备战2024高考一轮复习数学（理） 课时验收评价（五十六） 直线与圆、圆与圆的位置关系

这是一份备战2024高考一轮复习数学（理） 课时验收评价（五十六） 直线与圆、圆与圆的位置关系，共5页。试卷主要包含了点全面广强基训练，重点难点培优训练等内容，欢迎下载使用。
课时验收评价（五十六） 直线与圆、圆与圆的位置关系一、点全面广强基训练1．圆x2＋y2－2x＋4y＝0与直线2tx－y－2－2t＝0(t∈R)的位置关系为(　 )A．相离　　　　　　　 B．相切C．相交  D．以上都有可能解析：选C　直线2tx－y－2－2t＝0恒过点(1，－2)，∵12＋(－2)2－2×1＋4×(－2)＝－5＜0，∴点(1，－2)在圆x2＋y2－2x＋4y＝0内部，直线2tx－y－2－2t＝0与圆x2＋y2－2x＋4y＝0相交．2．过点(3,1)作圆(x－1)2＋y2＝r2的切线有且只有一条，则该切线的方程为(　 )A．2x＋y－5＝0  B．2x＋y－7＝0C．x－2y－5＝0  D．x－2y－7＝0解析：选B　由题意，过点(3,1)作圆(x－1)2＋y2＝r2的切线有且只有一条，则点(3,1)在圆上，代入可得r2＝5，圆的方程为(x－1)2＋y2＝5，则过点(3,1)的切线方程为(x－1)·(3－1)＋y(1－0)＝5，即2x＋y－7＝0.3．已知过原点的直线l与圆C：x2＋y2－6x＋5＝0相交于不同的两点A，B，且线段AB的中点坐标为D(2，)，则弦长AB为(　 )A．2  B．3C．4  D．5解析：选A　将圆C：x2＋y2－6x＋5＝0，整理，得其标准方程为(x－3)2＋y2＝4，∴圆C的圆心坐标为(3,0)，半径为2.∵线段AB的中点坐标为D(2，)，∴|CD|＝＝，∴|AB|＝2＝2.故选A.4．已知圆O：x2＋y2＝4上到直线l：x＋y＝a的距离等于1的点至少有2个，则a的取值范围为(　 )A．(－3，3)B．(－∞，－3)∪(3，＋∞)C．(－2，2)D．(－∞，－2)∪(2，＋∞)解析：选A　由圆的方程可知圆心为(0,0)，半径为2.因为圆上到直线l：x＋y＝a的距离等于1的点至少有2个，所以圆心到直线l的距离d＜r＋1＝3，即d＝＜3，解得－3＜a＜3.5．在平面直角坐标系内，过点P(0,3)的直线与圆心为C的圆x2＋y2－2x－3＝0相交于A，B两点，则△ABC面积的最大值是(　 )A．2  B．4C.  D．2解析：选A　过点P(0,3)的直线与圆心为C的圆x2＋y2－2x－3＝0相交于A，B两点，①当直线的斜率不存在时，直线的方程为x＝0，在y轴上所截得的线段长为d＝2×＝2，所以S△ABC＝×2×1＝.②当直线的斜率存在时．设圆心到直线的距离为d，则所截得的弦长l＝2.所以S△ABC＝×2×d＝×≤＝2，当且仅当d＝时成立．所以△ABC面积的最大值为2.6．(2021·天津高考)若斜率为的直线与y轴交于点A，与圆x2＋(y－1)2＝1相切于点B，则|AB|＝____________.解析：设直线AB的方程为y＝x＋b，则点A(0，b)，由于直线AB与圆x2＋(y－1)2＝1相切，且圆心为C(0,1)，半径为1，则＝1，解得b＝－1或b＝3，所以|AC|＝2，因为|BC|＝1，故|AB|＝＝.答案：7．若直线l：y＝kx＋1被圆C：x2＋y2－2x－3＝0截得的弦最短，则直线l的方程是______________．解析：依题意，直线l：y＝kx＋1过定点P(0,1)．圆C：x2＋y2－2x－3＝0化为标准方程为(x－1)2＋y2＝4.故圆心为C(1,0)，半径为r＝2.则易知定点P(0,1)在圆内．由圆的性质可知当PC⊥l时，直线l：y＝kx＋1被圆C：x2＋y2－2x－3＝0截得的弦最短．因为kPC＝＝－1，所以直线l的斜率k＝1，即直线l的方程是x－y＋1＝0.答案：x－y＋1＝08．若A为圆C1：x2＋y2＝1上的动点，B为圆C2：(x－3)2＋(y＋4)2＝4上的动点，则线段AB长度的最大值是________．解析：圆C1：x2＋y2＝1的圆心为C1(0,0)，半径r1＝1，圆C2：(x－3)2＋(y＋4)2＝4的圆心为C2(3，－4)，半径r2＝2，所以|C1C2|＝5.又A为圆C1上的动点，B为圆C2上的动点，所以线段AB长度的最大值是|C1C2|＋r1＋r2＝5＋1＋2＝8.