝4πR2
V＝eq \f(4,3)πR3
（一）
1.空间几何体结构特征的判断技巧
(1)说明一个命题是错误的，只要举出一个反例即可．
(2)在斜二测画法中，平行于x轴的线段平行性不变，长度不变；平行于y轴的线段平行性不变，长度减半．
(3)在解决空间折线(段)最短问题时一般考虑其展开图，采用化曲为直的策略，将空间问题平面化．
2.多面体表面展开图可以有不同的形状，应多实践，观察并大胆想象立体图形与表面展开图的关系，一定先观察立体图形的每一个面的形状．
3.最大路径问题：大胆展开，把问题变为平面两点间线段最短问题．
题型1：基本立体图形结构特征
1-1．（2024·新疆·模拟预测）下列命题中正确的是（ ）
A．有两个平面平行，其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱.
B．各个面都是三角形的几何体是三棱锥.
C．夹在圆柱的两个平行截面间的几何体还是一个旋转体.
D．圆锥的顶点与底面圆周上任意一点的连线都是母线.
1-2．（2024高一·全国·课后作业）下列命题：
①有两个面平行，其他各面都是平行四边形的几何体叫做棱柱；
②有两侧面与底面垂直的棱柱是直棱柱；
③过斜棱柱的侧棱作棱柱的截面，所得图形不可能是矩形；
④所有侧面都是全等的矩形的四棱柱一定是正四棱柱．
其中正确命题的个数为（ ）
A．0B．1C．2D．3
1-3．（2024高一下·山西吕梁·期末）下列说法正确的是（ ）
A．三角形的直观图是三角形B．直四棱柱是长方体
C．平行六面体不是棱柱 D．两个平面平行，其余各面是梯形的多面体是棱台
1-4．（2024高三·全国·专题练习）给出下列命题：
①在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线；
②直角三角形绕其任一边所在直线旋转一周所形成的几何体都是圆锥；
③棱台的上、下底面可以不相似，但侧棱长一定相等.
其中正确命题的个数是（ ）
A．B．C．D．
题型2：直观图
2-1．（2024高一下·浙江宁波·期中）用斜二测画法画出的某平面图形的直观图如图所示，边与平行于轴.已知四边形的面积为，则原平面图形的面积为 .
2-2．（2024高一下·上海奉贤·期末）如图，是用斜二测画法得到的△AOB的直观图，其中则AB的长度为 ．
2-3．（2024高一上·山东济宁·阶段练习）有一块多边形的菜地，它的水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形（如图所示）.，则这块菜地的面积为
2-4．（2024高二上·宁夏石嘴山·阶段练习）如图，用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图为一个正方形，则原来图形的面积是 ．
题型3：展开图
3-1．（2024·山东青岛·三模）已知圆锥的底面半径为1，侧面展开图为半圆，则该圆锥内半径最大的球的表面积为 ．
3-2．（2024高二下·云南红河·阶段练习）如图，在直三棱柱的侧面展开图中，B，C是线段AD的三等分点，且．若该三棱柱的外接球O的表面积为12π，则 ．
3-3．（2024·安徽黄山·一模）如图，在四棱锥P-ABCD的平面展开图中，正方形ABCD的边长为4，是以AD为斜边的等腰直角三角形，，则该四棱锥外接球被平面PBC所截的圆面的面积为 .
题型4：最短路径问题
4-1．（2024高三·全国·专题练习）如图，一竖立在地面上的圆锥形物体的母线长为4，一只小虫从圆锥的底面圆上的点P出发，绕圆锥爬行一周后回到点P处，若该小虫爬行的最短路程为，则这个圆锥的体积为（ ）.

A．B．C．D．
4-2．（2024高一下·河南开封·期中）如图，已知正四棱锥的侧棱长为，侧面等腰三角形的顶角为，则从A点出发环绕侧面一周后回到A点的最短路程为（ ）

