2022届贵州省遵义市高三第三次统一考试数学（理）试题及答案

这是一份2022届贵州省遵义市高三第三次统一考试数学（理）试题及答案，共35页。试卷主要包含了本试卷共分第Ⅰ卷两部分等内容，欢迎下载使用。
遵义市2022届高三年级第三次统一考试
理科数学
（共150分，考试时间120分钟）
注意事项：
1．本试卷共分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．
2．考试开始前，请用黑色签字笔将答题卡上的姓名，班级，考号填写清楚，并在相应位置粘贴条形码．
3．客观题答题时，请用2B铅笔答题，若需改动，请用橡皮轻轻擦拭干净后在选涂其它选项；主观题答题时，请用黑色签字笔在答题卡相应的位置答题；在规定区域以外的答题不给得分；在试卷上作答无效．
第Ⅰ卷（选择题 共60分）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
2. 若，则的最大值为（ ）
A. B. C. D.
3. 若复数z满足（i为虚数单位），则复数z在复平面内所对应的点在（ ）
A 第一象限 B. 实轴上 C. 第三象限 D. 虚轴上
4. 命题“”的否定是（ ）
A. “” B. “”
C. “” D. “”
5. 贵州等七省份宣布从2021年秋季入学高一新生开始进入“”的新高考模式，2024年起高考不分文理新高考“”模式指的是，“3”即语文、数学、外语3门统一高考科目；“1”和“2”为选择性考试科目，其中“1”是从物理或历史科目中选择1门；“2”是从思想政治、地理、化学、生物学中选择2门．则新高考模式的不同组合有（ ）
A. 12种 B. 10种 C. 9种 D. 8种
6. 已知和为非零向量，且，与的夹角为（ ）
A. B. C. D.
7. 已知二项式展开式的二项式系数和为64，则展开式中常数项为（ ）
A. 10 B. 15 C. 18 D. 30
8. 将函数图像上的所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把所得曲线向左平移个单位长度，得到曲线，则的解析式为( )
A. B.
C. D.
9. 如图，边长为2的等边三角形，取其中线的，构成新的等边三角形，面积为；再取新的等边三角形中线的，构成等边三角形，面积为；……如此下去，形成一个不断缩小的正三角形系列，则第5次构成的等边三角形的面积，为（ ）


A. B. C. D.
10. 内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，则周长的最大值为（ ）
A. 4 B. 6 C. 8 D. 10
11. 满足不等式整数解个数为（ ）
A. 4950 B. 5000 C. 5050 D. 5100
12. 已知，则a，b，c的大小关系是( )
A. B. C. D.
第Ⅰ卷（非选择题 共90分）
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13. 已知函数，则在处切线斜率为___________．
14. 圆上点P到直线距离的最小值为__________．
15. 若，则________．
16. 斜率为的直线过椭圆的焦点，交椭圆于两点，若，则该椭圆的离心率为_________．
三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或验算步骤．第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．
（一）必考题：60分
17. 记为等差数列的前n项和，．
（1）求数列的通项公式；
（2）求的值．
19. 如图，在直三棱柱中，，，，点分别为的中点．

（1）判断与平面的位置关系，并说明理由；
（2）求二面角的正弦值．
21. 已知函数，其中．
（1）讨论函数的单调性；
（2）若有且仅有两个不相等实根，求实数a的取值范围．
23. 已知为双曲线左右焦点，，且该双曲线一条渐近线的斜率为，点M和N是双曲线上关于x轴对称的两个点，为双曲线左右顶点．
（1）求该双曲线标准方程；
（2）设和交点为P，则的面积是否存在最大值？若存在，请求出这个最大值；若不存在，请说明理由．
25. 某中学在2021年高考分数公布后对高三年级各班的成绩进行分析．经统计，某班有50名同学，总分都在区间内，将得分区间平均分成5组，统计频数、频率后，得到了如图所示的“频率分布”折线图．


（1）请根据频率分布折线图，画出频率分布直方图，并根据频率分布直方图估计该班级平均分；
（2）经相关部门统计，高考分数以上的考生获得高校T“强基计划”入围资格，并制作高校T录取政策和考生录取预测统计表（如表所示）．第一轮笔试有2科，学生通过考试获得相应等级的事件相互独立且概率相同.
高考分数


第一轮笔试
学科测试等级

A
B
C

A
B
C
学生通过考试获得相应等级概率








第二轮面试
入围条件
至少有1科，且2科均不低于B
录取条件
全
在第一轮笔试中2科均获得
通过第二轮面试
考生通过概率
考生通过概率为
若该班级考分前10名都已经报考了高校T的“强基计划”，且恰有2人成绩高于690分．求：
①总分高于690分的某位同学没有进入第二轮的概率；
②该班恰有两名同学通过“强基计划”被高校T录取的概率．
（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．在答题卷上将所选题号涂黑，如果多做，则按所做的第一题计分．
27. 在极点为O的极坐标系中，经过点的直线l与极轴所成角为，且与极轴的交点为N．
（1）当时，求l的极坐标方程；
（2）当时，求面积的取值范围．
29. 已知．
（1）当时，求最大值；
（2）当时，证明：的解集非空．




