2023年四川省巴中市中考数学试卷（含答案解析）

这是一份2023年四川省巴中市中考数学试卷（含答案解析），共33页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2023年四川省巴中市中考数学试卷
一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请使用2B铅笔将答题卡上对应题号的答案标号涂黑）
1．（4分）下列各数为无理数的是（　　）
A．0.618 B． C． D．
2．（4分）如图所示图形中为圆柱的是（　　）
A． B．
C． D．
3．（4分）下列运算正确的是（　　）
A．x2+x3＝x5 B．×＝
C．（a﹣b）2＝a2﹣b2 D．|m|＝m
4．（4分）下列说法正确的是（　　）
A．多边形的外角和为360°
B．6a2b﹣2ab2＝2ab（3a﹣2b）
C．525000＝5.25×103
D．可能性很小的事情是不可能发生的
5．（4分）一次函数y＝（k﹣3）x+2的函数值y随x增大而减小，则k的取值范围是（　　）
A．k＞0 B．k＜0 C．k＞3 D．k＜3
6．（4分）某同学学习了正方体的表面展开图后，在如图所示的正方体的表面展开图上写下了“传承红色文化”六个字，还原成正方体后，“红”的对面是（　　）

A．传 B．承 C．文 D．化
7．（4分）若x满足x2+3x﹣5＝0，则代数式2x2+6x﹣3的值为（　　）
A．5 B．7 C．10 D．﹣13
8．（4分）如图，⊙O是△ABC的外接圆，若∠C＝25°，则∠BAO＝（　　）

A．25° B．50° C．60° D．65°
9．（4分）某学校课后兴趣小组在开展手工制作活动中，美术老师要求用14张卡纸制作圆柱体包装盒，准备把这些卡纸分成两部分，一部分做侧面，另一部分做底面．已知每张卡纸可以裁出2个侧面，或者裁出3个底面，如果1个侧面和2个底面可以做成一个包装盒，这些卡纸最多可以做成包装盒的个数为（　　）
A．6 B．8 C．12 D．16
10．（4分）如图，在Rt△ABC中，AB＝6cm，BC＝8cm，D、E分别为AC、BC中点，连接AE、BD相交于点F，点G在CD上，且DG：GC＝1：2，则四边形DFEG的面积为（　　）

A．2cm2 B．4cm2 C．6cm2 D．8cm2
11．（4分）我国南宋时期数学家杨辉于1261年写下的《详解九章算法》，书中记载的图表给出了（a+b）n展开式的系数规律．

当代数式x4﹣12x3+54x2﹣108x+81的值为1时，则x的值为（　　）
A．2 B．﹣4 C．2或4 D．2或﹣4
12．（4分）在平面直角坐标系中，直线y＝kx+1与抛物线y＝x2交于A、B两点，设A（x1，y1），B（x2，y2），则下列结论正确的个数为（　　）
①x1•x2＝﹣4．
②y1+y2＝4k2+2．
③当线段AB长取最小值时，则△AOB的面积为2．
④若点N（0，﹣1），则AN⊥BN．

A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分．将正确答案直接写在答题卡相应的位置上）
13．（3分）在0，（﹣）2，﹣π，﹣2四个数中，最小的实数是 　 　．
14．（3分）已知a为正整数，点P（4，2﹣a）在第一象限中，则a＝　 　．
15．（3分）这组数据1，3，5，2，8，13的中位数是 　 　．
16．（3分）关于x的分式方程+＝3有增根，则m＝　 　．
17．（3分）如图，已知正方形ABCD和正方形BEFG，点G在AD上，GF与CD交于点H，tan∠ABG＝，正方形ABCD的边长为8，则BH的长为 　 　．

18．（3分）规定：如果两个函数的图象关于y轴对称，那么称这两个函数互为“Y函数”．例如：函数y＝x+3与y＝﹣x+3互为“Y函数”．若函数y＝x2+（k﹣1）x+k﹣3的图象与x轴只有一个交点，则它的“Y函数”图象与x轴的交点坐标为 　 　．
三、解答题（本大题共7个小题，共84分．请将解答过程写在答题卡相应的位置上）
19．（16分）（1）计算：|3﹣|+（）﹣1﹣4sin60°+（）2．
（2）求不等式组的解集．
（3）先化简，再求值（+x﹣1）÷，其中x的值是方程x2﹣2x﹣3＝0的根．
20．（10分）如图，已知等边△ABC，AD⊥BC，E为AB中点．以D为圆心，适当长为半径画弧，交DE于点M，交DB于点N，分别以M、N为圆心，大于MN为半径画弧，两弧交于点P，作射线DP交AB于点G．过点E作EF∥BC交射线DP于点F，连接BF、AF．
（1）求证：四边形BDEF是菱形．
（2）若AC＝4，求△AFD的面积．

