2023年广东省中考数学第一轮复习卷：4方程及其解法

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2023年广东省中考数学第一轮复习卷：4方程及其解法
一．选择题（共12小题）
1．（2022•深圳）张三经营了一家草场，草场里面种植有上等草和下等草．他卖五捆上等草的根数减去11根，就等于七捆下等草的根数；卖七捆上等草的根数减去25根，就等于五捆下等草的根数．设上等草一捆为x根，下等草一捆为y根，则下列方程正确的是（　　）
A．5y−11=7x7y−25=5x B．5x+11=7y7x+25=5y
C．5x−11=7y7x−25=5y D．7x−11=5y5x−25=7y
2．（2022•澄海区模拟）文具店销售某种书袋，每个12元，王老师计划去购买这种书袋若干个．结账时店员说：“如果你再多买一个就可以打九折，总价钱会便宜24元”．王老师说：“那就多买一个吧，谢谢！”根据两人的对话可求得王老师原计划要购买书袋（　　）个．
A．28 B．29 C．30 D．31
3．（2022•增城区二模）《九章算术》中有“盈不足术”的问题，原文如下：“今有共买羊，人出五，不足四十五；人出七，不足三．问人数、羊价各几何？”题意是：若干人共同出资买羊，每人出5元，则差45元；每人出7元，则差3元，求人数和羊价各是多少？设买羊人数为x人，根据题意可列方程为（　　）
A．5x+3＝7x+45 B．5x+45＝7x+3 C．5x+3＝7x﹣45 D．5x﹣45＝7x+3
4．（2022•南山区模拟）一种商品每件成本为80元，原来按成本增加30%定出价格．现由于库存积压，按原价的85%出售，则每件商品的盈亏情况为（　　）
A．盈利8.4元 B．盈利9.2元 C．亏损8.4元 D．亏损9.2元
5．（2022•南山区模拟）若关于y的方程ay﹣2＝6+y与方程y+4＝2的解相同，则a的值为（　　）
A．﹣3 B．3 C．﹣4 D．4
6．（2022•台山市校级一模）方程组x+y=1x+y2−x−y3=−12的解为（　　）
A．x=1y=−2 B．x=2y=−1 C．x=−1y=2 D．x=3y=−2
7．（2022•东莞市校级二模）我国古代《孙子算经》中有道题，原文是：“今有三人共车，二车空；二人共车，九人步．问人与车各几何？”意思是：现有一些人坐车，如果每车坐三个人，则还剩余二辆车没有人坐；如果每车坐二人，则有9人需要步行，问共有多少人？几辆车？设共有x人，y辆车，则下列符合题意的方程组是（　　）
A．y=12(x−9)13x=y−2 B．13x=y+2y=12(x+9)−2
C．x=13x+y−2y=12(x+9) D．x=12(y−2)y=13(x−9)
8．（2022•惠阳区校级二模）若二元一次方程组的解为x=2y=1，则这个方程组不可能是（　　）
A．x+y=3x−y=1 B．2y=x2x−3y=1
C．4x+5y=133x−4y+2=4 D．x+2y=42x−y=0
9．（2022•福田区校级模拟）“绿水青山就是金山银山”，某地准备购买一些松树和柏树绿化荒山，已知购买2棵松树和3棵柏树需要120元，购买2棵松树比1棵柏树多20元，设每棵松树x元，每棵柏树y元，则列出的方程组正确的是（　　）
A．2x+3y=1202x−y=20 B．2x+3y=1202x+y=20
C．2x+3y=1202y−x=20 D．3x+2y=120x+2y=20
10．（2022•新兴县校级模拟）已知x1，x2是方程x2+x﹣3＝0的两个实数根，则x12﹣x2+2022的值为（　　）
A．2026 B．2025 C．2024 D．2023
11．（2022•湛江模拟）用配方法解一元二次方程x2﹣6x﹣10＝0时，下列变形正确的为（　　）
A．（x+3）2＝1 B．（x﹣3）2＝1 C．（x﹣3）2＝19 D．（x+3）2＝19
12．（2022•惠城区二模）若关于x的一元二次方程ax2﹣4x+2＝0有两个实数根，则a的取值范围是（　　）
