2023年广东省中考数学第一轮复习卷：11圆

这是一份2023年广东省中考数学第一轮复习卷：11圆，共40页。
2023年广东省中考数学第一轮复习卷：11圆
一．选择题（共12小题）
1．（2022•深圳）下列说法错误的是（　　）
A．对角线垂直且互相平分的四边形是菱形
B．同圆或等圆中，同弧对应的圆周角相等
C．对角线相等的四边形是矩形
D．对角线垂直且相等的平行四边形是正方形
2．（2022•深圳）已知三角形ABE为直角三角形，∠ABE＝90°，BC为圆O切线，C为切点，CA＝CD，则△ABC和△CDE面积之比为（　　）

A．1：3 B．1：2 C．2：2 D．（2−1）：1
3．（2020•封开县一模）如图，四边形ABCD内接于⊙O，F是CD上一点，且DF=BC，连接CF并延长交AD的延长线于点E，连接AC，若∠ABC＝105°，∠BAC＝25°，则∠E的度数为（　　）

A．60° B．55° C．50° D．45°
4．（2022•台山市校级一模）如图，正方形的边长为2，则图中阴影部分的面积为（　　）

A．2−π2 B．1−π4 C．2−π4 D．π2−1
5．（2022•香洲区校级三模）如图，C为半圆内一点，O为圆心，直径AB长为2cm，∠BOC＝60°，∠BCO＝90°，将△BOC绕圆心O逆时针旋转至△B'OC'，点C'在OA上，则边BC扫过区域（图中阴影部分）的面积为（　　）

A．π3cm2 B．π4cm2
C．(π3−38)cm2 D．π6cm2
6．（2022•香洲区校级一模）如图，AB为△ADC的外接圆⊙O的直径，若∠BAD＝50°，则∠ACD的度数为（　　）

A．30° B．40° C．50° D．60°
7．（2022•云安区模拟）如图，矩形ABCD中，AB＝6，点E在AD边上，以E为圆心EA长为半径的⊙E与BC相切，交CD于点F，连接EF．若扇形EAF的面积为12π，则BC的长是（　　）

A．42 B．43 C．8 D．9
8．（2022•新兴县校级模拟）如图，用一个半径为10cm的定滑轮带动重物上升，滑轮上一点P旋转了36°，假设绳索（粗细不计）与滑轮之间没有滑动，则重物上升了（　　）

A．3π2cm B．2πcm C．5π2cm D．3πcm
9．（2022•蓬江区一模）同圆中，已知AB所对的圆心角是80°，则AB所对的圆周角度数（　　）
A．40° B．80° C．100° D．120°
10．（2022•濠江区一模）如图，点A的坐标为（4，3），AB⊥x轴于点B，点C为坐标平面内一点，OC＝2，点D为线段AC的中点，连接BD，则BD的最大值为（　　）

A．3 B．72 C．352 D．25
11．（2022•潮安区模拟）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝10．若以点C为圆心，CA长为半径的圆恰好经过AB的中点D，则⊙C的半径为（　　）

A．53 B．8 C．6 D．5
12．（2022•中山市三模）如图，AB是⊙O的直径，若AC＝2，∠D＝60°，则BC长等于（　　）

A．4 B．5 C．3 D．23
二．填空题（共8小题）
13．（2022•广州）如图，在△ABC中，AB＝AC，点O在边AC上，以O为圆心，4为半径的圆恰好过点C，且与边AB相切于点D，交BC于点E，则劣弧DE的长是 　 　．（结果保留π）

14．（2022•南海区校级模拟）如图，已知抛物线y=−316（x﹣1）（x﹣9）与x轴交于A，B两点，对称轴与抛物线交于点C，与x轴交于点D，⊙C的半径为2，G为⊙C上一动点，P为AG的中点，则DP的最小值为 　 　．

15．（2022•南海区校级四模）如图，在边长为4的正方形内部，以各边为直径画四个半圆，则图中阴影部分的面积是 　 　．

16．（2022•台山市校级一模）△ABC中，AB＝AC＝13，BC＝24，点D为△ABC的对称轴上一动点，过点D作⊙O与BC相切，BD与⊙O相交于点E，那么AE的最大值为 　 　．
17．（2022•韶关模拟）如图，已知⊙O的直径CD垂直于弦AB，垂足为点E，∠D＝22.5°，AB＝8，则半径OA的长为 　 　．

18．（2022•珠海校级三模）如图，在矩形ABCD中，AB＝5，AD＝4，以A为圆心，AD为半径作圆交AB于点E，F为DE的中点，过F作CD的平行线，交AD于点G，交BC于点H，则阴影部分的面积为 　 　．