21．（10分）2023年全国教育工作会议提出要把开展读书活动作为一件大事来抓，引导学生爱读书，读好书，善读书．某校为了推进这项工作，对全校学生一周内平均读书时间进行抽样调查，将调查结果的数据分成A、B、C、D、E五个等级并绘制成表格和扇形统计图如下．
等级
周平均读书时间t（单位；小时）
人数
A
0≤t＜1
4
B
1≤t＜2
a
C
2≤t＜3
20
D
3≤t＜4
15
E
t≥4
5
（1）求统计图表中a＝　 　，m＝　 　．
（2）已知该校共有2800名学生，试估计该校每周读书时间至少3小时的人数为 　 　．
（3）该校每月末从每个班读书时间在E等级的学生中选取2名学生参加读书心得交流会，九年级某班共有3名男生1名女生的读书时间在E等级，现从这4名学生中选取2名参加交流会，用画树状图或列表的方法求该班恰好选出1名男生1名女生参加交流会的概率．

22．（10分）如图，已知等腰△ABC，AB＝AC，以AB为直径作⊙O交BC于点D，过D作DF⊥AC于点E，交BA延长线于点F．
（1）求证：DF是⊙O的切线．
（2）若CE＝，CD＝2，求图中阴影部分的面积（结果用π表示）．

23．（12分）如图，正比例函数y＝kx（k≠0）与反比例函数y＝（m≠x）的图象交于A、B两点，A的横坐标为﹣4，B的纵坐标为﹣6．
（1）求反比例函数的表达式．
（2）观察图象，直接写出不等式kx＜的解集．
（3）将直线AB向上平移n个单位，交双曲线于C、D两点，交坐标轴于点E、F，连接OD、BD，若△OBD的面积为20，求直线CD的表达式．

24．（12分）综合与实践．
（1）提出问题．如图1，在△ABC和△ADE中，∠BAC＝∠DAE＝90°，且AB＝AC，AD＝AE，连接BD，连接CE交BD的延长线于点O．
①∠BOC的度数是 　 　．
②BD：CE＝　 　．
（2）类比探究．如图2，在△ABC和△DEC中，∠BAC＝∠EDC＝90°，且AB＝AC，DE＝DC，连接AD、BE并延长交于点O．
①∠AOB的度数是 　 　；
②AD：BE＝　 　．
（3）问题解决．如图3，在等边△ABC中，AD⊥BC于点D，点E在线段AD上（不与A重合），以AE为边在AD的左侧构造等边△AEF，将△AEF绕着点A在平面内顺时针旋转任意角度．如图4，M为EF的中点，N为BE的中点．
①说明△MND为等腰三角形．
②求∠MND的度数．

25．（14分）在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）经过点A（﹣1，0）和B（0，3），其顶点的横坐标为1．
（1）求抛物线的表达式．
（2）若直线x＝m与x轴交于点N，在第一象限内与抛物线交于点M，当m取何值时，使得AN+MN有最大值，并求出最大值．
（3）若点P为抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴上一动点，将抛物线向左平移1个单位长度后，Q为平移后抛物线上一动点．在（2）的条件下求得的点M，是否能与A、P、Q构成平行四边形？若能构成，求出Q点坐标；若不能构成，请说明理由．


2023年四川省巴中市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请使用2B铅笔将答题卡上对应题号的答案标号涂黑）
1．（4分）下列各数为无理数的是（　　）
A．0.618 B． C． D．
【分析】明确无理数是无限不循环小数；有理数分为整数和分数．
【解答】解：∵＝﹣3，
∴0.618；；均为有理数，是无理数．
故选：C．
【点评】本题考查实数的分类，明确无理数是无限不循环小数；有理数分为整数和分数．题目难度较小，多为考卷中第一题．
2．（4分）如图所示图形中为圆柱的是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】根据圆柱的特点进行判断即可．
【解答】解：由圆柱的特征可知，B选项是圆柱．
故选：B．
【点评】本题主要考查的是认识立体图形，认识常见几何图形是解题的关键．
3．（4分）下列运算正确的是（　　）
A．x2+x3＝x5 B．×＝
C．（a﹣b）2＝a2﹣b2 D．|m|＝m
【分析】根据二次根式的乘法、合并同类项、完全平方公式、绝对值的性质计算，判断即可．
【解答】解：A、x2与x3，不是同类项，不能合并，故本选项计算错误，不符合题意；
B、×＝，计算正确，符合题意；
C、（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2，故本选项计算错误，不符合题意；
D、当m≥0时，|m|＝m，故本选项计算错误，不符合题意；
故选：B．
【点评】本题考查的是二次根式的乘法、合并同类项、完全平方公式、绝对值的性质，掌握相关的运算法则和性质是解题的关键．
4．（4分）下列说法正确的是（　　）
A．多边形的外角和为360°
B．6a2b﹣2ab2＝2ab（3a﹣2b）
C．525000＝5.25×103
D．可能性很小的事情是不可能发生的
【分析】根据多边形的外角和等于360°，提公因式法分解因式，科学记数法的方法以及随机事件的定义逐一分析解答即可．
【解答】解：A、多边形的外角和等于360°，故选项符合题意；
B、6a2b﹣2ab2＝2ab（3a﹣b），故选项不符合题意；
C、525000＝5.25×105，故选项不符合题意；
D、可能性很小的事情是有可能发生的，故选项不符合题意．
故选：A．
【点评】本题考查了多边形的外角和定理，提公因式法分解因式，科学记数法以及随机事件的定义，熟练掌握相关的定理以及定义是解题的关键．
5．（4分）一次函数y＝（k﹣3）x+2的函数值y随x增大而减小，则k的取值范围是（　　）
A．k＞0 B．k＜0 C．k＞3 D．k＜3
【分析】根据一次函数y＝（k﹣3）x+2的函数值y随x增大而减小得到k﹣3＜0，从而求出k的取值范围．
【解答】解：∵一次函数y＝（k﹣3）x+2的函数值y随x增大而减小，
∴k﹣3＜0，
∴k＜3，
故选：D．
【点评】本题主要考查了一次函数图象的性质，熟知：对于一次函数y＝kx+b（k，b为常数，k≠0），当k＞0，y随x增大而增大；当k＜0时，y随x增大而减小．
6．（4分）某同学学习了正方体的表面展开图后，在如图所示的正方体的表面展开图上写下了“传承红色文化”六个字，还原成正方体后，“红”的对面是（　　）

