2021年四川省巴中市中考数学试卷 （原版卷+解析卷）

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2020年四川省巴中市中考数学试卷
一、选择题
1. 的绝对值的相反数是（ ）
A. 3 B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】首先根据绝对值的含义和求法，可得：-3的绝对值是3，再根据相反数的含义和求法，求出3的相反数即可得到答案．
【详解】的绝对值的相反数是：．
故选：C．
【点睛】本题考查了绝对值和相反数，理解绝对值和相反数的含义是解题的关键．
2. 下列四个算式中正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据幂的乘方与积的乘方，合并同类项法则，同底数幂的乘法，同底数幂的除法逐个判断即可．
【详解】解：A．和不能合并，故本选项不符合题意；
B．，故本选项不符合题意；
C．，故本选项不符合题意；
D.，故本选项符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了幂的乘方与积的乘方，合并同类项法则，同底数幂的乘法，同底数幂的除法等知识点，能熟记知识点是解此题的关键．
3. 疫情期间，某口罩厂日生产量从原来的360万只增加到现在的480万只．把现在的口罩日生产量用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．
【详解】480万，
故选：C．
【点睛】本题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，正确确定a和n的值是解题关键．
4. 已知一个几何体由大小相等的若干个小正方体组成，其三视图如图所示，则组成该几何体的小正方体个数为（ ）


A. 6 B. 7 C. 8 D. 9
【答案】A
【解析】
【分析】从俯视图中可以看出最底层小正方体的个数及形状，从主视图和左视图可以看出每一层小正方体的层数和个数，从而算出总的个数．
【详解】解：根据俯视图可知该组合体共3行、2列，
结合主视图和左视图知该几何体中小正方体的分布情况如图所示：

则组成此几何体需要正方体个数为6．
故选：A．
【点睛】本题意在考查学生对三视图掌握程度和灵活运用能力，同时也体现了对空间想象能力方面的考查．如果掌握口诀“俯视图打地基，正视图疯狂盖，左视图拆违章”就更容易得到答案．
5. 某地区一周内每天的平均气温如下：25℃，27.3℃，21℃，21.4℃，28℃，33.6℃，30℃．这组数据的极差为（　　）
A. 8.6 B. 9 C. 12.2 D. 12.6
【答案】D
【解析】
【分析】根据极差的公式：极差=最大值-最小值，找出最大数据和最小数据，做差即可．
【详解】解：由题意可知，数据中最大的值33.6，最小值21，
所以极差为．
故选：D．
【点睛】本题考查极差的定义，属于 基础题型，极差反映了一组数据变化范围的大小．
6. 如图，在中，，AD平分，，，，则AC的长为（　　）

A. 9 B. 8 C. 6 D. 7
【答案】B
【解析】
【分析】根据角平分线的性质可得到，然后由可知，从而得到，所以是等边三角形，由，即可得出答案．
【详解】解：∵，AD平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∵，
∴
故选：B．
【点睛】本题主要考查了角平分线的性质、平行线的性质、等边三角形的判定和性质，熟练掌握相应的判定定理和性质是解题的关键，属于基础综合题．
7. 关于x的一元二次方程x2+（2a﹣3）x+a2+1＝0有两个实数根，则a的最大整数解是（　　）
A. 1 B. C. D. 0
【答案】D
【解析】
【分析】根据一元二次方程根的情况，用一元二次方程的判别式代入对应系数得到不等式计算即可.
【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个实数根，
∴，
解得，
则a的最大整数值是0．
故选：D．
【点睛】本题主要考查一元二次方程根的判别式，解题的关键是能够熟练地掌握和运用一元二次方程根的判别式.
8. 《九章算术》是我国古代数学的经典著作，书中有一个“折竹抵地”问题：“今有竹高丈，末折抵地，问折者高几何？”意思是：一根竹子，原来高一丈（一丈为十尺），虫伤有病，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离原竹子根部三尺远，问：原处还有多高的竹子？（　　）

A. 4尺 B. 4.55尺 C. 5尺 D. 5.55尺
【答案】B
【解析】
【分析】竹子折断后刚好构成一直角三角形，设竹子折断处离地面x尺，则斜边为（10-x）尺．利用勾股定理解题即可．
【详解】解：设竹子折断处离地面x尺，则斜边为尺，
根据勾股定理得：，
解得：．
所以，原处还有4.55尺高的竹子．
故选：B．
【点睛】此题考查了勾股定理的应用，解题的关键是利用题目信息构造直角三角形，从而运用勾股定理解题．
9. 如图，一次函数y1＝ax+b（a≠0）与反比例函数（k≠0，x＞0）的交点A坐标为（2，1），当y1≤y2时，x的取值范围是（　　）