19．（2022•蓬江区校级一模）矩形ABCD中，AB＝2，BC＝6，点P为矩形内一个动点．且满足∠PBC＝∠PCD，则线段PD的最小值为 　 　．
20．（2022•南海区校级模拟）如图，AB是⊙O的直径，C，D两点在⊙O上，若∠C＝40°，则∠ABD的度数为 　 　．

三．解答题（共10小题）
21．（2022•深圳）一个玻璃球体近似半圆O，AB为直径．半圆O上点C处有个吊灯EF，EF∥AB，CO⊥AB，EF的中点为D，OA＝4．
（1）如图①，CM为一条拉线，M在OB上，OM＝1.6，DF＝0.8，求CD的长度．
（2）如图②，一个玻璃镜与圆O相切，H为切点，M为OB上一点，MH为入射光线，NH为反射光线，∠OHM＝∠OHN＝45°，tan∠COH=34，求ON的长度．
（3）如图③，M是线段OB上的动点，MH为入射光线，∠HOM＝50°，HN为反射光线交圆O于点N，在M从O运动到B的过程中，求N点的运动路径长．

22．（2022•广东）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AC为⊙O的直径，∠ADB＝∠CDB．
（1）试判断△ABC的形状，并给出证明；
（2）若AB=2，AD＝1，求CD的长度．

23．（2022•南海区校级四模）如图，已知⊙O上依次有A、B、C、D四个点，AD=BC连接AB、AD、BD，弦AB不经过圆心O，延长AB到E，使BE＝AB，连接EC，F是EC的中点，连接BF．
（1）若⊙O的半径为3，∠DAB＝120°，求劣弧BD的长；
（2）求证：BF=12BD；
（3）设G是BD的中点，探索：在⊙O上是否存在点P（不同于点B），使得PG＝PF？并说明理由．

24．（2022•台山市校级一模）点E为正方形ABCD的边CD上一动点，直线AE与BD相交于点F，与BC的延长线相交于点G．
（1）如图①，若正方形的边长为2，设DE＝x，△DEG的面积为y，求y与x的函数关系；
（2）如图②，求证：CF是△ECG的外接圆的切线；
（3）如果把正方形ABCD换成是矩形或菱形，（2）的结论是否是否仍然成立？


25．（2022•珠海校级三模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AO是△ABC的角平分线．以O为圆心，OC为半径作⊙O．已知AO交⊙O于点E，延长AO交⊙O于D点，连接CD，且tan∠D=23．
（1）求证：AB是⊙O的切线；
（2）求AEAC的值．

26．（2022•新兴县校级模拟）如图，四边形ABCD内接于⊙O，BD是⊙O的直径，∠BDC=12∠ABD，过点C作AD的平行线交AB延长线于点E，连接AC．
（1）求证：CE是⊙O的切线；
（2）当tan∠BAC=12，DC＝6时，求BE的长．

27．（2022•茂南区一模）如图，AB为⊙O的切线，B为切点，过点B作BC⊥OA，垂足为点E，交⊙O于点C，延长CO与AB的延长线交于点D．
（1）求证：AC为⊙O的切线；
（2）若OC＝2，OD＝5，求线段AD的长．

28．（2022•东莞市校级一模）如图，⊙O经过A、B、C三点，且圆心O在▱ABCD的BC边上，AD的中点E也在⊙O上．
（1）求∠B的度数．
（2）连接BD，求sin∠ABD的值．

29．（2022•东莞市校级二模）如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，以AB为直径的⊙O交BC于点D，过点D作直线DE⊥AC于点E．
（1）求证，直线DE是⊙O的切线；
（2）尺规作图：过点B作直线DE的垂线，垂足为点F，（不写作法，保留作图痕迹）；
（3）若⊙O的半径为5，AD＝8，求BF的长．

30．（2022•濠江区一模）如图，在矩形ABCD中，点E是BC边上一点，且AD＝DE，以AB为半径作⊙A，交AD边于点F，连接EF．
（1）求证：DE是⊙A的切线；
（2）若AB＝2，BE＝1，求AD的长；
（3）在（2）的条件下，求tan∠FED．