A．传 B．承 C．文 D．化
【分析】根据正方体的平面展开图的特点，相对的两个面中间一定隔着一个小正方形，且没有公共的顶点，结合展开图很容易找到与“红”字所在面相对的面上的汉字．
【解答】解：根据图示知：“传”与“文”相对；
“承”与“色”相对；
“红”与“化”相对．
故选：D．
【点评】本题考查灵活运用正方体的相对面解答问题，解决本题的关键是根据正方体的平面展开图的特点，相对的两个面中间一定隔着一个小正方形，且没有公共的顶点．
7．（4分）若x满足x2+3x﹣5＝0，则代数式2x2+6x﹣3的值为（　　）
A．5 B．7 C．10 D．﹣13
【分析】首先将已知条件转化为x2+3x＝5，再利用提取公因式将2x2+6x﹣3转化为2（x2+3x）﹣3，然后整体代入即可得出答案．
【解答】解：∵x2+3x﹣5＝0，
∴x2+3x＝5，
∴2x2+6x﹣3＝2（x2+3x）﹣3＝2×5﹣3＝7．
故选：B．
【点评】此题主要考查了因式分解的应用，解答此题的关键是熟练掌握提取公因式，整体代入求值．
8．（4分）如图，⊙O是△ABC的外接圆，若∠C＝25°，则∠BAO＝（　　）

A．25° B．50° C．60° D．65°
【分析】由圆周角定理求得∠AOB的度数，再根据等腰三角形的两个底角相等和三角形的内角和定理可得结论．
【解答】解：连接OB，
∵∠C＝25°，
∴∠AOB＝2∠C＝50°，
∵OA＝OB，
∴∠BAO＝∠ABO＝＝65°．
故选：D．

【点评】本题考查了圆周角定理：同弧所对的圆周角是所对的圆心角的一半．解题时，借用了等腰三角形的两个底角相等和三角形的内角和定理．
9．（4分）某学校课后兴趣小组在开展手工制作活动中，美术老师要求用14张卡纸制作圆柱体包装盒，准备把这些卡纸分成两部分，一部分做侧面，另一部分做底面．已知每张卡纸可以裁出2个侧面，或者裁出3个底面，如果1个侧面和2个底面可以做成一个包装盒，这些卡纸最多可以做成包装盒的个数为（　　）
A．6 B．8 C．12 D．16
【分析】设用x张卡纸做侧面，用y张卡纸做底面，则做出侧面的数量为2x个，底面的数量为3y个，然后根据等量关系：底面数量＝侧面数量的2倍，列出方程组即可．
【解答】解：设用x张卡纸做侧面，用y张卡纸做底面，
由题意得，，
解得 ，
∴用6张卡纸做侧面，用8张卡纸做底面，则做出侧面的数量为12个，底面的数量为24个，这些卡纸最多可以做成包装盒的个数为12个．
故选：C．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程组．还需注意本题的等量关系是：底面数量＝侧面数量的2倍．
10．（4分）如图，在Rt△ABC中，AB＝6cm，BC＝8cm，D、E分别为AC、BC中点，连接AE、BD相交于点F，点G在CD上，且DG：GC＝1：2，则四边形DFEG的面积为（　　）

A．2cm2 B．4cm2 C．6cm2 D．8cm2
【分析】连接DE，由D、E分别为AC、BC中点，可得DE＝AB＝3cm，DE∥AB，即得△DEF∽△BAF，故＝（）2＝，＝＝，可得S△ABF＝S△ABE＝×AB•BE＝8（cm2），故S△DEF＝S△ABF＝2（cm2），又S△DEC＝DE•CE＝6（cm2），DG：GC＝1：2，可得S△DEG＝S△DEC＝2（cm2），从而S四边形DFGE＝S△DEF+S△DEG＝4（cm2），
【解答】解：连接DE，如图：

∵D、E分别为AC、BC中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE＝AB＝3cm，DE∥AB，
∴△DEF∽△BAF，
∴＝（）2＝，＝＝，
∴＝＝，
∴S△ABF＝S△ABE＝×AB•BE＝××6××8＝8（cm2），
∴S△DEF＝S△ABF＝2（cm2），
∵S△DEC＝DE•CE＝×3×4＝6（cm2），DG：GC＝1：2，
∴S△DEG＝S△DEC＝2（cm2），
∴S四边形DFGE＝S△DEF+S△DEG＝4（cm2），
∴四边形DFEG的面积为4cm2，
故选：B．
【点评】本题考查相似三角形判定与性质，三角形中位线及应用，解题的关键是掌握相似三角形的性质及应用．
11．（4分）我国南宋时期数学家杨辉于1261年写下的《详解九章算法》，书中记载的图表给出了（a+b）n展开式的系数规律．