遵义市2022届高三年级第三次统一考试
理科数学
（共150分，考试时间120分钟）
注意事项：
1．本试卷共分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．
2．考试开始前，请用黑色签字笔将答题卡上的姓名，班级，考号填写清楚，并在相应位置粘贴条形码．
3．客观题答题时，请用2B铅笔答题，若需改动，请用橡皮轻轻擦拭干净后在选涂其它选项；主观题答题时，请用黑色签字笔在答题卡相应的位置答题；在规定区域以外的答题不给得分；在试卷上作答无效．
第Ⅰ卷（选择题 共60分）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【1题答案】
【答案】C
【解析】
【分析】由交集定义可直接得到结果.
【详解】由交集定义知：.
故选：C.
2. 若，则的最大值为（ ）
A. B. C. D.
【2题答案】
【答案】A
【解析】
【分析】由，利用基本不等式可求得最大值.
详解】当时，，
（当且仅当，即时取等号），的最大值为.
故选：A.
3. 若复数z满足（i为虚数单位），则复数z在复平面内所对应的点在（ ）
A. 第一象限 B. 实轴上 C. 第三象限 D. 虚轴上
【3题答案】
【答案】B
【解析】
【分析】求得，以及对应点的坐标，从而确定正确答案.
【详解】由于，
所以，
所以对应点的坐标为，在实轴上.
故选：B
4. 命题“”的否定是（ ）
A. “” B. “”
C. “” D. “”
【4题答案】
【答案】D
【解析】
【分析】根据全称命题的否定即可求解.
【详解】命题“”的否定是： .
故选：D
5. 贵州等七省份宣布从2021年秋季入学高一新生开始进入“”的新高考模式，2024年起高考不分文理新高考“”模式指的是，“3”即语文、数学、外语3门统一高考科目；“1”和“2”为选择性考试科目，其中“1”是从物理或历史科目中选择1门；“2”是从思想政治、地理、化学、生物学中选择2门．则新高考模式的不同组合有（ ）
A. 12种 B. 10种 C. 9种 D. 8种
【5题答案】
【答案】A
【解析】
【分析】根据分步乘法计数原理和组合数的计算即可求解.
【详解】第一步：从物理或历史科目中选择1门的取法2种，
第二步：从思想政治、地理、化学、生物学中选择2门有种，所以新高考模式的不同组合共有.
故选：A
6. 已知和为非零向量，且，与夹角为（ ）
A. B. C. D.
【6题答案】
【答案】C
【解析】
【分析】根据向量数量积定义和运算律可得方程，求得，由此可得结论.
详解】，，
即，解得：，，
即与的夹角为.
故选：C.
7. 已知二项式展开式的二项式系数和为64，则展开式中常数项为（ ）
A. 10 B. 15 C. 18 D. 30
【7题答案】
【答案】B
【解析】
【分析】根据二项式系数和求得，结合二项式展开式的通项公式求得正确答案.
【详解】由于二项式展开式的二项式系数和为，
所以.
二项式展开式的通项公式为，
令，解得，
所以展开式中的常数项为.
故选：B
8. 将函数图像上的所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把所得曲线向左平移个单位长度，得到曲线，则的解析式为( )
A. B.
C. D.
【8题答案】
【答案】A
【解析】
【分析】将向右平移个单位长度，再把曲线上所有点横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，即可得y=f(x)．
【详解】将向右平移个单位长度得，
将上所有点横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得，
∴．
故选：A﹒
9. 如图，边长为2的等边三角形，取其中线的，构成新的等边三角形，面积为；再取新的等边三角形中线的，构成等边三角形，面积为；……如此下去，形成一个不断缩小的正三角形系列，则第5次构成的等边三角形的面积，为（ ）


A. B. C. D.
【9题答案】
【答案】C
【解析】
【分析】设第次取中线的，构成新的等边三角形的边长为，则，从而可得等边三角形的边长是等比数列，求出，再根据三角形的面积公式即可得解.
【详解】解：设第次取中线的，构成新的等边三角形的边长为，
则，所以，
故等边三角形边长是以为公比的等比数列，
，
所以第5次构成的等边三角形的边长，
所以第5次构成的等边三角形的面积.
故选：C.
10. 内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，则周长的最大值为（ ）
A. 4 B. 6 C. 8 D. 10
【10题答案】
【答案】B
【解析】
【分析】结合两角和的正切公式、诱导公式求得，结合正弦定理、三角函数值域的求法，求得周长的最大值.
【详解】，，
依题意，
即 ，，
所以为锐角，.
由正弦定理得，
所以，
所以三角形周长为



