2023届贵州省遵义市红花岗区高三上学期第一次联考数学（理）试题（解析版）

这是一份2023届贵州省遵义市红花岗区高三上学期第一次联考数学（理）试题（解析版），共18页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．已知集合，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】化简集合，再根据交集的定义求.
【详解】不等式可化为，所以，
又，所以，
故选：A.
2．设复数满足，其中为虚数单位，则（ ）
A．B．1C．D．5
【答案】C
【分析】根据复数的基本运算法则进行化简，然后求模即可．
【详解】因为
所以，
，
故选：C．
3．设等差数列的前项和为，若，则（ ）
A．7B．14C．21D．28
【答案】B
【分析】由条件结合等差数列性质可求，再根据等差数列求和公式求即可.
【详解】因为数列为等差数列，，所以，又，所以，所以，
故选：B.
4．《算数术》是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求“困盖”的术：置如其周，令相乘也，叉以高乘之，三十六成一.该术相当于给出了由圆锥的底面周长L与h，当圆周率π近似取3时，其体积V的近似公式.现有一圆锥，其体积的近似公式，侧面积为其轴截面面积的3倍，母线长为4，则此圆锥的高为（ ）
A．4B．C．D．
【答案】B
【分析】先由圆锥的体积公式结合得出，再由侧面积为其轴截面面积的3倍，得出此圆锥的高.
【详解】设圆锥的底面半径为，则圆锥的体积为，因为，所以，即，圆锥的侧面积为，轴截面面积为，故，即.
故选：B
5．已知两条直线，及平面，则下列推理正确的是（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【答案】D
【分析】根据空间中点线面的位置关系即可结合选项逐一判断.
【详解】对于A,例如在正方体中平面, 平面,但是与相交，故A错误，
对于B,根据线面平行的判定定理，需要， ，故当时，不能得到，故B错误，
对于C,例如在正方体中，平面,但是不能得到平面,故C错误，
对于D,根据线面垂直的定义即可判断，，故D正确，
故选：D
6．在的展开式中，常数项为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】写出二项展开式通项，令的指数为零，求出参数的值，代入通项即可得解.
【详解】的展开式通项为，
令，可得，因此，展开式中常数项为.
故选：D.
7．已知,,,则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据指数函数的单调性可大致判断和1的大小,将用换底公式化为以2为底的对数形式,再根据对数函数的单调性即可判断的大小,进而选出结果.
【详解】解:由题知单调递增,
,
,
,
,
即,
综上:.
故选:A
8．若函数在处切线方程为，则实数（ ）
A．B．C．2D．0
【答案】B
【分析】求导，利用导数的几何意义得到，求出，得到切点坐标，代入切线方程中，求出.
【详解】，则，解得：，
所以，，
所以切点坐标为，将其代入中，
故，解得：.
故选：B
9．将函数向左平移个单位后所得图象关于原点对称，则的值可能为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据图象平移结论求出平移后函数解析式，根据奇函数的性质可求出的值，检验可得结果．
【详解】平移后得到函数解析式为，
因为图象关于原点对称，即是奇函数，
所以，故
所以，
所以，
当时，，
当时，，，所以为奇函数，满足要求，
故选：D．
10．数列满足：，，记数列的前项和为，若恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由条件求出数列的通项公式，再求数列的前项和为及其范围，再由条件恒成立求的取值范围.
【详解】因为，，所以数列为首项为，公差为1的等差数列，所以，所以，
所以数列的前项和为，
所以，又，所以，
因为恒成立，所以，
故实数的取值范围是，
故选：C.
11．在中，，，为中点，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．2
【答案】A
【分析】设，，，利用余弦定理列方程，化简可得与的关系，根据同角关系求，再求的最大值.
【详解】设，，，则，，
在中，由余弦定理可得，，
所以，即，①
在中，由余弦定理可得，，
所以，②
所以①②相减，可得，，所以，故，
因为，，所以，
①②相加可得，，所以，
所以，
又，所以，
令，则，，
所以当，即时，取最大值，最大值为，又，
所以的最大值为，
故选：A.
12．设函数，有下列命题：
①函数的最小正周期为；
②对，；
③函数共有5个零点；
④设，，函数在点处取得极大值，点为上一点，为坐标原点，则的最大值大于．
其中真命题的个数为（ ）
A．0B．1C．2D．3
【答案】D
【分析】①作出函数的图象再证明判断；②利用作差法判断；③在同一坐标系下画出函数和的图象即得解；④求出，设，求出，再利用导数分析判断得解.