2023年广东省中考数学第一轮复习卷：11圆
参考答案与试题解析
一．选择题（共12小题）
1．（2022•深圳）下列说法错误的是（　　）
A．对角线垂直且互相平分的四边形是菱形
B．同圆或等圆中，同弧对应的圆周角相等
C．对角线相等的四边形是矩形
D．对角线垂直且相等的平行四边形是正方形
【解答】解：A．对角线垂直且互相平分的四边形是菱形，所以A选项说法正确，故A选项不符合题意；
B．同圆或等圆中，同弧对应的圆周角相等，所以A选项说法正确，故B选项不符合题意；
C．对角线相等的四边形是不一定是矩形，所以C选项说法不正确，故C选项符合题意；
D．对角线垂直且相等的平行四边形是正方形，所以D选项说法正确，故D选项不符合题意．
故选：C．
2．（2022•深圳）已知三角形ABE为直角三角形，∠ABE＝90°，BC为圆O切线，C为切点，CA＝CD，则△ABC和△CDE面积之比为（　　）

A．1：3 B．1：2 C．2：2 D．（2−1）：1
【解答】解：如图，连接OC，
∵BC是⊙O的切线，OC为半径，
∴OC⊥BC，
即∠OCB＝90°，
∴∠COD+∠OBC＝90°，
又∵∠ABE＝90°，即∠ABC+∠OBC＝90°，
∴∠ABC＝∠COD，
∵DE是⊙O的直径，
∴∠DCE＝90°，即∠OCE+∠OCD＝90°，
又∠A+∠E＝90°，而∠E＝∠OCE，
∴∠A＝∠OCD，
在△ABC和△COD中，
∠A=∠OCD∠ABC=∠CODAC=CD，
∴△ABC≌△COD（AAS），
又∵EO＝DO，
∴S△COD＝S△COE=12S△DCE，
∴S△ABC=12S△DCE，
即△ABC和△CDE面积之比为1：2，
故选：B．

3．（2020•封开县一模）如图，四边形ABCD内接于⊙O，F是CD上一点，且DF=BC，连接CF并延长交AD的延长线于点E，连接AC，若∠ABC＝105°，∠BAC＝25°，则∠E的度数为（　　）

A．60° B．55° C．50° D．45°
【解答】解：∵四边形ABCD内接于⊙O，∠ABC＝105°，
∴∠ADC＝180°﹣∠ABC＝180°﹣105°＝75°．
∵DF=BC，∠BAC＝25°，
∴∠DCE＝∠BAC＝25°，
∴∠E＝∠ADC﹣∠DCE＝75°﹣25°＝50°．
故选：C．
4．（2022•台山市校级一模）如图，正方形的边长为2，则图中阴影部分的面积为（　　）

A．2−π2 B．1−π4 C．2−π4 D．π2−1
【解答】解：如图，

∵四边形ABCD是正方形，
∴∠EAF＝45°，
∵EF⊥AB，
∴△AEF是等腰直角三角形，
∵AB＝AE＝2，
∴AF＝EF=2，
∴S阴＝S扇形ABE﹣S△AEF=45π×22360−12×2×2=π2−1．
故选：D．
5．（2022•香洲区校级三模）如图，C为半圆内一点，O为圆心，直径AB长为2cm，∠BOC＝60°，∠BCO＝90°，将△BOC绕圆心O逆时针旋转至△B'OC'，点C'在OA上，则边BC扫过区域（图中阴影部分）的面积为（　　）

A．π3cm2 B．π4cm2
C．(π3−38)cm2 D．π6cm2
【解答】解：∵∠BOC＝60°，△B′OC′是△BOC绕圆心O逆时针旋转得到的，
∴∠B′OC′＝60°，△BCO＝△B′C′O，
∴∠B′OC＝60°，∠C′B′O＝30°，
∴∠B′OB＝120°，
∵AB＝2cm，
∴OB＝1cm，OC′=12cm，
∴B′C′=32（cm），
∴S扇形B′OB=120π×12360=π3（cm2），
S扇形C′OC=120π×14360=π12（cm2），
∴阴影部分面积＝S扇形B′OB+S△B′C′O﹣S△BCO﹣S扇形C′OC＝S扇形B′OB﹣S扇形C′OC=π3−π12=π4（cm2）；
故选：B．
6．（2022•香洲区校级一模）如图，AB为△ADC的外接圆⊙O的直径，若∠BAD＝50°，则∠ACD的度数为（　　）

A．30° B．40° C．50° D．60°
【解答】解：如图，连接BD，

∵AB为△ADC的外接圆⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∵∠BAD＝50°，
∴∠ABD＝90°﹣50°＝40°，
∴∠ACD＝∠ABD＝40°．
故选：B．
7．（2022•云安区模拟）如图，矩形ABCD中，AB＝6，点E在AD边上，以E为圆心EA长为半径的⊙E与BC相切，交CD于点F，连接EF．若扇形EAF的面积为12π，则BC的长是（　　）