A．a≤2 B．a＜2 C．a≤2且a≠0 D．a＜2且a≠0
二．填空题（共11小题）
13．（2022•深圳）已知一元二次方程x2+6x+m＝0有两个相等的实数根，则m的值为 　 　．
14．（2022•广东）若x＝1是方程x2﹣2x+a＝0的根，则a＝　 　．
15．（2022•梅州模拟）已知某快递公司的收费标准为：首重10元/千克，续重6元/千克，即：寄一件物品，不超过1千克，收费10元；超过1千克的部分，每千克加收6元．小明在该快递公司寄一件4千克的物品，需要付费 　 　元．
16．（2022•白云区二模）方程x+12=2−x4的解是 　 　．
17．（2022•南海区一模）若﹣3＜a≤3，则关于x的方程x+a＝2的解的取值范围是 　 　．
18．（2022•海珠区校级二模）中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一段记载：“三百七十八里关，初日健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关．”其大意是：
有人要去某关口，路程为378里，第一天健步行走，从第二天起，由于脚痛，每天走的路程都为前一天的一半，一共走了6天才到达目的地．若设此人第一天走的路程为x里，依题意可列方程为　 　．

19．（2022•五华县校级一模）已知关于x的方程3x﹣2k＝2的解是x＝k﹣2，则k的值是　 　．
20．（2022•潮安区模拟）如果实数x，y满足方程组2x+y=1x−y=2，则x+y＝　 　．
21．（2022•黄埔区二模）解方程组：x+2y=03x+4y=6的解为 　 　．
22．（2022•东莞市校级一模）若x+y=33x−5y=5是二元一次方程组x=ay=b的解，则a﹣b＝　 　．
23．（2022•南海区校级一模）方程组2x+y=3x−y=1的解为 　 　．
三．解答题（共11小题）
24．（2022•广东）《九章算术》是我国古代的数学专著，几名学生要凑钱购买1本．若每人出8元，则多了3元；若每人出7元，则少了4元．问学生人数和该书单价各是多少？
25．（2022•广州）已知T＝（a+3b）2+（2a+3b）（2a﹣3b）+a2．
（1）化简T；
（2）若关于x的方程x2+2ax﹣ab+1＝0有两个相等的实数根，求T的值．
26．（2022•中山市二模）有一些相同的房间需要粉刷墙面，一名二级技工粉刷6个房间，5天正好完成，一名一级技工3天粉刷了4个房间还多刷了另外的10m2墙面，每名一级技工比二级技工一天多粉刷10m2墙面．
（1）求每个房间需要粉刷的墙面面积；
（2）若甲乙两名技工各自需粉刷7个房间的墙面，甲比乙每天少粉刷20m2，乙比甲少用2天完成任务，求甲、乙两名技工每天各粉刷墙面面积．
27．（2022•东莞市校级二模）某超市有线上和线下两种销售方式，与2021年3月份相比，该超市2022年3月份销售总额增长10%，其中线上销售额增长43%，线下销售额增长4%．
（1）设2021年3月份的销售总额为a万元，线上销售额为x万元，请用含a，x的代数式表示2022年3月份的线下销售额（直接在表格中填写结果）；
时间
销售总额（万元）
线上销售额（万元）
线下销售额（万元）
2021年3月份
a
x
a﹣x
2022年3月份
1.1a
1.43x
　 　
（2）如果超市在2021年3月份的销售总额为260万元，求超市在2021年3月份的线上销售额．
28．（2022•罗湖区模拟）商场有甲、乙两种商品，卖出一件甲商品比卖出一件乙商品多赚40元，卖出甲商品20件比卖出乙商品30件少赚2000元．
（1）求甲、乙两种商品各卖出一件能赚多少钱；
（2）甲、乙两种商品共卖出100件，卖出乙商品数量不少于甲商品的四倍，求甲、乙两种商品总利润的最大值．
29．（2022•东莞市校级二模）某运输公司有A、B两种货车，4辆A货车与2辆B货车一次可以运货110吨，6辆A货车与4辆B货车一次可以运货180吨．