，
由于，
所以当时，三角形的周长取得最大值为.
故选：B
11. 满足不等式整数解个数为（ ）
A. 4950 B. 5000 C. 5050 D. 5100
【11题答案】
【答案】D
【解析】
【分析】先利用穿针引线法解不等式，归纳出在区间内整数解个数有个，利用等差数列求和即可得到答案.
【详解】利用穿针引线法解不等式.如图示：

满足不等式整数解有：
在有个；
在有个；

在有个.
由此归纳得：在区间内有个.
所以整数解的个数为.
故选：D
12. 已知，则a，b，c的大小关系是( )
A. B. C. D.
【12题答案】
【答案】D
【解析】
【分析】判断sin2和的大小，比较a与、b与、c与的大小可判断a与b大小关系及b与c大小关系，判断a与、c与的大小可判断a与c大小关系，从而可判断a、b、c大小关系．
【详解】，
，即b，∴a>b；
∵，，∴，；
∵，，，；
．
故选：D．
【点睛】本题关键是利用正弦函数的值域求出sin2的范围，以和两个值作为中间值，比较a、b、c与中间值的大小即可判断a、b、c的大小．
第Ⅰ卷（非选择题 共90分）
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13. 已知函数，则在处切线斜率为___________．
【13题答案】
【答案】
【解析】
【分析】利用导数求得切线的斜率.
【详解】.
故答案为：
14. 圆上点P到直线距离的最小值为__________．
【14题答案】
【答案】##
【解析】
【分析】利用点到直线的距离公式求得正确答案.
【详解】圆的圆心为，半径为，
到直线的距离为，
所以圆上点P到直线距离的最小值为.
故答案为：
15. 若，则________．
【15题答案】
【答案】
【解析】
【分析】结合二倍角公式、两角和的正弦公式、同角三角函数的基本关系式求得正确答案.
【详解】依题意，
，
，
由于，
所以，
代入得，
，
解得（负根舍去）.
故答案为：
16. 斜率为的直线过椭圆的焦点，交椭圆于两点，若，则该椭圆的离心率为_________．
【16题答案】
【答案】
【解析】
【分析】设，，由可知；令，将方程与椭圆方程联立可得韦达定理的形式，利用可得关于的齐次方程，由此可求得离心率.
【详解】设，，由得：，，即；
不妨令，则直线，
由得：，，
，
即，，；
由椭圆对称性可知：当时，；
椭圆的离心率为.
故答案为：.
【点睛】关键点点睛：本题考查椭圆离心率的求解问题，解题关键是能够根据向量共线得到的关系，从而结合韦达定理，利用构造关于的齐次方程来进行求解.
三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或验算步骤．第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．
（一）必考题：60分
17. 记为等差数列的前n项和，．
（1）求数列的通项公式；
（2）求的值．
【17题答案】
【答案】（1）
（2）8960
【解析】
【分析】（1）根据等差数列的基本量，列出方程即可求解，进而可得通项公式.
（2）根据等差数列的求和公式即可求解.
【小问1详解】
设等差数列的首项和公差分别为，由题意可知：
，解得
所以
【小问2详解】
由（1）知：当 时，，当 时，
所以



19. 如图，在直三棱柱中，，，，点分别为的中点．

（1）判断与平面的位置关系，并说明理由；
（2）求二面角的正弦值．
【19题答案】
【答案】（1）相交；理由见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）假设平面，由四边形为平行四边形和线面平行的判定可得平面，进而得到平面平面；利用面面平行性质可得，显然不成立，可知假设错误，由此可得结论；
（2）取中点，根据垂直关系，以为坐标原点建立空间直角坐标系，利用二面角的向量求法可求得二面角的余弦值，进而可得正弦值.
【小问1详解】
相交，理由如下：
假设平面，连接，

分别为中点，且，
四边形为平行四边形，，
又平面，平面，平面，
平面，，平面，
平面平面，又平面，平面；
平面，平面平面，，
即，又，，显然不成立，
假设错误，与平面相交.
【小问2详解】
取中点，连接，
，；又，平面，平面，
则以为坐标原点，正方向为轴，可建立如图所示空间直角坐标系，