当代数式x4﹣12x3+54x2﹣108x+81的值为1时，则x的值为（　　）
A．2 B．﹣4 C．2或4 D．2或﹣4
【分析】观察题中的图表，表示出（a+b）4，根据已知代数式的值为1，确定出x的值即可．
【解答】解：根据题意得：（a+b）4＝a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4，
∴x4﹣12x3+54x2﹣108x+81
＝x4+4x3•（﹣3）+6x2•（﹣3）2+4x•（﹣3）3+（﹣3）4
＝（x﹣3）4，
∴（x﹣3）4＝1，
开四次方得：x﹣3＝1或x﹣3＝﹣1，
解得：x＝2或4．
故选：C．
【点评】此题考查了完全平方公式，以及数学常识，弄清杨辉三角中的展开式规律是解本题的关键．
12．（4分）在平面直角坐标系中，直线y＝kx+1与抛物线y＝x2交于A、B两点，设A（x1，y1），B（x2，y2），则下列结论正确的个数为（　　）
①x1•x2＝﹣4．
②y1+y2＝4k2+2．
③当线段AB长取最小值时，则△AOB的面积为2．
④若点N（0，﹣1），则AN⊥BN．

A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】由题意，将问题转化成一元二次方程问题去解决即可得解．
【解答】解：由题意得x1，x2满足方程x2﹣kx﹣1＝0；y1，y2满足方程y2﹣（2+4k2）y+1＝0．
依据根与系数的关系得，x1+x2＝4k，x1•x2＝﹣4，y1+y2＝4k2+2，y1•y2＝1，
∴①、②正确．
由两点间距离公式得，AB＝＝＝4（k2+1）．
∴当k＝0时，AB最小值为4．
∴S△AOB＝×1×AB＝2．
∴③正确．
由题意，kAN＝，kBN＝，
∴kAN•kBN＝•＝＝＝﹣k2﹣1．
∴当k＝0时，AN⊥BN；当k≠0是，AN与BN不垂直．
∴④错误．
故选：C．
【点评】本题主要考查了二次函数的图象与一次函数图象的交点问题，解题时要能将问题转化成一元二次方程问题解决是关键．
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分．将正确答案直接写在答题卡相应的位置上）
13．（3分）在0，（﹣）2，﹣π，﹣2四个数中，最小的实数是 　﹣π　．
【分析】先计算，然后根据实数的大小比较法则比较各个实数即可得出最小的实数．
【解答】解：，
∵，
即，
∴最小的实数是﹣π，
故答案为：﹣π．
【点评】本题考查了实数的大小比较．熟知：正数大于0，负数小于0，正数大于一切负数，两个负数比较大小，绝对值大的反而小．
14．（3分）已知a为正整数，点P（4，2﹣a）在第一象限中，则a＝　1　．
【分析】根据平面直角坐标系中第一象限内的点的横、纵坐标都为正数，得到2﹣a＞0，即可求出a的取值范围，再根据a为正整数即可得到a的值．
【解答】解：∵点P（4，2﹣a）在第一象限，
∴2﹣a＞0，
∴a＜2，
又a为正整数，
∴a＝1．
故答案为：1．
【点评】本题主要考查了平面直角坐标系中点的坐标特征，熟知：第一象限内的点的坐标特征是（+，+），第二象限内的点的坐标特征是（﹣，+），第三象限内的点的坐标特征是（﹣，﹣），第四象限内的点的坐标特征是（+，﹣）．
15．（3分）这组数据1，3，5，2，8，13的中位数是 　4　．
【分析】先将这组数据从小到大重新排列，再根据中位数的定义求解即可．
【解答】解：将这组数据重新排列为1，2，3，5，8，13，
所以这组数据的中位数为×（3+5）＝4，
故答案为：4．
【点评】本题考查了中位数的知识，属于基础题，解答本题的关键是熟练掌握中位数的定义．
16．（3分）关于x的分式方程+＝3有增根，则m＝　﹣1　．
【分析】先去分母，再根据增根的意义列方程求解．
【解答】解：方程两边同乘（x﹣2）得：x+m﹣1＝3（x﹣2），
由题意得：x＝2是该整式方程的解，
∴2+m﹣1＝0，
解得：m＝﹣1，
故答案为：﹣1．
【点评】本题考查了分式方程的增根，理解增根的意义是解题的关键．
17．（3分）如图，已知正方形ABCD和正方形BEFG，点G在AD上，GF与CD交于点H，tan∠ABG＝，正方形ABCD的边长为8，则BH的长为 　10　．