（1）请问1辆A货车和1辆B货车一次可以分别运货多少吨？
（2）目前有190吨货物需要运输该运输公司计划安排A、B两种货车将全部货物一次运完（A、B两种货车均满载），其中每辆A货车一次运货花费600元，每辆B货车一次运货花费500元．请你列出所有的运输方案，并指出哪种运输方案费用最少．
30．（2022•白云区二模）团体购买某博物馆门票票价如表所示：
今有甲、乙两个旅行团共105人，已知甲旅行团人数少于50人，乙旅行团人数不超过100人．若分别购票，两旅行团共计应付门票费5110元．
购票人数m（单位：人）
1≤m≤50
51≤m≤100
m≥101
每人门票（单位：元）
50元
48元
45元
（1）甲、乙两个旅行团各有多少人？
（2）如果乙旅行团有a人因有其他活动不能参加该公园的游玩，已知10≤a≤20．那么，应该如何购票，才能使两旅行团共计应付的门票费最少？
31．（2022•南海区校级模拟）某设备公司经营销售某种特种机器，已知机器2015年每台进货价是20万元．
（1）由于生产商成本上涨，预计机器到2017年的进货价变为28.8万元/台．
①求平均每年价格上涨的百分率是多少？
②预计明年（2016年）机器每台进价比今年价格多了多少万元？
（2）调查发现：销售单价是30万元时，年销售量是240台，而销售单价每上涨1万元，年销售量就减少10台，每台机器上涨多少万元时，年销售利润恰为2640万元？
32．（2022•香洲区校级三模）某口罩厂生产的口罩1月份平均日产量为10000个，1月底市场对口罩需求量大增，为满足市场需求，工厂决定从2月份起扩大产量，3月份平均日产量达到14400个．求口罩日产量的月平均增长率．
33．（2022•濠江区一模）已知|a+b−22|与c−2互为相反数，且a，b为一元二次方程x2+mx+c＝0的两个实数根．
（1）求c、m的值；
（2）试判断以a、b、c为三边的三角形的形状，并说明理由．
34．（2022•福田区校级模拟）小明在学习函数的过程中遇到这样一个函数：y＝[x]，若x≥0时，[x]＝x2﹣1；若x＜0时，[x]＝﹣x﹣1．小明根据学习函数的经验，对该函数进行了探究．
（1）①列表：下表列出y与x的几组对应值，请写出m，n的值m＝　 　；n＝　 　；
x
…
﹣2
﹣1
0
1
2
…
y
…
1
m
0
0
n
…
②描点：在平面直角坐标系中，以①给出的自变量x的取值为横坐标，以相应的函数值为纵坐标，描出相应的点并连线，作出函数图象；
（2）下列关于该函数图象的性质正确的是 　 　；（填序号）
①y随x的增大而增大；
②该函数图象关于y轴对称；
③当x＝0时，函数有最小值为﹣1；
④该函数图象不经过第三象限．
（3）若函数值y＝8，则x＝　 　；
（4）若关于x的方程2x+c＝[x]有两个不相等的实数根，请结合函数图象，直接写出c的取值范围是 　 　．


2023年广东省中考数学第一轮复习卷：4方程及其解法
参考答案与试题解析
一．选择题（共12小题）
1．（2022•深圳）张三经营了一家草场，草场里面种植有上等草和下等草．他卖五捆上等草的根数减去11根，就等于七捆下等草的根数；卖七捆上等草的根数减去25根，就等于五捆下等草的根数．设上等草一捆为x根，下等草一捆为y根，则下列方程正确的是（　　）
A．5y−11=7x7y−25=5x B．5x+11=7y7x+25=5y
C．5x−11=7y7x−25=5y D．7x−11=5y5x−25=7y
【解答】解：设上等草一捆为x根，下等草一捆为y根，
根据题意可列方程组为：5x−11=7y7x−25=5y．
故选：C．
2．（2022•澄海区模拟）文具店销售某种书袋，每个12元，王老师计划去购买这种书袋若干个．结账时店员说：“如果你再多买一个就可以打九折，总价钱会便宜24元”．王老师说：“那就多买一个吧，谢谢！”根据两人的对话可求得王老师原计划要购买书袋（　　）个．
A．28 B．29 C．30 D．31