【详解】解：①函数，作出函数的图象，如图所示，
设，所以函数的最小正周期为.
所以该命题正确；
②对，，
，
所以，
因为.
又，
所以. 所以该命题正确；
③令.
在同一坐标系下画出函数和的图象，如图所示，所以函数共有6个零点,所以该命题错误；

④设，，函数在点处取得极大值，设，所以，令，
所以令，
所以，所以函数在单调递增，在单调递减.
所以函数.所以该命题正确.
故选：D
二、填空题
13．已知向量＝（2，－1），＝（t，2），若∥，则t＝________．
【答案】－4
【分析】根据向量共线的坐标表示计算即可求解.
【详解】因为＝（2，－1），＝（t，2），∥
所以，
即，
故答案为：
14．已知双曲线的焦点为，，若其中一条渐近线的倾斜角为，则焦点到该渐近线的距离为________．
【答案】3
【分析】先由渐近线的斜率求得m，即可求出c，进而由几何关系求得到该渐近线的距离.
【详解】渐近线的斜率满足，故，由双曲线的对称性，故焦点到该渐近线的距离为.
故答案为：3
15．某四面体的两条棱长为，其余棱长为，则该四面体的体积可能为________．（写出一个即可）
【答案】（答案不唯一）
【分析】作出辅助线，证明出线面垂直，求出四面体的高，求出体积.
【详解】如图所示，四面体ABCD中，，
取BC的中点E，连接AE，DE，
由三线合一可得：AE⊥BC，DE⊥BC，
因为，平面ADE，
所以BC⊥平面ADE，
过点A作AF⊥DE于点F，
因为平面ADE，
所以BC⊥AF，
因为，平面BCD，
所以AF⊥平面BCD，
因为，由勾股定理得：，
△BCD为等边三角形，所以，
在△ADE中，由余弦定理得：
，
则，
则，
由三角形面积公式可得：，
故该四面体的体积为.
故答案为：.
16．设函数，若用表示不超过实数的最大整数，则函数的值域为_____________.
【答案】
【分析】先令，再分、和三种情况求解即可.
【详解】设，
则.
∴.
∵，∴.
∴.
当时， ；
当时，；
当时， .
综上所述，函数的值域是.
故答案为：.
三、解答题
17．设函数．
(1)求函数对称轴方程；
(2)中，，，，求的面积．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用诱导公式及半角公式得到，利用整体法求解函数的对称轴；
（2）由求出，利用余弦定理得到，再利用三角形面积公式求出答案.
【详解】（1），
令，，解得：，
所以函数对称轴方程为；
（2），故，
因为，所以，故，
解得：，
由余弦定理得：，
由，解得：，
由三角形面积公式可得：，
的面积为.
18．中国共产党第二十次全国代表大会于2022年10月16自在北京召开．中国共产党第二十次全国代表大会是在全党全国各族人民迈上全面建设社会主义现代化国家新征程、向第二个百年奋斗目标进军的关键时刻召开的一次十分重要的大会．为了让同学们能够更好地了解中国共产党的历史、了解新中国取得的辉煌成就，某校组织了相关知识竞答．此次知识竞答共有200名学生参加，成绩均在区间内，得到如图所示的频率分布直方图．
(1)求的值；
(2)在参加竞答的200名学生中，规定成绩不低于80分为“优秀”，成绩低于80分为“非优秀”，请将下面的列联表补充完整，并判断是否有95%的把握认为成绩是否优秀与性别有关？
附：（其中）
【答案】(1)；
(2)列联表见解析，没有95%的把握认为成绩是否优秀与性别有关.
【分析】(1)由频率分布直方图的性质列方程求；(2)由频率分布直方图求出优秀的学生人数和非优秀的学生人数，结合列联表中已知数据完成列联表，根据表中数据计算卡方即可判断.
【详解】（1）由频率分布直方图各小矩形面积之和为1可知：
，
解得：.
（2）由频率直方图可知：
低于80分的频率为：，
所以非优秀的人数为：，
又非优秀的男生人数为80，所以非优秀的女生人数为70人，
女生共有人，所以优秀的女生人数为30，
总人数为200，所以男生中优秀人数为20.
据此可知列联表如下：
可知：，
又
所以没有95%的把握认为成绩是否优秀与性别有关.