【分析】根据同角的余角相等可得∠DGH＝∠ABG，进而得到tan∠DGH＝tan∠ABG＝，在Rt△ABG中，AG＝AB•tan∠ABG＝4，于是可求得＝，DG＝4，在Rt△DGH中，DH＝DG•tan∠DGH＝2，于是可求得GH＝＝，在Rt△BGH中，利用勾股定理即可求解．
【解答】解：∵四边形ABCD、BEFG均为正方形，
∴∠A＝∠BGF＝∠D＝90°，
∴∠AGB+∠DGH＝90°，
∵∠AGB+∠ABG＝90°，
∴∠DGH＝∠ABG，
∴tan∠DGH＝tan∠ABG＝，
∵正方形ABCD的边长为8，
∴AB＝AD＝8，
在Rt△ABG中，AG＝AB•tan∠ABG＝8×＝4，
∴＝＝，
∴DG＝AD﹣AG＝4，
在Rt△DGH中，DH＝DG•tan∠DGH＝＝2，
∴GH＝＝＝，
在Rt△BGH中，＝＝10．
故答案为：10．
【点评】本题主要考查正方形的性质、解直角三角形、勾股定理，利用同角的余角相等推出∠DGH＝∠ABG，再根据锐角三角函数和勾股定理求出相应线段的长度是解题关键．
18．（3分）规定：如果两个函数的图象关于y轴对称，那么称这两个函数互为“Y函数”．例如：函数y＝x+3与y＝﹣x+3互为“Y函数”．若函数y＝x2+（k﹣1）x+k﹣3的图象与x轴只有一个交点，则它的“Y函数”图象与x轴的交点坐标为 　（3，0）或（4，0）　．
【分析】根据关于y轴对称的图形的对称点的坐标特点，分情况讨论求出它的“Y函数”图象与x轴的交点坐标．
【解答】解：当k＝0时，函数解析式为y＝﹣x﹣3，
它的“Y函数”解析式为y＝x﹣3，它们的图象与x轴都只有一个交点，
∴它的“Y函数”图象与x轴的交点坐标为（3，0）；
当k≠0时，此函数为二次函数，
若二次函数的图象与x轴只有一个交点，
则二次函数的顶点在x轴上，
即，
解得k＝﹣1，
∴二次函数的解析式为＝，
∴它的“Y函数”解析式为，
令y＝0，
则，
解得x＝4，
∴二次函数的“Y函数”图象与x轴的交点坐标为（4，0），
综上，它的“Y函数”图象与x轴的交点坐标为（3，0）或（4，0）．
故答案为：（3，0）或（4，0）．
【点评】本题考查了新定义，二次函数与x轴的交点坐标，坐标与图形变换﹣﹣﹣﹣轴对称，求一次函数解析式和二次函数解析式，理解题意，采用分类讨论的思想是解题的关键．
三、解答题（本大题共7个小题，共84分．请将解答过程写在答题卡相应的位置上）
19．（16分）（1）计算：|3﹣|+（）﹣1﹣4sin60°+（）2．
（2）求不等式组的解集．
（3）先化简，再求值（+x﹣1）÷，其中x的值是方程x2﹣2x﹣3＝0的根．
【分析】（1）根据绝对值的定义，负整数指数幂，特殊角的三角函数，计算即可；
（2）根据不等式组的解法解不等式组即可；
（3）根据整式的混合运算化简后代入x的值计算即可．
【解答】解：（1）|3﹣|+（）﹣1﹣4sin60°+（）2
＝2﹣3+3﹣4×+2
＝2﹣2+2
＝2；
（2）解不等式①得，x＜2；
解不等式②得，x≥﹣3，
∴原不等式组的解集为﹣3＜x≤2；
（3）（+x﹣1）÷
＝
＝x+1，
解方程x2﹣2x﹣3＝0得x1＝3，x2＝﹣1，
∵x2（x+1）2≠0，
∴x≠0，x≠﹣1，
∴x＝3，
∴原式＝3+1＝4．
【点评】本题考查了一元二次方程的解，实数的运算，分式的化简和求值，解一元一次不等式，正确地进行运算是解题的关键．
20．（10分）如图，已知等边△ABC，AD⊥BC，E为AB中点．以D为圆心，适当长为半径画弧，交DE于点M，交DB于点N，分别以M、N为圆心，大于MN为半径画弧，两弧交于点P，作射线DP交AB于点G．过点E作EF∥BC交射线DP于点F，连接BF、AF．
（1）求证：四边形BDEF是菱形．
（2）若AC＝4，求△AFD的面积．

【分析】（1）根据等边三角形的性质得到D是BC的中点，求得△BED是等边三角形，得到BE＝BD＝DE，由作图知，DF平分∠EDB，根据角平分线的定义得到∠EDF＝∠FDB，根据平行线的性质得到∠EFD＝∠FDB，求得∠EFD＝∠RDF，推出四边形BDEF是平行四边形，根据菱形的判定定理即可得到结论；
（2）根据等边三角形的性质得到∠C＝60°，∠ADC＝90°，∠BAD＝30°，根据菱形的性质得到AG⊥FD，FG＝GD，根据三角形的面积公式即可得到结论．
【解答】（1）证明：∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝BC，∠ABC＝60°，
∵AD⊥BC，
∴BD＝BC＝AB，
∵E为AB中点．
∴，
∴BD＝DE，
∴△BED是等边三角形，
∴BE＝BD＝DE，
由作图知，DF平分∠EDB，
∴∠EDF＝∠FDB，
∵EF∥BC，
∴∠EFD＝∠FDB，
∴∠EFD＝∠EDF，
∴EF＝ED，
∴EF∥BD，
∴四边形BDEF是平行四边形，
∵DE＝BD，
∴四边形BDEF是菱形；
（2）解：∵△ABC是等边三角形，AD⊥BC，
∴∠C＝60°，∠ADC＝90°，∠BAD＝30°，
∵AC＝4，
∴＝2，
∵四边形BDEF是菱形，
∴AG⊥FD，FG＝GD，
在Rt△AGD中，∵∠BAD＝30°，
∴，
∴，
∴．