【解答】解：设原计划购买书袋x个，
由题意可得：12x﹣24＝12×0.9（x+1），
解得x＝29，
即原计划购买书袋29个，
故选：B．
3．（2022•增城区二模）《九章算术》中有“盈不足术”的问题，原文如下：“今有共买羊，人出五，不足四十五；人出七，不足三．问人数、羊价各几何？”题意是：若干人共同出资买羊，每人出5元，则差45元；每人出7元，则差3元，求人数和羊价各是多少？设买羊人数为x人，根据题意可列方程为（　　）
A．5x+3＝7x+45 B．5x+45＝7x+3 C．5x+3＝7x﹣45 D．5x﹣45＝7x+3
【解答】解：设买羊人数为x人，
则根据题意可列方程为5x+45＝7x+3．
故选：B．
4．（2022•南山区模拟）一种商品每件成本为80元，原来按成本增加30%定出价格．现由于库存积压，按原价的85%出售，则每件商品的盈亏情况为（　　）
A．盈利8.4元 B．盈利9.2元 C．亏损8.4元 D．亏损9.2元
【解答】解：设该商品每件盈利x元，则由题意得80×（1+30%）×85%＝80+x，
88.4＝80+x，
x＝8.4．
故选：A．
5．（2022•南山区模拟）若关于y的方程ay﹣2＝6+y与方程y+4＝2的解相同，则a的值为（　　）
A．﹣3 B．3 C．﹣4 D．4
【解答】解：∵y+4＝2，
∴y＝﹣2，
∵方程ay﹣2＝6+y与方程y+4＝2的解相同，
∴y＝﹣2方程ay﹣2＝6+y的解，
∴﹣2a﹣2＝6﹣2，
∴a＝﹣3，
故选：A．
6．（2022•台山市校级一模）方程组x+y=1x+y2−x−y3=−12的解为（　　）
A．x=1y=−2 B．x=2y=−1 C．x=−1y=2 D．x=3y=−2
【解答】解：x+y=1x+y2−x−y3=−12，
整理得：x+y=1①x+5y=−3②，
②﹣①得：4y＝﹣4，
解得y＝﹣1，
把y＝﹣1代入①得：x﹣1＝1，
解得x＝2，
故原方程组的解是：x=2y=−1．
故选：B．
7．（2022•东莞市校级二模）我国古代《孙子算经》中有道题，原文是：“今有三人共车，二车空；二人共车，九人步．问人与车各几何？”意思是：现有一些人坐车，如果每车坐三个人，则还剩余二辆车没有人坐；如果每车坐二人，则有9人需要步行，问共有多少人？几辆车？设共有x人，y辆车，则下列符合题意的方程组是（　　）
A．y=12(x−9)13x=y−2 B．13x=y+2y=12(x+9)−2
C．x=13x+y−2y=12(x+9) D．x=12(y−2)y=13(x−9)
【解答】解：依题意得：y=12(x−9)13x=y−2．
故选：A．
8．（2022•惠阳区校级二模）若二元一次方程组的解为x=2y=1，则这个方程组不可能是（　　）
A．x+y=3x−y=1 B．2y=x2x−3y=1
C．4x+5y=133x−4y+2=4 D．x+2y=42x−y=0
【解答】解：A、x＝2，y＝1是方程组中每一个方程的解，故该选项不合题意；
B、x＝2，y＝1是方程组中每一个方程的解，故该选项不合题意．
C、x＝2，y＝1是方程组中每一个方程的解，故该选项不合题意；
D、x＝2，y＝1不是方程2x﹣y＝0的解，故本选项符合题意；
故选：D．
9．（2022•福田区校级模拟）“绿水青山就是金山银山”，某地准备购买一些松树和柏树绿化荒山，已知购买2棵松树和3棵柏树需要120元，购买2棵松树比1棵柏树多20元，设每棵松树x元，每棵柏树y元，则列出的方程组正确的是（　　）
A．2x+3y=1202x−y=20 B．2x+3y=1202x+y=20
C．2x+3y=1202y−x=20 D．3x+2y=120x+2y=20
【解答】解：设每棵松树x元，每棵柏树y元，
根据题意得：2x+3y=1202x−y=20．
故选：A．
10．（2022•新兴县校级模拟）已知x1，x2是方程x2+x﹣3＝0的两个实数根，则x12﹣x2+2022的值为（　　）
A．2026 B．2025 C．2024 D．2023