A．42 B．43 C．8 D．9
【解答】解：设∠AEF＝n°，
∵以E为圆心EA长为半径的⊙E与BC相切，
∴r＝6，
由题意得：nπ62360=12π，解得n＝120，
∴∠AEF＝120°，
∴∠FED＝60°，
∵四边形ABCD是矩形，
∴BC＝AD，∠D＝90°，
∴∠EFD＝30°，
∴DE=12EF＝3，
∴BC＝AD＝6+3＝9．
故选：D．
8．（2022•新兴县校级模拟）如图，用一个半径为10cm的定滑轮带动重物上升，滑轮上一点P旋转了36°，假设绳索（粗细不计）与滑轮之间没有滑动，则重物上升了（　　）

A．3π2cm B．2πcm C．5π2cm D．3πcm
【解答】解：重物上升了36π×10180=2π（cm），
故选：B．
9．（2022•蓬江区一模）同圆中，已知AB所对的圆心角是80°，则AB所对的圆周角度数（　　）
A．40° B．80° C．100° D．120°
【解答】解：AB所对的圆心角是80°，则AB所对的圆周角为：12×80°＝40°．
故选：A．
10．（2022•濠江区一模）如图，点A的坐标为（4，3），AB⊥x轴于点B，点C为坐标平面内一点，OC＝2，点D为线段AC的中点，连接BD，则BD的最大值为（　　）

A．3 B．72 C．352 D．25
【解答】解：如图，作点A关于x轴的对称点E（4，﹣3），
则点B是AE的中点，
又∵点D是AC的中点，
∴BD是△AEC的中位线，
∴BD=12EC，
∴当AEC最大时，BD最大，
∵点C为坐标平面内一点，且OC＝2，
∴点C在以O为圆心，2为半径的⊙O上运动，
∴当EC经过圆心O时，EC最大．
∵OB＝4，BE＝3，
∴OE＝5，
∴CE的最大值为5+2＝7，
∴BD的最大值=72．
故选：B．

11．（2022•潮安区模拟）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝10．若以点C为圆心，CA长为半径的圆恰好经过AB的中点D，则⊙C的半径为（　　）

A．53 B．8 C．6 D．5
【解答】解：如图，连结CD，
∵CD是直角三角形斜边上的中线，
∴CD=12AB=12×10＝5．
故选：D．

12．（2022•中山市三模）如图，AB是⊙O的直径，若AC＝2，∠D＝60°，则BC长等于（　　）

A．4 B．5 C．3 D．23
【解答】解：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵∠D＝60°，
∴∠CAB＝∠D＝60°，
∴∠ABC＝90°﹣∠CAB＝30°，
∵AC＝2，
∴AB＝2AC＝4，
∴BC=AB2−AC2=42−22=23，
故选：D．
二．填空题（共8小题）
13．（2022•广州）如图，在△ABC中，AB＝AC，点O在边AC上，以O为圆心，4为半径的圆恰好过点C，且与边AB相切于点D，交BC于点E，则劣弧DE的长是 　2π　．（结果保留π）

【解答】解：连接OD，OE，
∵OC＝OE，
∴∠OCE＝∠OEC，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
∵∠A+∠ABC+∠ACB＝∠COE+∠OCE+∠OEC，
∴∠A＝∠COE，
∵圆O与边AB相切于点D，
∴∠ADO＝90°，
∴∠A+∠AOD＝90°，
∴∠COE+∠AOD＝90°，
∴∠DOE＝180°﹣（∠COE+∠AOD）＝90°，
∴劣弧DE的长是90×π×4180=2π．
故答案为：2π．

14．（2022•南海区校级模拟）如图，已知抛物线y=−316（x﹣1）（x﹣9）与x轴交于A，B两点，对称轴与抛物线交于点C，与x轴交于点D，⊙C的半径为2，G为⊙C上一动点，P为AG的中点，则DP的最小值为 　3　．

【解答】解：如图，连接BG．

∵AP＝PG，AD＝DB，
∴DP=12BG，
∴当BG的值最大时，DP的值最大，
∵y=−316（x﹣1）（x﹣9）=−316（x﹣5）2+3，
∴C（5，3），B（9，0），
∴BC=42+32=5，
当点G在BC的延长线上时，BG的值最大，最大值＝5+2＝7，
∴DP的最大值为3.5，
故答案为：3.5．
15．（2022•南海区校级四模）如图，在边长为4的正方形内部，以各边为直径画四个半圆，则图中阴影部分的面积是 　4　．