A. 0＜x≤2 B. 0＜x＜2 C. x＞2 D. x≥2
【答案】A
【解析】
【分析】根据一次函数y1=ax+b（a≠0）与反比例函数的交点坐标即可得到结论．
【详解】由图象得，当y1≤y2时，x的取值范围是0＜x≤2，
故选：A．
【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，根据A的坐标，结合图象是解题的关键．
10. 如图，在中，点在圆上，，则的半径的长是（ ）

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据圆周角定理求出，再求出即可．
【详解】解：根据圆周角定理得：，
，
，
，，
，
，
故选：．
【点睛】本题考查了圆周角定理和解直角三角形，能求出是直角三角形是解此题的关键．
11. 定义运算：若am＝b，则logab＝m（a＞0），例如23＝8，则log28＝3．运用以上定义，计算：log5125﹣log381＝（　　）
A. ﹣1 B. 2 C. 1 D. 44
【答案】A
【解析】
【分析】先根据乘方确定53=125，34=81，根据新定义求出log5125=3，log381=4，再计算出所求式子的值即可．
详解】解：∵53=125，34=81，
∴log5125=3，log381=4，
∴log5125﹣log381，
＝3﹣4，
＝﹣1，
故选：A．
【点睛】本题考查新定义对数函数运算，仔细阅读题目中的定义，找出新定义运算的实质，掌握新定义对数函数运算，仔细阅读题目中的定义，找出新定义运算的实质，解题关键理解新定义就是乘方的逆运算．
12. 如图，在矩形中，，对角线，交于点，，为上一动点，于点，于点，分别以，为边向外作正方形和，面积分别为，．则下列结论：①；②点在运动过程中，的值始终保持不变，为；③的最小值为6；④当时，则．其中正确的结论有（ ）

A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
【答案】C
【解析】
【分析】①由矩形的性质和特殊角三角函数可得和是等边三角形，进而可以判断；
②连接．由求得答案；
③利用完全平方公式变形，当且仅当时，等号成立，即可判断；
④根据已知条件证明，对应边成比例即可判断．
【详解】解：①∵，
∴，
∵四边形是矩形，
∴OA=OC=OD=OB，
∴和是等边三角形，
∴BD=2OA=2AB=8，故①正确；
②连接，由①知，
∵矩形的两边，，
∴，
∴，，
∴．
∴，故②正确；
③∵，
∴，
∴，
当且仅当时，等号成立，故③正确；
④∵∠AEP=∠DFP，∠PAE=∠PDF，
∴，
∴AE：DF=PE：PF=EG：FM=PH：PN=5：6,
∵AE:DF=(AG+GE):（DM+FM）,
∴AG：DM=5：6,，故④错误．
综上所述，其中正确的结论有①②③，3个．
故选：C．
【点睛】本题考查了矩形的性质，特殊角的三角形，三角形的相似，完全平方公式，等边三角形的判定与性质，灵活运用矩形的性质，特殊角的函数值，相似三角形的判定和性质是解题的关键．
二、填空题
13. 分解因式：_____．
【答案】
【解析】
【分析】先提取公因式3a，再根据完全平方公式进行二次分解即可．
【详解】．
故答案为
【点睛】本题考查了提公因式法，公式法分解因式，提取公因式后利用完全平方公式进行二次分解，注意分解要彻底．
14. 函数中自变量x的取值范围是_________．
【答案】
【解析】
【分析】根据被开方数大于等于0，分母不等于0列式求解即可．
【详解】解：由题意得，
解得．
故答案为：．
【点睛】此题考查函数自变量的取值范围，分式有意义条件，二次根式有意义条件，解题关键在于掌握其性质定义．
15. 若关于x的分式方程有增根，则_________．
【答案】或
【解析】
【分析】先确定最简公分母，令最简公分母为0求出x的值，然后把分式方程化为整式方程，再将x的值代入整式方程，解关于m的方程即可得解．
【详解】解：分式方程最简公分母，
由分式方程有增根，得到或，即或，
分式方程去分母得：，
把代入方程得：，
解得：．
把代入方程得：，
解得：．
故填：或．
【点睛】本题考查了分式方程的增根问题，增根问题可按如下步骤进行：①让最简公分母为0确定增根；②化分式方程为整式方程；③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．
16. 如图，在实验桌上有完全相同的烧杯内装有体积相同且无色透明的3种液体，其中1杯酒精，3杯生理盐水，2杯白糖水，从中任取一杯为白糖水的概率是_________．