【点评】本题考查了作图﹣基本作图，角平分线的定义，菱形的判定，解直角三角形，平行四边形的判定和性质等边三角形的性质，熟练掌握菱形的判定定理是解题的关键．
21．（10分）2023年全国教育工作会议提出要把开展读书活动作为一件大事来抓，引导学生爱读书，读好书，善读书．某校为了推进这项工作，对全校学生一周内平均读书时间进行抽样调查，将调查结果的数据分成A、B、C、D、E五个等级并绘制成表格和扇形统计图如下．
等级
周平均读书时间t（单位；小时）
人数
A
0≤t＜1
4
B
1≤t＜2
a
C
2≤t＜3
20
D
3≤t＜4
15
E
t≥4
5
（1）求统计图表中a＝　6　，m＝　40　．
（2）已知该校共有2800名学生，试估计该校每周读书时间至少3小时的人数为 　1120人　．
（3）该校每月末从每个班读书时间在E等级的学生中选取2名学生参加读书心得交流会，九年级某班共有3名男生1名女生的读书时间在E等级，现从这4名学生中选取2名参加交流会，用画树状图或列表的方法求该班恰好选出1名男生1名女生参加交流会的概率．

【分析】（1）先根据D等级人数及其所占百分比求出样本容量，再根据各等级人数之和等于总人数可求得a的值，用C等级人数除以总人数看求得m的值；
（2）用总人数乘以样本中D、E组人数和占被调查人数的比例即可得出答案；
（3）列表得出所有等可能结果，从表格中找到选出1名男生1名女生参加交流会的结果，再根据概率公式列式计算即可．
【解答】解：（1）∵样本容量为15÷30%＝50，
∴a＝50﹣（4+20+15+5）＝6，
m%＝×100%＝40%，即m＝40，
故答案为：6，40；
（2）估计该校每周读书时间至少3小时的人数为2800×＝1120（人），
故答案为：1120人；
（3）根据题意列表如下：

男1
男2
男3
女
男1
﹣﹣
男2男1
男3男1
女男1
男2
男1男2
﹣﹣
男3男2
女男2
男3
男1男3
男2男3
﹣﹣
女男3
女
男1女
男2女
男3女
﹣﹣
由表格可知，共有12种等可能出现的结果，其中该班恰好选出1名男生1名女生参加交流会的结果有6种，
所以该班恰好选出1名男生1名女生参加交流会的概率为＝．
【点评】此题考查的是用列表法求概率以及频数分布表、扇形统计图等知识．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
22．（10分）如图，已知等腰△ABC，AB＝AC，以AB为直径作⊙O交BC于点D，过D作DF⊥AC于点E，交BA延长线于点F．
（1）求证：DF是⊙O的切线．
（2）若CE＝，CD＝2，求图中阴影部分的面积（结果用π表示）．

【分析】（1）连接OD，根据等腰三角形的性质证明AC∥OD，进而可以得到结论；
（2）连接AD，根据勾股定理求出ED＝1，根据锐角三角函数可得∠AOD＝60°，然后证明OD是△ABC的中位线，求出r＝，根据阴影部分的面积＝四边形AODE的面积﹣扇形AOD的面积，代入值即可．
【解答】（1）证明：如图，连接OD，
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∵OB＝OD，
∴∠B＝∠ODB，
∴∠ODB＝∠C，
∴AC∥OD，
∵DF⊥AC，
∴OD⊥DF，
∵OD是⊙O的半径，
∴DF是⊙O的切线；
（2）解：如图，连接AD，
设⊙O的半径为r，
在Rt△CED中，CE＝，CD＝2，
∴ED2＝CD2﹣CE2＝4﹣3＝1，
∴ED＝1，
∵cos∠C＝＝，
∴∠C＝30°，
∴∠B＝30°，
∴∠AOD＝60°，
∵AC∥OD，O为AB的中点，
∴OD是△ABC的中位线，
∴D是BC中点，
∴CD＝BD＝2，
∵AB是⊙O的的直径，
∴∠ADB＝90°，
∴AD＝AB＝r，
∴BD＝AD＝r＝2，
∴r＝，
∴AB＝2r＝，
∴AE＝AC﹣CE＝AB﹣＝﹣＝，
∴阴影部分的面积＝四边形AODE的面积﹣扇形AOD的面积
＝（+）×1﹣π×（）2
＝﹣．

【点评】本题考查了切线的判定和性质，等腰三角形的性质，三角形中位线定理，圆周角定理，扇形面积计算等知识点，能综合运用定理进行推理是解此题的关键．
23．（12分）如图，正比例函数y＝kx（k≠0）与反比例函数y＝（m≠x）的图象交于A、B两点，A的横坐标为﹣4，B的纵坐标为﹣6．
（1）求反比例函数的表达式．
（2）观察图象，直接写出不等式kx＜的解集．
（3）将直线AB向上平移n个单位，交双曲线于C、D两点，交坐标轴于点E、F，连接OD、BD，若△OBD的面积为20，求直线CD的表达式．