【解答】解：如图所示，
S阴影＝S△AOB=14S正方形=14×4×4＝4．
故答案为：4．

16．（2022•台山市校级一模）△ABC中，AB＝AC＝13，BC＝24，点D为△ABC的对称轴上一动点，过点D作⊙O与BC相切，BD与⊙O相交于点E，那么AE的最大值为 　6+61　．
【解答】解：如图，

设△ABC的对称轴交BC于F，连接EF，
∵AB＝AC，
∴△ABC的对称轴DF⊥BC，
∴⊙O切BC于F，
∵DF是⊙O的直径，
∴∠DEF＝90°，
∴∠BEF＝180°﹣∠DEF＝90°，
∴点E在以BF为直径的圆上，
∵AF⊥BC，AB＝AC＝13，
∴BF＝CF＝12，
∴AF=AB2−BF2=5，
∴AI=AF2+FI2=52+62=61，
∴AEmax＝AI+E′I＝6+61．
17．（2022•韶关模拟）如图，已知⊙O的直径CD垂直于弦AB，垂足为点E，∠D＝22.5°，AB＝8，则半径OA的长为 　42　．

【解答】解：连接OB，

∵∠D＝22.5°，
∴∠BOC＝2∠D＝45°，
∵直径CD⊥AB，
∴∠OEB＝90°，BE=12AB＝4，
∴∠OBE＝90°﹣∠BOE＝45°，
∴OE＝BE＝4，OB=2BE＝42，
∴OA＝OB＝42，
故答案为：42．
18．（2022•珠海校级三模）如图，在矩形ABCD中，AB＝5，AD＝4，以A为圆心，AD为半径作圆交AB于点E，F为DE的中点，过F作CD的平行线，交AD于点G，交BC于点H，则阴影部分的面积为 　102−8　．

【解答】解：连接AF，作FM⊥AB于M，
∵F为DE的中点，
∴∠DAF＝∠EAF＝45°，
∴∠AFM＝90°﹣45°＝45°，
∴∠FAM＝∠AFM，
∴AM＝FM，
∵AF＝AD＝4，
∴FM＝AM=22×4＝22，
∴BM＝5﹣22，
∴S阴影＝BM•FM＝（5﹣22）•22=102−8，
故答案为：102−8．

19．（2022•蓬江区校级一模）矩形ABCD中，AB＝2，BC＝6，点P为矩形内一个动点．且满足∠PBC＝∠PCD，则线段PD的最小值为 　13−3　．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BCD＝90°，
∴∠PCD+∠PBC＝90°，
∵∠PBC＝∠PCD，
∴∠PBC+∠PBC＝90°，
∴∠BPC＝90°，
∴P点在以BC为直径的圆上，设圆心为O，
∵BC＝6，
∴CO＝3，
∵CD＝2，
∴DO=13，
∴PD的最小值为13−3，
故答案为：13−3．

20．（2022•南海区校级模拟）如图，AB是⊙O的直径，C，D两点在⊙O上，若∠C＝40°，则∠ABD的度数为 　50°　．

【解答】解：连接AD，

∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∵∠A＝∠C＝40°，
∴∠ABC＝90°﹣∠A＝50°．
故答案为：50°．
三．解答题（共10小题）
21．（2022•深圳）一个玻璃球体近似半圆O，AB为直径．半圆O上点C处有个吊灯EF，EF∥AB，CO⊥AB，EF的中点为D，OA＝4．
（1）如图①，CM为一条拉线，M在OB上，OM＝1.6，DF＝0.8，求CD的长度．
（2）如图②，一个玻璃镜与圆O相切，H为切点，M为OB上一点，MH为入射光线，NH为反射光线，∠OHM＝∠OHN＝45°，tan∠COH=34，求ON的长度．
（3）如图③，M是线段OB上的动点，MH为入射光线，∠HOM＝50°，HN为反射光线交圆O于点N，在M从O运动到B的过程中，求N点的运动路径长．

【解答】解：（1）∵OM＝1.6，DF＝0.8，EF∥AB，
∴DF是△COM的中位线，
∴点D是OC的中点，
∵OC＝OA＝4，
∴CD＝2；
（2）如图②，过点N作ND⊥OH于点D，