【答案】
【解析】
【分析】利用概率公式即可得答案．
【详解】∵在实验桌上有完全相同的烧杯内装有体积相同且无色透明的3种液体，1杯酒精，3杯生理盐水，2杯白糖水，
∴从中任取一杯为白糖水的概率是：，
故答案为：
【点睛】本题考查简单的概率计算，熟练掌握概率公式是解题关键．
17. 如图，是中国象棋残局图的一部分，请用线段将图中棋子所在的格点按指定方向顺次连接，组成一个多边形．连接顺序为：将→象→炮→兵→马→車→将，则组成的多边形的内角和为_________度．

【答案】720
【解析】
【分析】根据题意可知，组成的多边形是六边形，根据多边形内角和定理即可求解．
【详解】解：如图，根据题意，组成多边形是六边形，

（6﹣2）×180°＝720°．
故组成的多边形的内角和为720度．
故答案为：720．
【点睛】考查了多边形内角和，关键是熟练掌握多边形内角和定理．
18. 现有一“祥云”零件剖面图，如图所示，它由一个半圆和左右两支抛物线的一部分组成，且关于y轴对称．其中半圆交y轴于点E，直径，；两支抛物线的顶点分别为点A、点B．与x轴分别交于点C、点D；直线BC的解析式为：．则零件中BD这段曲线的解析式为_________．

【答案】
【解析】
【分析】记AB与y轴的交点为F，根据图象关于y轴对称且直径AB＝2，OE＝2得出点B（1，1），由点B坐标求出直线BC解析式，据此得出点C坐标，继而得出点D坐标，将点D坐标代入右侧抛物线解析式y＝a（x﹣1）2+1，求出a的值即可得出答案．
【详解】解：记AB与y轴的交点为F，

∵AB＝2，且半圆关于y轴对称，
∴FA＝FB＝FE＝1，
∵OE＝2，
∴，
则右侧抛物线的顶点B坐标为，
将点代入得，
解得，
∴，
当时，，
解得，
∴，
则，
设右侧抛物线解析式为，
将点代入解析式得，
解得，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是根据轴对称图形的性质得出点B坐标及熟练运用待定系数法求函数解析式．
三、解答题
19. （1）计算：．
（2）解一元二次方程：．
（3）先化简：，再从不等式中选取一个合适的整数，代入求值．
【答案】（1）-2；（2），；（3），，-1
【解析】
【分析】（1）根据特殊角的三角函数值，整数指数幂运算法则以及立方根的定义先化简，然后合并求解即可；
（2）先整理为一般式，然后利用因式分解法求解即可；
（3）根据分式的混合运算法则先化简，然后根据分式有意义的条件选择合适的数值进行代入求解即可．
【详解】解：（1）原式

；
（2）方程整理得：，
分解因式得：，
可得：或，
解得：，；
（3）原式


由不等式的整数解为，，0，1，2，
其中，0，1，2时，原式都没有意义，
当时，原式．
【点睛】本题考查特殊角的三角函数值，整数指数幂运算，解一元二次方程以及分式化简求值等，熟练掌握相关的运算法则以及求解方法，理解分式有意义的条件是解题关键．
20. 如图所示，在边长为1cm的小正方形组成的网格中．

（1）将沿y轴正方向向上平移5个单位长度后，得到，请作出，并求出的长度；
（2）再将绕坐标原点O顺时针旋转180°，得到，请作出，并直接写出点的坐标；
（3）在（1）（2）的条件下，求线段AB在变换过程中扫过图形的面积和．
【答案】（1）见解析，；（2）见解析，B2(4，﹣4)；（3）
【解析】
【分析】（1）分别将点A、B、C向上平移5个单位得到对应点，再顺次连接可得；
（2）分别将点A、B、C绕点O顺时针旋转180°得到对应点，再顺次连接可得；
（3）平行四边形的面积加上大半圆的面积与小半圆面积的差即可求得．
【详解】解：（1）如图所示，即为所求，；
（2）如图，△A2B2C2即为所求，B2（4，﹣4）；