答案：89．已知圆C：x2＋y2－8y＋12＝0，直线l：ax＋y＋2a＝0.(1)当a为何值时，直线l与圆C相切？(2)当直线l与圆C相交于A，B两点，且|AB|＝2时，求直线l的方程．解：(1)根据题意，圆C：x2＋y2－8y＋12＝0可化为x2＋(y－4)2＝4，其圆心为(0,4)，半径r＝2.若直线l与圆C相切，则有＝2，解得a＝－.(2)设圆心C到直线l的距离为d，则2＋d2＝r2，即2＋d2＝4，解得d＝.又d＝＝，解得a＝－1或－7，则直线l的方程为x－y＋2＝0或7x－y＋14＝0.10．已知圆O：x2＋y2＝2，直线l：y＝kx－2.(1)若直线l与圆O相切，求k的值；(2)若直线l与圆O交于不同的两点A，B，当∠AOB为锐角时，求k的取值范围；(3)若k＝，P是直线l上的动点，过P作圆O的两条切线PC，PD，切点为C，D，探究：直线CD是否过定点．解：(1)∵直线l与圆O相切，∴圆心O(0,0)到直线l的距离等于半径r＝，即d＝＝，解得k＝±1.(2)∵直线l与圆C相交，∴d＝＜，解得k＞1或k＜－1.又θ＝∠AOB为锐角，∴cos＞，即＞，解得－＜k＜.综上，k的取值范围为(－，－1)∪(1，)．(3)由题意知O，P，C，D四点共圆且在以OP为直径的圆上．设P，以OP为直径的圆的方程为x(x－t)＋y＝0，即x2－tx＋y2－y＝0，又C，D在圆O：x2＋y2＝2上，两圆的方程作差得lCD：tx＋y－2＝0，即t－2y－2＝0，由得∴直线CD过定点. 二、重点难点培优训练1．设P为直线3x－4y＋4＝0上的动点，PA，PB为圆C：(x－2)2＋y2＝1的两条切线，A，B为切点，则四边形APBC面积的最小值为(　 )A.  B．2C.  D．2解析：选A　如图，连接AC，BC，PC.易知圆C的圆心坐标为(2,0)，|AC|＝|BC|＝r＝1，CA⊥PA，CB⊥PB.设P(x0，y0)，则3x0－4y0＋4＝0，所以y0＝x0＋1.由勾股定理知|AP|＝＝，所以S四边形APBC＝2SRt△ACP＝|AC||AP|＝|AP|＝＝ ，当x0＝时，所求面积最小为× ＝.　2．已知直线l：mx＋y＋3m－＝0与圆x2＋y2＝12交于A，B两点，过A，B分别作l的垂线，与x轴交于C，D两点，若|AB|＝2，则m＝________，|CD|＝________.解析：设圆心到直线l的距离为d，则2＋d2＝r2⇒3＋d2＝12⇒d＝3，∴＝3，化简得m＋1＝0，解得m＝－.可得直线l的方程为y＝x＋2，其倾斜角为30°.如图所示，作CE⊥BD于E，则CE∥AB，∴∠ECD＝30°，又知在Rt△CDE中，CE＝2，∴|CD|＝＝＝4.答案：－　43．(2022·新高考Ⅱ卷)设点A(－2,3)，B(0，a)，若直线AB关于y＝a对称的直线与圆(x＋3)2＋(y＋2)2＝1有公共点，则a的取值范围是________．解析：由题意知点A(－2,3)关于直线y＝a的对称点为A′(－2,2a－3)，所以kA′B＝，所以直线A′B的方程为y＝x＋a，即(3－a)x－2y＋2a＝0.由题意知直线A′B与圆(x＋3)2＋(y＋2)2＝1有公共点，易知圆心为(－3，－2)，半径为1，所以≤1，整理得6a2－11a＋3≤0，解得≤a≤，所以实数a的取值范围是.答案：4．已知圆C：x2＋(y－a)2＝4，点A(1,0)．(1)当过点A的圆C的切线存在时，求实数a的取值范围；(2)设AM，AN为圆C的两条切线，M，N为切点，当|MN|＝时，求MN所在直线的方程．解：(1)过点A的切线存在，即点A在圆外或圆上，∴1＋a2≥4，∴a≥或a≤－.(2)设MN与AC交于点D，O为坐标原点．∵|MN|＝，∴|DM|＝.又|MC|＝2，∴|CD|＝ ＝，∴cos∠MCA＝＝，|AC|＝＝＝，∴|OC|＝2，|AM|＝1，∴MN是以点A为圆心，1为半径的圆A与圆C的公共弦，圆A的方程为(x－1)2＋y2＝1，圆C的方程为x2＋(y－2)2＝4或x2＋(y＋2)2＝4，∴MN所在直线的方程为(x－1)2＋y2－1－x2－(y－2)2＋4＝0，即x－2y＝0或(x－1)2＋y2－1－x2－(y＋2)2＋4＝0，即x＋2y＝0，因此MN所在直线的方程为x－2y＝0或x＋2y＝0.