【解答】解：根据根与系数的关系得x12+x1﹣3＝0，x1+x2＝﹣1，
∴x12=3﹣x1，
∴x12﹣x2+2022
＝3﹣x1﹣x2+2022
＝3﹣（x1+x2）+2022
＝3﹣（﹣1）+2022
＝2026．
故选：A．
11．（2022•湛江模拟）用配方法解一元二次方程x2﹣6x﹣10＝0时，下列变形正确的为（　　）
A．（x+3）2＝1 B．（x﹣3）2＝1 C．（x﹣3）2＝19 D．（x+3）2＝19
【解答】解：∵x2﹣6x﹣10＝0，
∴x2﹣6x＝10，
∴x2﹣6x+9＝19，
∴（x﹣3）2＝19，
故选：C．
12．（2022•惠城区二模）若关于x的一元二次方程ax2﹣4x+2＝0有两个实数根，则a的取值范围是（　　）
A．a≤2 B．a＜2 C．a≤2且a≠0 D．a＜2且a≠0
【解答】解：根据题意得a≠0且Δ＝（﹣4）2﹣4a×2≥0，
解得a≤2且a≠0．
故选：C．
二．填空题（共11小题）
13．（2022•深圳）已知一元二次方程x2+6x+m＝0有两个相等的实数根，则m的值为 　9　．
【解答】解：根据题意得Δ＝62﹣4m＝0，
解得m＝9．
故答案为：9．
14．（2022•广东）若x＝1是方程x2﹣2x+a＝0的根，则a＝　1　．
【解答】解：把x＝1代入方程x2﹣2x+a＝0中，
得1﹣2+a＝0，
解得a＝1．
故答案为：1．
15．（2022•梅州模拟）已知某快递公司的收费标准为：首重10元/千克，续重6元/千克，即：寄一件物品，不超过1千克，收费10元；超过1千克的部分，每千克加收6元．小明在该快递公司寄一件4千克的物品，需要付费 　28　元．
【解答】解：根据题意得：10+6×（4﹣1）＝10+6×3＝10+18＝28（元），
则需要付费28元．
故答案为：28．
16．（2022•白云区二模）方程x+12=2−x4的解是 　x＝0　．
【解答】解：x+12=2−x4，
去分母，得2（x+1）＝2﹣x，
去括号，得2x+2＝2﹣x，
移项，得2x+x＝2﹣2，
合并同类项，得3x＝0，
系数化为1，得x＝0．
故答案为：x＝0．
17．（2022•南海区一模）若﹣3＜a≤3，则关于x的方程x+a＝2的解的取值范围是 　﹣1≤x＜5　．
【解答】解：x+a＝2，
x＝﹣a+2，
∵﹣3＜a≤3，
∴﹣3≤﹣a＜3，
∴﹣1≤﹣a+2＜5，
∴﹣1≤x＜5，
故答案为：﹣1≤x＜5．
18．（2022•海珠区校级二模）中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一段记载：“三百七十八里关，初日健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关．”其大意是：
有人要去某关口，路程为378里，第一天健步行走，从第二天起，由于脚痛，每天走的路程都为前一天的一半，一共走了6天才到达目的地．若设此人第一天走的路程为x里，依题意可列方程为　x+x2+x4+x8+x16+x32=378　．

【解答】解：设此人第一天走的路程为x里，
根据题意得：x+x2+x4+x8+x16+x32=378．
故答案为：x+x2+x4+x8+x16+x32=378．
19．（2022•五华县校级一模）已知关于x的方程3x﹣2k＝2的解是x＝k﹣2，则k的值是　8　．
【解答】解：把x＝k﹣2代入方程得：3（k﹣2）﹣2k＝2，
去括号得：3k﹣6﹣2k＝2，
解得：k＝8，
故答案为：8
20．（2022•潮安区模拟）如果实数x，y满足方程组2x+y=1x−y=2，则x+y＝　0　．
【解答】解：2x+y=1①x−y=2②，
①+②得，3x＝3，
解得x＝1，
将x＝1代入②得，1﹣y＝2，
解得y＝﹣1，
∴x+y＝1+（﹣1）＝0，
故答案为：0．
21．（2022•黄埔区二模）解方程组：x+2y=03x+4y=6的解为 　x=6y=−3　．