∵∠OHN＝45°，
∴△NHD是等腰直角三角形，
∴ND＝HD，
∵tan∠COH=34，∠NDO＝90°，
∴NDOD=34，
设ND＝3x＝HD，则OD＝4x，
∵OH＝OA＝4，
∴OH＝3x+4x＝4，
∴x=47，
∴ND=47×3=127，OD=47×4=167，
∴ON=OD2+ND2=207；
（3）如图，当点M与点O重合时，点N也与点O重合，当点M运动至点B时，点N运动至点T，故点N的运动路径长为OA+AT的长，

∵∠HOM＝50°，OH＝OB，
∴∠OHB＝∠OBH＝65°，
∵∠OHM＝∠OHT，OH＝OT，
∴∠OTH＝∠OHT＝65°，
∴∠TOH＝50°，
∴∠AOT＝180°﹣50°﹣50°＝80°，
∴AT的长=80×π×4180=169π，
∴点N的运动路径长＝4+169π．
22．（2022•广东）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AC为⊙O的直径，∠ADB＝∠CDB．
（1）试判断△ABC的形状，并给出证明；
（2）若AB=2，AD＝1，求CD的长度．

【解答】解：（1）△ABC是等腰直角三角形，证明过程如下：
∵AC为⊙O的直径，
∴∠ADC＝∠ABC＝90°，
∵∠ADB＝∠CDB，
∴AB=BC，
∴AB＝BC，
又∵∠ABC＝90°，
∴△ABC是等腰直角三角形．
（2）在Rt△ABC中，AB＝BC=2，
∴AC＝2，
在Rt△ADC中，AD＝1，AC＝2，
∴CD=3．
即CD的长为：3．
23．（2022•南海区校级四模）如图，已知⊙O上依次有A、B、C、D四个点，AD=BC连接AB、AD、BD，弦AB不经过圆心O，延长AB到E，使BE＝AB，连接EC，F是EC的中点，连接BF．
（1）若⊙O的半径为3，∠DAB＝120°，求劣弧BD的长；
（2）求证：BF=12BD；
（3）设G是BD的中点，探索：在⊙O上是否存在点P（不同于点B），使得PG＝PF？并说明理由．

【解答】（1）解：连接OB，OD，
∵∠DAB＝120°，∴BCD所对圆心角的度数为240°，
∴∠BOD＝360°﹣240°＝120°，
∵⊙O的半径为3，
∴劣弧BD的长为：120180×π×3＝2π；
（2）证明：连接AC，
∵AB＝BE，
∴点B为AE的中点，
∵F是EC的中点，
∴BF为△EAC的中位线，
∴BF=12AC，
∵AD=BC，
∴AD+AB=BC+AB，
∴DAB=CBA，
∴BD＝AC，
∴BF=12BD；
（3）解：存在点P（不同于点B），使得PG＝PF，
理由如下：过点B作AE的垂线，与⊙O的交点即为所求的点P，
∵BF为△EAC的中位线，
∴BF∥AC，
∴∠FBE＝∠CAE，
∵AD=BC，
∴∠CAB＝∠DBA，
∵由作法可知BP⊥AE，
∴∠GBP＝∠FBP，
∵G为BD的中点，
∴BG=12BD，
∴BG＝BF，
在△PBG和△PBF中，
BG=BF∠PBG=∠PBFBP=BP，
∴△PBG≌△PBF（SAS），
∴PG＝PF．

24．（2022•台山市校级一模）点E为正方形ABCD的边CD上一动点，直线AE与BD相交于点F，与BC的延长线相交于点G．
（1）如图①，若正方形的边长为2，设DE＝x，△DEG的面积为y，求y与x的函数关系；
（2）如图②，求证：CF是△ECG的外接圆的切线；
（3）如果把正方形ABCD换成是矩形或菱形，（2）的结论是否是否仍然成立？


【解答】（1）解：如图，延长AD，过G作RG⊥AD交AD延长线于R，

由题意可知，正方形ABCD边长为2，
∴AD＝RG＝2，
∴S△ADG=12•AD•RG=12×2×2＝2，
S△ADE=12•AD•DE＝x，
∴S△DEG＝S△ADG﹣S△ADE＝2﹣x，即y＝2﹣x；
（2）证明：如图，取EG中点O，连接OC，

∵∠ECG＝90°，
∴EG是△ECG外接圆的直径，O为圆心，
在正方形ABCD中，BD是对角线，
∴∠ADF＝∠CDF，
∴△ADF≌△CDF（SAS），
∴∠DAF＝∠DCF，
∵AD∥CG，
∴∠DAF＝∠OGC，
在圆O中，OC＝OG，
∴∠OCG＝∠OGC，
∴∠OCG＝∠DCF，
∵∠OCG+∠OCE＝90°，
∴∠DCF+∠OCE＝90°，
∴∠OCF＝90°，即OC⊥CF，
∴CF是△ECG的外接圆的切线；
（3）解：当正方形ABCD换成矩形ABCD时，