【分析】（1）利用利用反比例函数中心对称性，可求出A、B的坐标，进而可求出反比例函数的表达式；
（2）观察函数图象，根据两函数图象的上下位置关系，找出不等式kx＜的解集；
（3）方法一：连接BE，作BG⊥y轴于点G，求得直线AB的解析式，根据平行线间的距离相等得出S△OBD＝S△OBE＝20，即可求得OE＝10，从而求得直线CD为y＝﹣x+10．
方法二：连接BF，作BH⊥x轴于H，求得直线AB的解析式，根据平行线间的距离相等得出S△OBD＝S△OBF＝20，即可求得F（，0），从而求得直线CD为y＝﹣x+10．
【解答】解：（1）∵正比例函数y＝kx（k≠0）与反比例函数y＝（m≠x）的图象交于A、B两点，
∴A、B关于原点对称，
∵A的横坐标为﹣4，B的纵坐标为﹣6，
∴A（﹣4，6），B（4，﹣6），
∵点A（﹣4，6）在反比例函数y＝（m≠x）的图象上，
∴6＝，
∴m＝﹣24，
∴反比例函数的表达式为y＝﹣；
（2）观察函数图象，可知：当﹣4＜x＜0或x＞4时，正比例函数y＝kx的图象在反比例函数y＝（m≠x）的图象下方，
∴不等式kx＜的解集为﹣4＜x＜0或x＞4；
（3）方法一：连接BE，作BG⊥y轴于点G，
∵A（﹣4，6）在直线y＝kx上，
∴6＝﹣4k，解得k＝﹣，
∴直线AB的表达式为y＝﹣x，
∵CD∥AB，
∴S△OBD＝S△OBE＝20，
∵B（4，﹣6），
∴BG＝4，
∴S△OBE＝＝20，
∴OE＝10，
.E（0，10），
∴直线CD为y＝﹣x+10．
方法二：
连接BF，作BH⊥x轴于H，
∵A（﹣4，6）在直线y＝kx上，
∴k＝﹣，
∴直线AB的表达式为y＝﹣x，
∵CD∥AB，
∴S△OBD＝S△OBF＝20，
∵B（4，﹣6），
∴OF•6＝20，
∴OF＝，
∴F（，0），
设直线CD的表达式为y＝﹣x+b，
代入F点的坐标得，﹣×+b＝0
解得b＝10，
∴直线CD为y＝﹣x+10．


【点评】本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了反比例函数的对称性，待定系数法求一次函数和反比例函数的解析式，平行线间的距离相等，三角形的面积，根据三角形面积求得E、F点的坐标是解题的关键．
24．（12分）综合与实践．
（1）提出问题．如图1，在△ABC和△ADE中，∠BAC＝∠DAE＝90°，且AB＝AC，AD＝AE，连接BD，连接CE交BD的延长线于点O．
①∠BOC的度数是 　90°　．
②BD：CE＝　1：1　．
（2）类比探究．如图2，在△ABC和△DEC中，∠BAC＝∠EDC＝90°，且AB＝AC，DE＝DC，连接AD、BE并延长交于点O．
①∠AOB的度数是 　45°　；
②AD：BE＝　1：　．
（3）问题解决．如图3，在等边△ABC中，AD⊥BC于点D，点E在线段AD上（不与A重合），以AE为边在AD的左侧构造等边△AEF，将△AEF绕着点A在平面内顺时针旋转任意角度．如图4，M为EF的中点，N为BE的中点．
①说明△MND为等腰三角形．
②求∠MND的度数．

【分析】（1）（2）从图形可辩知，这个是手拉手全等或相似模型，按模型的相关结论解题．
（3）稍有变化，受前两问的启发，连接BF、CE完成手拉手的构造，再结合三角形中位线知识解题．
【解答】解：（1）①∵∠BAC＝∠DAE＝90°，
∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，
∴∠BAD＝∠CAE．
又∵AB＝AC，AD＝AE，
∴△BAD≌△CAE（SAS）．
∴∠ABD＝∠ACE，
∵∠BAC＝90°，
∴∠ABC+∠ACB＝∠ABD+∠OBC+∠ACB＝90°，
∴∠ACE+∠OBC+∠ACB＝90°，
即：∠BCE+∠OBC＝90°，
∴∠BOC＝90°．
故∠BOC的度数是90°．
②由①得△BAD≌△CAE，
∴BD＝CE．
故BD：CE＝1：1．
（2）①∵AB＝AC，DE＝DC，
∴，
又∵∠BAC＝∠EDC＝90°，
∴△ABC∽△DEC，
∴∠ACB＝∠DCB，．
∴∠ACE+∠ECB＝∠DCA+∠ACE，
∴∠ECB＝∠DCA．
∴△ECB∽△DCA，
∴∠CBE＝∠CAD，
∴∠AOB＝180°﹣∠ABO﹣∠BAO＝180°﹣∠ABO﹣∠CAD﹣∠BAC＝180°﹣∠ABO﹣∠CBE﹣90°＝180°﹣45°﹣90°＝45°．
故∠AOB 的度数是45°．
②由①得：△ECB∽△DCA．
∴AD：BE＝DC：EC，
∵∠EDC＝90°，且DE＝DC，
∴∠DCE＝45°，
∴＝cos45°＝．
∴．
（3）①解：连接BF、CE，延长CE交MN于点P，交BF于点O．
在等边△ABC中AB＝AC，又∵AD⊥BC于点D，
∴D为BC的中点，
又∵M为EF的中点，N为BE的中点，
∴MN、ND分别是在△BEF、△BCE的中位线，
∴MN＝BF，DN＝EC．
∵∠FAE＝∠BAC＝60°，
∴∠FAE+∠EAB＝∠BAC+∠EAB．
∴∠FAB＝∠EAC．
在△ACE和△ABF中，
，
∴△ACE≌△ABF（SAS）．
∴BF＝EC．
∴MN＝DN．
∴△MND为等腰三角形．
②∵△ACE≌△ABF，
∴∠ACE＝∠ABF，
由（1）（2）规律可知：∠BOC＝60°，
∴∠FOC＝180°﹣∠BOC＝180°﹣60°＝120°，
又∵BF∥MN，CP∥DN，
∴∠MND＝∠MPE＝∠FOC＝120°．