【解答】解：x+2y=0①3x+4y=6②，
①×3﹣②，得2y＝﹣6，
解得y＝﹣3，
将y＝﹣3代入①，得x﹣6＝0，
解得x＝6，
∴方程组的解为：x=6y=−3，
故答案为：x=6y=−3．
22．（2022•东莞市校级一模）若x+y=33x−5y=5是二元一次方程组x=ay=b的解，则a﹣b＝　2　．
【解答】解：由题意得a+b=33a−5b=5，
两式相加得4a﹣4b＝8，
所以，a﹣b＝2，
故答案为：2．
23．（2022•南海区校级一模）方程组2x+y=3x−y=1的解为 　x=43y=13　．
【解答】解：2x+y=3①x−y=1②，
①+②，得3x＝4，
解得：x=43，
把x=43代入②，得43−y＝1，
解得：y=13，
所以原方程组的解是x=43y=13，
故答案为：x=43y=13．
三．解答题（共11小题）
24．（2022•广东）《九章算术》是我国古代的数学专著，几名学生要凑钱购买1本．若每人出8元，则多了3元；若每人出7元，则少了4元．问学生人数和该书单价各是多少？
【解答】解：设学生有x人，该书单价y元，
根据题意得：8x−y=3y−7x=4，
解得：x=7y=53．
答：学生有7人，该书单价53元．
25．（2022•广州）已知T＝（a+3b）2+（2a+3b）（2a﹣3b）+a2．
（1）化简T；
（2）若关于x的方程x2+2ax﹣ab+1＝0有两个相等的实数根，求T的值．
【解答】解：（1）T＝（a+3b）2+（2a+3b）（2a﹣3b）+a2
＝a2+6ab+9b2+4a2﹣9b2+a2
＝6a2+6ab；
（2）∵关于x的方程x2+2ax﹣ab+1＝0有两个相等的实数根，
∴Δ＝（2a）2﹣4（﹣ab+1）＝0，
∴a2+ab＝1，
∴T＝6×1＝6．
26．（2022•中山市二模）有一些相同的房间需要粉刷墙面，一名二级技工粉刷6个房间，5天正好完成，一名一级技工3天粉刷了4个房间还多刷了另外的10m2墙面，每名一级技工比二级技工一天多粉刷10m2墙面．
（1）求每个房间需要粉刷的墙面面积；
（2）若甲乙两名技工各自需粉刷7个房间的墙面，甲比乙每天少粉刷20m2，乙比甲少用2天完成任务，求甲、乙两名技工每天各粉刷墙面面积．
【解答】解：（1）设每个房间需要粉刷的墙面面积为xm2，
依题意得：4x+103−6x5=10，
解得：x＝50．
答：每个房间需要粉刷的墙面面积为50m2．
（2）设甲技工每天粉刷墙面ym2，则乙技工每天粉刷墙面（y+20）m2，
依题意得：50×7y−50×7y+20=2，
整理得：y2+20y﹣3500＝0，
解得：y1＝50，y2＝﹣70，
经检验，y1＝50，y2＝﹣70均为原方程的解，y2＝﹣70不符合题意，舍去，
∴y+20＝50+20＝70．
答：甲技工每天粉刷墙面50m2，乙技工每天粉刷墙面70m2．
27．（2022•东莞市校级二模）某超市有线上和线下两种销售方式，与2021年3月份相比，该超市2022年3月份销售总额增长10%，其中线上销售额增长43%，线下销售额增长4%．
（1）设2021年3月份的销售总额为a万元，线上销售额为x万元，请用含a，x的代数式表示2022年3月份的线下销售额（直接在表格中填写结果）；
时间
销售总额（万元）
线上销售额（万元）
线下销售额（万元）
2021年3月份
a
x
a﹣x
2022年3月份
1.1a
1.43x
　1.04（a﹣x）　
（2）如果超市在2021年3月份的销售总额为260万元，求超市在2021年3月份的线上销售额．
【解答】解：（1）∵该超市2022年3月份线下销售额增长4%，且该超市2021年3月份线下销售额为（a﹣x）万元，
∴该超市2022年3月份线下销售额为（1+4%）（a﹣x）＝1.04（a﹣x）（万元）．
故答案为：1.04（a﹣x）．
（2）依题意得：1.43x+1.04（260﹣x）＝1.1×260，
解得：x＝40．
答：超市在2021年3月份的线上销售额为40万元．