由（2）可知，∠OCG＝∠OGC＝∠DAF，但是△ADF与△CDF不全等，
∴∠DAF≠∠DCF，
∴∠OCG≠∠DCF，
∴∠OCG+∠OCE＝90°，∠DCF+∠OCE≠90°，
∴CF不是△ECG的外接圆的切线；
当正方形ABCD换成菱形ABCD时，
在菱形ABCD中，BD是对角线，
∴∠ADF＝∠CDF，
∴△ADF≌△CDF（SAS），
∴∠DAF＝∠DCF，
∵AD∥CG，
∴∠DAF＝∠G，
∴∠DCF＝∠G，
在圆O中，连接CO并延长交圆O于H，

∵CE＝CE，
∴∠G＝∠H＝∠DCF，
∵CH是直径，
∴∠CEH＝90°，
∴∠ECH+∠H＝90°，
∴∠DCF+∠ECH＝90°，即OC⊥CF，
∴CF是△ECG的外接圆的切线．
25．（2022•珠海校级三模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AO是△ABC的角平分线．以O为圆心，OC为半径作⊙O．已知AO交⊙O于点E，延长AO交⊙O于D点，连接CD，且tan∠D=23．
（1）求证：AB是⊙O的切线；
（2）求AEAC的值．

【解答】（1）证明：过点O作OF⊥AB于F，
∵AO是△ABC的角平分线，∠ACB＝90°，OF⊥AB，
∴OF＝OC，
∴AB是⊙O的切线；
（2）解：连接CE，
∵DE为⊙O的直径，
∴∠DCE＝90°，
∴∠D+∠DEC＝90°，
∵OE＝OC，
∴∠OEC＝∠OCE，
∵∠ACE+∠OCE＝90°，
∴∠ACE＝∠D，
∵∠CAE＝∠DAC，
∴△CAE∽△DAC，
∴AEAC=CECD，
∵tan∠D=CECD=23，
∴AEAC=23．

26．（2022•新兴县校级模拟）如图，四边形ABCD内接于⊙O，BD是⊙O的直径，∠BDC=12∠ABD，过点C作AD的平行线交AB延长线于点E，连接AC．
（1）求证：CE是⊙O的切线；
（2）当tan∠BAC=12，DC＝6时，求BE的长．

【解答】（1）证明：如图，连接OC，
∵BD是⊙O的直径，
∴BA⊥AD，
∵AD∥EC，
∴CE⊥AE，
由圆周角定理得：∠BOC＝2∠BDC，
∵∠BDC=12∠ABD，
∴∠BOC＝∠ABD，
∴OC∥AE，
∴OC⊥EC，
∵OC是⊙O的半径，
∴CE是⊙O的切线；
（2）解：∵tan∠BAC=12，∠BDC＝∠BAC，
∴tan∠BDC=BCCD=12，
∵CD＝6，
∴BC＝3，
∵CE是⊙O的切线，
∴∠BCE＝∠BAC，
∴BEEC=12，即EC＝2BE，
∵BE2+EC2＝BC2，
∴BE2+（2BE）2＝32，
∴BE=355．

27．（2022•茂南区一模）如图，AB为⊙O的切线，B为切点，过点B作BC⊥OA，垂足为点E，交⊙O于点C，延长CO与AB的延长线交于点D．
（1）求证：AC为⊙O的切线；
（2）若OC＝2，OD＝5，求线段AD的长．

【解答】（1）证明：连接OB，则OC＝OB，如图，

∵OA⊥BC，
∴EC＝BE，
∴OA是CB的垂直平分线，
∴AC＝AB．
在△CAO和△BAO中，
AO=AOAC=ABOC=OB，
∴△CAO≌△BAO（SSS），
∴∠OCA＝∠OBA．
∵AB为⊙O的切线，B为切点，
∴∠ABO＝90°，
∴∠OCA＝90°，
即AC⊥半径OC，
∴AC是⊙O的切线；
（2）解：∵OC＝2，OD＝5，
∴OB＝2，CD＝OC+OD＝7，
∵∠OBD＝90°，
∴BD=OD2−OB2=52−22=21，
设AC＝x，
则AC＝AB＝x，
∵CD2+AC2＝AD2，
∴x2+72=(x+21)2，
解得x=2321，
∴AC=2321，
∴AD＝AB+BD＝AC+BD=2321+21=5321．
28．（2022•东莞市校级一模）如图，⊙O经过A、B、C三点，且圆心O在▱ABCD的BC边上，AD的中点E也在⊙O上．
（1）求∠B的度数．
（2）连接BD，求sin∠ABD的值．