，，，即；
则，，，，，
设平面的法向量，
则，令，解得：，，；
又平面的一个法向量，，
二面角为锐二面角，二面角大小为，
二面角的正弦值为.
21. 已知函数，其中．
（1）讨论函数的单调性；
（2）若有且仅有两个不相等实根，求实数a的取值范围．
【21题答案】
【答案】（1）答案详见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）先求得，然后对进行分类讨论，由此求得的单调区间.
（2）由进行化简，通过分离常数法，结合导数来求得的取值范围.
【小问1详解】
的定义域为，，
当时，恒成立，所以在上递增；
当时，在区间递增；在区间递减.
【小问2详解】
依题意有且仅有两个不相等实根，
即有两个不相等的实根，
，构造函数，
，所以在区间递增；在区间递减.
所以.
，当时，，，
，
所以的取值范围是.
23. 已知为双曲线左右焦点，，且该双曲线一条渐近线的斜率为，点M和N是双曲线上关于x轴对称的两个点，为双曲线左右顶点．
（1）求该双曲线的标准方程；
（2）设和交点为P，则的面积是否存在最大值？若存在，请求出这个最大值；若不存在，请说明理由．
【23题答案】
【答案】（1）
（2）不存在，理由见解析
【解析】
【分析】（1）根据已知条件求得，由此求得双曲线的标准方程.
（2）先求得点的轨迹，然后对的面积是否存在最大值进行判断.
【小问1详解】
依题意，
，解得，
所以双曲线的标准方程为.
【小问2详解】
的面积不存在最大值，理由如下：
设，则，
因为在双曲线上，所以，
,
所以所在直线的斜率为，
直线的方程为①，
同理可求得直线的方程为②，
①②得③，
将代入③得：，
化简得，
令①②，化简得，
经检验，当时，上式也满足.
故点的轨迹为椭圆去掉上下两个顶点.
因为，当点到轴的距离最大时，三角形的面积最大，
因为，故三角形的面积最大值不存在.
25. 某中学在2021年高考分数公布后对高三年级各班的成绩进行分析．经统计，某班有50名同学，总分都在区间内，将得分区间平均分成5组，统计频数、频率后，得到了如图所示的“频率分布”折线图．


（1）请根据频率分布折线图，画出频率分布直方图，并根据频率分布直方图估计该班级的平均分；
（2）经相关部门统计，高考分数以上的考生获得高校T“强基计划”入围资格，并制作高校T录取政策和考生录取预测统计表（如表所示）．第一轮笔试有2科，学生通过考试获得相应等级的事件相互独立且概率相同.
高考分数


第一轮笔试
学科测试等级

A
B
C

A
B
C
学生通过考试获得相应等级概率








第二轮面试
入围条件
至少有1科，且2科均不低于B
录取条件
全
在第一轮笔试中2科均获得
通过第二轮面试
考生通过概率为
考生通过概率为
若该班级考分前10名都已经报考了高校T的“强基计划”，且恰有2人成绩高于690分．求：
①总分高于690分的某位同学没有进入第二轮的概率；
②该班恰有两名同学通过“强基计划”被高校T录取的概率．
【25题答案】
【答案】（1）频率分布直方图见解析，平均分为
（2）①；②
【解析】
【分析】（1）根据频率分布折线图与频率分布直方图的关系画出频率分布直方图.根据平均数的求法，求得平均数.
（2）①结合对立事件、相互独立事件概率计算公式，计算出所求概率.②结合相互独立事件概率计算公式，计算出所求概率.
【小问1详解】
画出频率分布直方图如下图所示：

平均分为：
.
【小问2详解】
总分大于等于分的同学有人，
其中有人小于等于分，人大于分.
①
.
②设高于分的同学被高校录取为事件，不超过分的同学被高校录取为事件，则



，

.
（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．在答题卷上将所选题号涂黑，如果多做，则按所做的第一题计分．
27. 在极点为O的极坐标系中，经过点的直线l与极轴所成角为，且与极轴的交点为N．
（1）当时，求l的极坐标方程；
（2）当时，求面积的取值范围．
【27题答案】
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）先求得的直角坐标方程，再转化为极坐标方程.
（2）对直线的倾斜角进行分类讨论，结合三角形的面积公式求得面积的取值范围.
【小问1详解】
点，则，
所以点的直角坐标为，
当时，直线的直角坐标方程为，
转化为极坐标方程为.
【小问2详解】
在极坐标系下：经过点的直线l与极轴所成角为，
在直角坐标系下：经过点的直线的倾斜角为或.
即直线的倾斜角是或.
当直线的倾斜角为时，
直线的方程为，
令得，
，，
，
所以
.
当直线的倾斜角为时，
直线的方程为，
令得，
，
所以
.
综上所述，面积的取值范围是.
29. 已知．
（1）当时，求最大值；
（2）当时，证明：的解集非空．
【29题答案】
【答案】（1）
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）将表示为分段函数的形式，由此求得的最大值.
（2）对进行分类讨论，结合绝对值三角不等式证得不等式成立.
【小问1详解】
当时，，
，所以的最大值为.
【小问2详解】
当时，，当时成立.
当时，

，
因为，故，时等号成立.
即.
综上所述，当时，的解集非空．