28．（2022•罗湖区模拟）商场有甲、乙两种商品，卖出一件甲商品比卖出一件乙商品多赚40元，卖出甲商品20件比卖出乙商品30件少赚2000元．
（1）求甲、乙两种商品各卖出一件能赚多少钱；
（2）甲、乙两种商品共卖出100件，卖出乙商品数量不少于甲商品的四倍，求甲、乙两种商品总利润的最大值．
【解答】解：（1）设卖出一件乙商品赚x元，则卖出一件甲商品赚（x+40）元，
依题意得：30x﹣20（x+40）＝2000，
解得：x＝280，
∴x+40＝280+40＝320．
答：卖出一件甲商品赚320元，卖出一件乙商品赚280元．
（2）设甲商品卖出m件，则乙商品卖出（100﹣m）件，
依题意得：100﹣m≥4m，
解得：m≤20．
设卖出甲、乙两种商品总利润为w元，则w＝320m+280（100﹣m）＝40m+28000．
∵40＞0，
∴w随m的增大而增大，
∴当m＝20时，w取得最大值，最大值＝40×20+28000＝28800．
答：甲、乙两种商品总利润的最大值为28800元．
29．（2022•东莞市校级二模）某运输公司有A、B两种货车，4辆A货车与2辆B货车一次可以运货110吨，6辆A货车与4辆B货车一次可以运货180吨．
（1）请问1辆A货车和1辆B货车一次可以分别运货多少吨？
（2）目前有190吨货物需要运输该运输公司计划安排A、B两种货车将全部货物一次运完（A、B两种货车均满载），其中每辆A货车一次运货花费600元，每辆B货车一次运货花费500元．请你列出所有的运输方案，并指出哪种运输方案费用最少．
【解答】解：（1）设1辆A货车一次可以运货x吨，1辆B货车一次可以运货y吨，
依题意得：4x+2y=1106x+4y=180，
解得：x=20y=15．
∴1辆A货车一次可以运货20吨，1辆B货车一次可以运货15吨．
（2）设安排m辆A货车，n辆B货车，
依题意得：20m+15n＝190，
∴n=38−4m3．
又∵m，n均为正整数，
∴m=2n=10或m=5n=6或m=8n=2，
∴共有3种运输方案，
方案1：安排2辆A货车，10辆B货车；
方案2：安排5辆A货车，6辆B货车；
方案3：安排8辆A货车，2辆B货车．
选择方案1所需总运费为600×2+500×10＝6200（元）；
选择方案2所需总运费为600×5+500×6＝6000（元）；
选择方案3所需总运费为600×8+500×2＝5800（元）．
∵6200＞6000＞5800，
∴运输方案3费用最少．
答：（1）1辆A货车一次可以运货20吨，1辆B货车一次可以运货15吨；（2）共有3种运输方案，方案1：安排2辆A货车，10辆B货车；方案2：安排5辆A货车，6辆B货车；方案3：安排8辆A货车，2辆B货车，运输方案3费用最少．
30．（2022•白云区二模）团体购买某博物馆门票票价如表所示：
今有甲、乙两个旅行团共105人，已知甲旅行团人数少于50人，乙旅行团人数不超过100人．若分别购票，两旅行团共计应付门票费5110元．
购票人数m（单位：人）
1≤m≤50
51≤m≤100
m≥101
每人门票（单位：元）
50元
48元
45元
（1）甲、乙两个旅行团各有多少人？
（2）如果乙旅行团有a人因有其他活动不能参加该公园的游玩，已知10≤a≤20．那么，应该如何购票，才能使两旅行团共计应付的门票费最少？
【解答】解：（1）设甲旅行团人数为x，乙旅行团人数为y，
由题意得：x+y=10550x+48y=5110，
解得：x=35y=70，
答：甲旅行团35人，乙旅行团70人；
（2）由（1）得：甲旅行团35人，乙旅行团70人，如果乙旅行团减去a人（10≤a≤20），
则50≤乙旅行团≤60，
∴85≤总人数≤95，两团人数和在51～100之间，
合在一起作为一个团体购票，购小于100张的，两旅行团共计应付门票费大于等于：85×48＝4080（元），门票费小于等于：95×48＝4560（元），
合在一起作为一个团体购票，购101张的，两旅行团共计应付门票费：101×45＝4545（元）