【解答】解：（1）连接OA，OE，

∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC，
∵E为AD的中点，
∴AE=12AD，
∵OB=12BC，
∴AE＝OB，
∴四边形ABOE是平行四边形，
∴AB＝OE，
∵OA＝OB＝OE，
∴OA＝OB＝AB，
∴△AOB为等边三角形，
∴∠ABC＝60°；
（2）过点D作DM⊥BA，交BA的延长线于点M，

∵AD∥BC，
∴∠MAD＝∠ABC＝60°，
设AM＝a，
在Rt△AMD中，AD=AMcos60°=a12=2a，
MD＝AM•tan60°=3a，
∴AD＝CB＝2a，
∴AB＝OB=12BC＝a，
∴BM＝AB+AM＝2a，
∴BD=BM2+DM2=(2a)2+(3a)2=7a，
∴sin∠ABD=DMBD=3a7a=217，
∴sin∠ABD的值为217．

29．（2022•东莞市校级二模）如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，以AB为直径的⊙O交BC于点D，过点D作直线DE⊥AC于点E．
（1）求证，直线DE是⊙O的切线；
（2）尺规作图：过点B作直线DE的垂线，垂足为点F，（不写作法，保留作图痕迹）；
（3）若⊙O的半径为5，AD＝8，求BF的长．

【解答】（1）证明：∵AD是BC边上的中线，
∴BD＝CD，
∵AO＝BO，
∴OD是△ABC的中位线，
∴OD∥AC，
∴∠AED+∠ODE＝180°，
∵DE⊥AC，
∴∠AED＝90°，
∴∠ODE＝90°，
∵OD是半径，
∴直线DE是⊙O的切线；
（2）如图所示，BF即为所求．

（3）如图，

过点O作OM⊥AD于点M，
∵OA＝OD，
∴AM＝DM=12AD=4，
在Rt△DOM中，OD＝5，
OM=OA2−AM2=52−42=3，
∵OA＝OB，AM＝DM，
∴BD＝2OM＝6，
∵OD⊥DE，DE⊥AC，
∴∠ODA+∠ODB＝∠BDF+∠ODB＝90°，
∴∠ODA＝∠BDF，
在Rt△DOM中，
sin∠ODA=OMOD=35=sin∠CDE=BFBD，
∴BF＝6×35=185．
30．（2022•濠江区一模）如图，在矩形ABCD中，点E是BC边上一点，且AD＝DE，以AB为半径作⊙A，交AD边于点F，连接EF．
（1）求证：DE是⊙A的切线；
（2）若AB＝2，BE＝1，求AD的长；
（3）在（2）的条件下，求tan∠FED．

【解答】（1）证明：过点A作AG⊥DE，
∴∠AGD＝90°，
在矩形ABCD中，AD∥BC，∠C＝90°，AB＝DC，
∴∠AGD＝∠C，∠ADG＝∠DEC，
∵AD＝DE，
在△ADG和△DEC中，
∠AGD=∠C∠ADG=∠DECAD=DE，
∴△ADG≌△DEC（AAS），
∴AG＝DC，DG＝EC，
∵AB＝DC，
∴AG＝AB，
即AG为⊙A的半径，
∴DE是⊙A的切线；
（2）解：连接AE，
由（1）可知，AG＝AB，∠ABE＝∠AGE＝90°，AE＝AE，
在Rt△ABE和Rt△AGE中，
AE=AEAB=AG，
∴△ABE≌△AGE（HL），
∴BE＝EG，
设DG＝EC＝x，
∵AB＝2，BE＝1，
∴DE＝x+1，DC＝AB＝2，
在Rt△DEC中，由勾股定理得，
x2+22＝（x+1）2，
解得x=32，
∴AD＝DE=52；
（3）过点F作FH⊥DE，
∵AD=52，AF＝AB＝2，
∴DF＝AD﹣AF=52−2=12，
∵FH⊥DE，AG⊥DE，
∴FH∥AG，
∴△DFH∽△DAG，
∴DFAD=FHAG，
即1252=FH2，
解得FH=25，
∵DH=DF2−FH2=(12)2−(25)2=310，
DE=EC2+CD2=(32)2+22=52，
∴EH=52−310=115，
∴tan∠FED=FHEH=211．