A．B．C．D．6
4-3．（2024·辽宁·三模）盲盒是一种深受大众喜爱的玩具，某盲盒生产厂商要为棱长为的正四面体魔方设计一款正方体的包装盒，需要保证该魔方可以在包装盒内任意转动，则包装盒的棱长最短为（ ）
A．B．C．D．
4-4．（2024高一下·湖北武汉·期中）如图，一个矩形边长为1和4，绕它的长为的边旋转二周后所得如图的一开口容器（下表面密封），是中点，现有一只妈蚁位于外壁处，内壁处有一米粒，若这只蚂蚁要先爬到上口边沿再爬到点处取得米粒，则它所需经过的最短路程为（ ）
A．B．C．D．
4-5．（2024高一·全国·课后作业）如图所示，在正三棱柱中，，，由顶点沿棱柱侧面(经过棱)到达顶点，与的交点记为，则从点经点到的最短路线长为（ ）
A．B．C．4D．
（二）
基本立体图形的表面积的体积
1.（1）多面体的表面积是各个面的面积之和．
（2）旋转体的表面积是将其展开后，展开图的面积与底面面积之和．
（3）组合体的表面积求解时注意对衔接部分的处理．
2.空间几何体的体积的常用方法
公式法
规则几何体的体积，直接利用公式
割补法
把不规则的几何体分割成规则的几何体，或者把不规则的几何体补成规则的几何体
等体积法
通过选择合适的底面来求几何体体积的一种方法，特别是三棱锥的体积
题型5：基本立体图形的表面积
5-1．（2024·湖北武汉·模拟预测）已知某圆锥的母线长、底面圆的直径都等于球的半径，则球与圆锥的表面积之比为（ ）
A．8B．C．D．
5-2．（2024·河南郑州·模拟预测）在一个正六棱柱中挖去一个圆柱后，剩余部分几何体如图所示．已知正六棱柱的底面正六边形边长为3cm，高为4cm，内孔半径为1cm，则此几何体的表面积是（ ）．

A．B．
C．D．
5-3．（2024·安徽安庆·三模）陀螺起源于我国，最早出土的石制陀螺是在山西夏县发现的新石器时代遗址.如图所示的是一个陀螺立体结构图.已知，底面圆的直径，圆柱体部分的高，圆锥体部分的高，则这个陀螺的表面积（单位：）是（ ）

A．B．
C．D．
5-4．（2024·河北·模拟预测）《九章算术》是我国古代的数学名著.其“商功”中记载：“正四面形棱台（即正四棱台）建筑物为方亭.”现有如图所示的烽火台，其主体部分为一方亭，将它的主体部分抽象成的正四棱台（如图所示），其中上底面与下底面的面积之比为，方亭的高为棱台上底面边长的倍.已知方亭的体积为，则该方亭的表面积约为（ ）（，，）
A．B．C．D．
5-5．（2024高三下·海南海口·期中）如图是一个圆台形的水杯，圆台的母线长为12，上､下底面的半径分别为4和2.为了防烫和防滑，该水杯配有一个皮革杯套，包裹住水杯高度以下的外壁和杯底，水杯和杯套的厚度忽略不计，则此杯套使用的皮革的面积为（ ）

A．B．C．D．
题型6：基本立体图形的体积
6-1．（2024高三上·重庆沙坪坝·阶段练习）若某圆锥的侧面展开图是一个半径为2的半圆面，其内接正四棱柱的高为，则此正四棱柱的体积是（ ）
A．B．C．D．
6-2．（2024高三上·山东青岛·期中）已知正四棱锥的各顶点都在同一个球面上，球的体积为，则该正四棱锥的体积最大值为（ ）
A．18B．C．D．27
6-3．（2024高三上·湖北武汉·开学考试）攒尖是我国古代建筑中屋顶的一种结构形式，宋代称为最尖，清代称攒尖，通常有圆形攒尖､三角攒尖､四角攒尖､八角攒尖，也有单檐和重檐之分，多见于亭阁式建筑､园林建筑.下面以四角攒尖为例，如图，它的屋顶部分的轮廓可近似看作一个正四棱锥.已知正四棱锥的底面边长为米，侧棱长为5米，则其体积为（ ）立方米.

A．B．24C．D．72
6-4．（2024·浙江·模拟预测）如图是我国古代量粮食的器具“升”，其形状是正四棱台，上、下底面边长分别为20cm和10cm，侧棱长为cm．“升”装满后用手指或筷子沿升口刮平，这叫“平升”．则该“升”的“平升”约可装（ ）

A．1.5LB．1.7LC．2.3LD．2.7L
6-5．（2024高三上·广西·阶段练习）在棱长为2的正方体内，放入一个以为铀线的圆柱，且圆柱的底面所在平面截正方体所得的截面为三角形，则该圆柱体积的最大值为 ．