【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质及相似三角形的判定及性质．方法灵活多变，需要较强的构造能力．
25．（14分）在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）经过点A（﹣1，0）和B（0，3），其顶点的横坐标为1．
（1）求抛物线的表达式．
（2）若直线x＝m与x轴交于点N，在第一象限内与抛物线交于点M，当m取何值时，使得AN+MN有最大值，并求出最大值．
（3）若点P为抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴上一动点，将抛物线向左平移1个单位长度后，Q为平移后抛物线上一动点．在（2）的条件下求得的点M，是否能与A、P、Q构成平行四边形？若能构成，求出Q点坐标；若不能构成，请说明理由．

【分析】（1）由抛物线顶点横坐标，可得出抛物线的对称轴为直线x＝1，结合点A的坐标，可得出抛物线与x轴另一交点的坐标，结合点B的坐标，再利用待定系数法，即可求出抛物线的表达式；
（2）由“直线x＝m与x轴交于点N，在第一象限内与抛物线交于点M”，可得出点M，N的坐标，进而可得出AN，MN的值，代入AN+MN中，可得出AN+MN＝﹣（m﹣）2+，再利用二次函数的性质，即可解决最值问题；
（3）利用平移的性质，可得出平移后抛物线的表达式为y＝﹣x2+4，利用二次函数图象上点的坐标特征，可求出点M的坐标，假设存在以A，P，Q，M为顶点的平行四边形，设点P的坐标为（1，m），点Q的坐标为（n，﹣n2+4），分AM为对角线、AP为对角线及AQ为对角线三种情况考虑，由平行四边形的对角线互相平分，可得出关于n的一元一次方程，解之可得出n值，再将其代入点Q的坐标中，即可得出结论．
【解答】解：（1）∵抛物线的顶点横坐标为1，
∴抛物线的对称轴为直线x＝1．
∵点A的坐标为（﹣1，0），
∴抛物线与x轴的另一交点坐标为（3，0）．
将（﹣1，0），（3，0），（0，3）代入y＝ax2+bx+c得：，
解得：，
∴抛物线的表达式为y＝﹣x2+2x+3；
（2）∵直线x＝m与x轴交于点N，在第一象限内与抛物线交于点M，
∴点M的坐标为（m，﹣m2+2m+3），点N的坐标为（m，0），
∴MN＝﹣m2+2m+3，AN＝m+1，
∴AN+MN＝m+1+（﹣m2+2m+3）＝﹣m2+3m+4＝﹣（m﹣）2+，
∵﹣1＜0，且0＜m＜3，
∴当m＝时，AN+MN有最大值，最大值为；
（3）∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，
∴抛物线向左平移1个单位长度后的表达式为y＝﹣x2+4．
当x＝时，y＝﹣（）2+2×+3＝，
∴点M的坐标为（，）．
假设存在以A，P，Q，M为顶点的平行四边形，设点P的坐标为（1，m），点Q的坐标为（n，﹣n2+4）．
①当AM为对角线时，对角线AM，PQ互相平分，
∴＝，
解得：n＝﹣，
∴点Q的坐标为（﹣，）；
②当AP为对角线时，对角线AP，MQ互相平分，
∴＝，
解得：n＝﹣，
∴点Q的坐标为（﹣，）；
③当AQ为对角线时，对角线AQ，PM互相平分，
∴＝，
解得：n＝，
∴点Q的坐标为（，﹣）．
综上所述，存在以A，P，Q，M为顶点的平行四边形，点Q的坐标为（﹣，）或（﹣，）或（，﹣）．
【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征、待定系数法求二次函数解析式、二次函数的性质以及平行四边形的判定与性质，解题的关键是：（1）根据点的坐标，利用待定系数法求出抛物线的表达式；（2）利用二次函数的性质，求出AN+MN的最大值；（3）利用平行四边形的性质（对角线互相平分），找出关于n的一元一次方程．
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