（3）在（1）（2）的条件下，线段AB在变换过程中扫过图形的面积和为：

【点睛】本题考查了作图-平移变换、旋转变换，解题的关键是熟练掌握平移变换和旋转变换的定义和性质．
21. 巴中某商场在6月份举行了“年中大促，好物网罗”集赞领礼品活动．为了解参与活动顾客的集赞情况，商场从参与活动的顾客中，随机抽取28名顾客的集赞数，调查数据如下（单位：个）：36，26，29，38，48，59，48，52，43，33，18，61，40，52，64，55，46，56，45，43，37，55，47，52，66，57，36，45
整理上面的数据得到如下频数分布表和频数分布直方图：
礼品类别
集赞数（a）
频数
一盒牙膏

2
一条毛巾

5
一提纸巾

m
一件牛奶

9
一桶食用油

n

回答下列问题：
（1）求频数分布表中m，n的值，并补全频数分布直方图；
（2）求以上28个数据的中位数和众数；
（3）已知参加此次活动的顾客有364人，领到礼品为“一件牛奶”的顾客大约有多少人？
【答案】（1），，补图见解析；（2）中位数是，众数是52；（3）117人
【解析】
【分析】（1）将频数按组排序可得中有8个数据，可求，有4个数据，可求；补全的频数分布直方图．如图所示：
（2）根据中位数定义可求中位数是46.5，根据众数的定义可求众数是52；
（3）样本中礼品为“一件牛奶”的顾客有占样本的百分比，×参加此次活动的顾客有364人计算即可．
【详解】解：（1）将频数按组排序18，26;29，33，36，36，37;38，40，43，43，45，45, 46， 47;
48，48，52，52，52，55，55，56，57;59， 61， 64， 66，
中有8个数据,则，
有4个数据,则；
补全的频数分布直方图．如图所示：

（2）一共有28个数据,根据中位数定义位于第14,15位两个数据分别为46,47平均数，
∴中位数是46.5，
根据众数的定义重复出现次数3次最多的数据是52，
∴众数52；
（3）样本中礼品为“一件牛奶”的顾客有9人，占样本的百分比，
参加此次活动的顾客有364人，领到礼品为“一件牛奶”的顾客大约有（人）．
答：领到礼品为“一件牛奶”的顾客大约有117人．
【点睛】本题考查频数，和补画频率直方分布图，中位数众数，用样本的百分比含量估计总体中的数量．
22. 某果农为响应国家“乡村振兴”战略的号召．计划种植苹果树和桔子树共100棵．若种植40棵苹果树，60棵桔子树共需投入成本9600元；若种植40棵桔子树，60棵苹果树共需投入成本10400元．
（1）求苹果树和桔子树每棵各需投入成本多少元？
（2）若苹果树的种植棵数不少于桔子树的，且总成本投入不超过9710元，问：共有几种种植方案？
（3）在（2）的条件下，已知平均每棵苹果树可产30kg苹果，售价为10元/kg；平均每棵桔子树可产25kg枯子，售价为6元/kg，问：该果农怎样选择种植方案才能使所获利润最大？最大利润为多少元？
【答案】（1）苹果树每棵需投入成本120元，桔子树每棵需投入成本80元；（2）共有5种种植方案；（3）该果农种植苹果树42棵，桔子树58棵时，获得利润最大，最大利润为11620元．
【解析】
【分析】（1）设每棵苹果树需投入成本元，每棵桔子树需投入成本元，根据两种方案的成本建立方程组，解方程组即可得；
（2）设苹果树的种植棵数为棵，从而可得桔子树的种植棵数为棵，根据“苹果树的种植棵数不少于桔子树的，且总成本投入不超过9710元”建立不等式组，解不等式组，结合为整数即可得；
（3）设该果农所获利润为元，在（2）的基础上，根据利润公式建立与的函数关系式，再利用一次函数的性质即可得．
【详解】解：（1）设每棵苹果树需投入成本元，每棵桔子树需投入成本元，
由题意得：，
解得：，
答：苹果树每棵需投入成本120元，桔子树每棵需投入成本80元；
（2）设苹果树的种植棵数为棵，则桔子树的种植棵数为棵，
由题意得：，
解得：，
∵a取整数，
∴，39，40，41，42，
∴共有5种种植方案；
（3）设该果农所获利润为元，
由题意得：，
即，
∵，
∴随的增大而增大，
∴在（2）的条件下，当时，取得最大值，最大值为（元），
此时，
答：该果农种植苹果树42棵，桔子树58棵时，获得利润最大，最大利润为11620元．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式组的应用、一次函数的应用，较难的是题（3），正确建立函数关系式是解题关键．
23. 如图，海面上产生了一股强台风．台风中心A在某沿海城市B的正西方向，小岛C位于城市B北偏东29°方向上，台风中心沿北偏东60°方向向小岛C移动，此时台合风中心距离小岛200海里．