当a＝10时，购买101张票；当10＜a≤20时，购买（105﹣a）张票；能使两旅行团共计应付的门票费最少．
31．（2022•南海区校级模拟）某设备公司经营销售某种特种机器，已知机器2015年每台进货价是20万元．
（1）由于生产商成本上涨，预计机器到2017年的进货价变为28.8万元/台．
①求平均每年价格上涨的百分率是多少？
②预计明年（2016年）机器每台进价比今年价格多了多少万元？
（2）调查发现：销售单价是30万元时，年销售量是240台，而销售单价每上涨1万元，年销售量就减少10台，每台机器上涨多少万元时，年销售利润恰为2640万元？
【解答】解：（1）①设平均每年价格上涨的百分率是x，
根据题意得：20（1+x）2＝28.8，
解得：x1＝0.2，x2＝﹣2.2（不符合题意，舍去）．
答：平均每年价格上涨的百分率是20%；
②20×20%＝4（万元）．
答：预计明年（2016年）机器每台进价比今年价格多了4万元；
（2）设每台机器上涨y万元，则每台的销售利润为（30+y﹣20）万元，年销售量是（240﹣10y）台，
根据题意得：（30+y﹣20）（240﹣10y）＝2640，
整理得：y2﹣14y+24＝0，
解得：y1＝2，y2＝12．
答：每台机器上涨2万元或12万元时，年销售利润恰为2640万元．
32．（2022•香洲区校级三模）某口罩厂生产的口罩1月份平均日产量为10000个，1月底市场对口罩需求量大增，为满足市场需求，工厂决定从2月份起扩大产量，3月份平均日产量达到14400个．求口罩日产量的月平均增长率．
【解答】解：设口罩日产量的月平均增长率为x，
依题意得：10000（1+x）2＝14400，
解得：x1＝0.2＝10%，x2＝﹣2.2（不合题意，舍去）．
答：口罩日产量的月平均增长率为20%．
33．（2022•濠江区一模）已知|a+b−22|与c−2互为相反数，且a，b为一元二次方程x2+mx+c＝0的两个实数根．
（1）求c、m的值；
（2）试判断以a、b、c为三边的三角形的形状，并说明理由．
【解答】解：（1）∵|a+b−22|与c−2互为相反数，
∴a+b−22=0c−2=0，
∴a+b＝22，c＝2，
∵a，b为一元二次方程x2+mx+c＝0的两个实数根，
∴a+b＝﹣m，
∴m＝﹣22；
（2）由（1）可知一元二次方程为x2﹣22x+2＝0，
∵Δ＝（﹣22）2﹣4×1×2＝0，
∴a＝b=2，
∵c＝2，
∴以a、b、c为三边的三角形是等腰直角三角形．
34．（2022•福田区校级模拟）小明在学习函数的过程中遇到这样一个函数：y＝[x]，若x≥0时，[x]＝x2﹣1；若x＜0时，[x]＝﹣x﹣1．小明根据学习函数的经验，对该函数进行了探究．
（1）①列表：下表列出y与x的几组对应值，请写出m，n的值m＝　0　；n＝　3　；
x
…
﹣2
﹣1
0
1
2
…
y
…
1
m
0
0
n
…
②描点：在平面直角坐标系中，以①给出的自变量x的取值为横坐标，以相应的函数值为纵坐标，描出相应的点并连线，作出函数图象；
（2）下列关于该函数图象的性质正确的是 　③　；（填序号）
①y随x的增大而增大；
②该函数图象关于y轴对称；
③当x＝0时，函数有最小值为﹣1；
④该函数图象不经过第三象限．
（3）若函数值y＝8，则x＝　3或﹣9　；
（4）若关于x的方程2x+c＝[x]有两个不相等的实数根，请结合函数图象，直接写出c的取值范围是 　c＞﹣2　．

【解答】解：（1）①m＝﹣（﹣1）﹣1＝0；n＝22﹣1＝3；
故答案为：0，3；
②描点，连线，作出函数图象如下：

（2）从图象可知：下列关于该函数图象的性质正确的是③；
故答案为：③；
（3）若x≥0时，x2﹣1＝8，
解得x＝3或x＝﹣3，
∴x＝3；
若x＜0时，﹣x﹣1＝8，
解得x＝﹣9，
故答案为：3或﹣9；
（4）由图象可知：关于x的方程2x+c＝[x]有两个不相等的实数根，则c＞﹣2，
故答案为：c＞﹣2．