19．已知数列满足，，．
(1)求，，，并写出一个符合题意的的通项公式（不需要证明）；
(2)设，记为数列的前项和，求．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）代入求出，依次代入求出，看出数列的周期为3，写出通项公式；
（2）在第一问的基础上，写出的通项公式，并分组求和.
【详解】（1），，
，
可看出数列为周期为3的数列，故，
理由如下：为周期为3的数列，当时，，
当时，，当时，；
（2）由第一问可知：
，
则，
故
.
20．已知椭圆的离心率，且椭圆四个项点围成的四边形面积为．
(1)求椭圆的方程；
(2)过点作两条相互垂直的直线被椭圆截得的弦分别为，．求四边形面积的取值范围．
【答案】(1)椭圆的方程为；
(2)四边形面积的取值范围为．
【分析】(1)由条件列出关于的方程，解方程可求，由此可得椭圆的方程；(2)先求的斜率为0及斜率不存在时四边形的面积，当的斜率存在且不为0时，联立方程组，利用设而不求法求出，，表示四边形的面积，求其范围.
【详解】（1）因为椭圆的离心率，所以，
因为椭圆四个项点围成的四边形面积为，所以，
又，
所以，
所以椭圆的方程为；
（2）①当直线AB的倾斜角为0°，，此时直线的方程为，联立可得，所以，所以四边形的面积.
同理直线AB的倾斜角为，四边形的面积.
②当直线AB的倾斜角不为0°和90°，
设直线AB的方程：，
则直线CD的方程为：，
联立和，得，
，，
，
用换得，
∴四边形面积，
令，，
∴，∴，
，
∴.
∴综上所述，.
所以四边形面积的取值范围为．
【点睛】(1)解答直线与椭圆的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系．
(2)涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形．
21．设函数．
(1)若函数在定义域内单调递增，求的取值范围；
(2)若不等式恒成立，证明：．
【答案】(1)的取值范围为；
(2)证明见解析.
【分析】(1)根据函数的单调性与导数的关系可得在上恒成立，分离变量转化为函数最值，可求的取值范围；(2)化简不等式可得，利用导数研究函数的单调性，求出函数的最值，即可做出判断.
【详解】（1）函数为定义域为，
因为函数在定义域内单调递增，且
所以在上恒成立，所以在上恒成立，
所以，其中，
设，则，
当时，，函数在上单调递增，
当时，，函数在上单调递减，
所以，函数在时取最大值，最大值为1，
所以，即，
所以的取值范围为；
（2）因为不等式恒成立，，
所以在上恒成立，即在上恒成立，
设，，则，
若时，，函数在上单调递增，
当时，，与已知矛盾，
若时，
当时，，函数在上单调递增，
当时，，函数在上单调递减，
所以当时，函数取最大值，最大值为，
因为恒成立，所以，故，
要证明，只需证明，
设，则，设，则，所以在上单调递增，又，，所以存在，使得，
当时，，函数单调递减，
当时，，函数单调递增，
所以当时，取最小值，最小值为，又，故，，所以，因为，所以，故当时，，所以，所以.
【点睛】方法点睛：导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．
22．平面直角坐标系中，半圆的参数方程为（为参数，），设半圆与轴的交点为（异于点），为半圆上一点（与点不重合），为弧的中点．以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系．
(1)求半圆的极坐标方程；
(2)求的最大值．
【答案】(1)半圆的极坐标方程，；
(2)的最大值为.
【分析】(1)通过消参可得半圆的直角坐标方程，再将其转化为极坐标方程；(2)根据极坐标方程，结合极坐标的几何意义表示，再求其最大值.
【详解】（1）因为，为参数，，消参可得，且，所以，且，
由可得，，，
所以半圆的极坐标方程，；
（2）由(1)可设点的极坐标为，则点的极坐标为，，
所以，所以，
设，则，，
所以当，即时，取最大值，最大值为.
23．已知a，b，c为正数，且满足．
(1)证明：；
(2)证明：
【答案】(1)证明见解析；
(2)证明见解析；
【分析】（1）运用分析法，结合基本不等式进行证明即可；
（2）运用分析法，结合柯西不等式进行证明即可.
【详解】（1）∵a，b，c为正数，要证，∵
只需证，即证，即证，
∵a，b，c为正数，∴，∴，
∴∴，
∴当且仅当时取等；
（2）要证，只需证，即证，
根据柯西不等式可，
当且仅当取等号．从而.
优秀
非优秀
总计
男生
80
女生
100
总计
200
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
优秀
非优秀
总计
男生
20
80
100
女生
30
70
100
总计
50
150
200