（1）过点B作于点P，求的度数；
（2）据监测，在距离台风中心50海里范围内均会受到台风影响（假设台风在移动过程中风力保持不变）．问：在台风移动过程中，沿海城市B是否会受到台风影响？请说明理由．（参考数：，，，）
【答案】（1）59°；（2）沿海城市B不会受到台风影响，见解析
【解析】
【分析】（1）先由∠MAC=60°知∠BAC=30°，再由BP⊥AC知∠ABP=60°，结合∠CBN=29°，∠ABN=90°得∠ABC=119°，继而根据∠PBC=∠ABC-∠ABP可得答案；
（2）先求出∠C=31°，由tan31°=0.60知，设BP为x海里，表示出海里，海里，根据AC=200海里建立关于x的方程，解之求出x的值，与50进行大小比较可得答案．
【详解】解：（1）∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
又∵，，
∴，
∴；
（2）不会受到影响．理由如下：
由（1）可知，，
∴，
又∵，
∴，
设BP为x海里，
则海里，海里，
∴，
解得：，
∵，
∴沿海城市B不会受到台风影响．
【点睛】本题主要考查解直角三角形的应用，解题的关键是掌握直角三角形的有关性质和三角函数的定义及其应用．
24. 如图，已知AB是⊙O的直径，直线CD与⊙O相切于点C，交AB的延长线于点E，AC平分．且，．

（1）求证：；
（2）若点P为线段CE上一动点，当与相似时，求EP的长．
【答案】（1）见解析；（2）或
【解析】
【分析】（1）连接OC，得出∠OAC＝∠OCA，根据角平分线的定义得出∠DAC＝∠OAC，求出∠DAC＝∠OCA，推出OC∥AD，根据切线的性质得出OC⊥DE即可；
（2）解直角三角形求出∠BAC＝30°，BC＝3，推出△BCO为等边三角形，求出EC＝AC，BE＝BC＝BO＝AO＝3，根据相似三角形的性质和判定求出答案即可．
【详解】（1）证明：连接OC，
∵，
∴，
又∵AC平分，
∴，
∴，
∴∥，
又∵DE是⊙O的切线，
∴，
∴；

（2）解：连接BC，
∵AB为⊙O直径，
∴，
又∵，，
∴，
∴，，
∴为等边三角形，
∴，，
∴，，
①当∥时，，
∴，
即，
∴；
②当点P与点C重合时，，
∴；
综上：当与相似时，或．
【点睛】本题考查了圆周角定理，切线的性质，平行线的性质和判定，等腰三角形的性质，解直角三角形，相似三角形的性质和判定等知识点，能综合运用知识点进行推理和计算是解此题的关键．
25. 如图，抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B左侧），交y轴正半轴于点C，M为BC中点，点P为抛物线上一动点，已知点A坐标，且．

（1）求抛物线的解析式；
（2）当时，求PM长；
（3）当时，求点P的坐标．
【答案】（1）；（2）或；（3）或或
【解析】
【分析】（1）先求出点B，点C坐标，利用待定系数法可求解析式；
（2）由全等三角形的性质可得PO＝PC，，可得点P在CO的垂直平分线上，即可求解；
（3）分两种情况讨论，利用面积关系列出方程即可求解．
【详解】解：（1）∵，
∴，
又∵，
∴，，
∴，，
∵点B，点C，点A在抛物线上，
∴，
解得：，
∴抛物线解析式为：；
（2）连接OM，

∵M为BC中点，
∴，
∵，
∴，，
∴MP是OC的垂直平分线，
∴轴，
∴点P的纵坐标为1，
当时，代入，
解得：，
∴或，
∴或；
（3）∵，，
∴，
∵，，
∴直线BC解析式为，
当点P在BC上方时，如图2，过点P作轴，交BC于点E，

设点，则点，
∴，
∴，
∴，
∴点；
当点P在BC下方时，如图3，过点P作轴，交BC于点E，

∴，
∴，
∴，
∴点或；
综上，点P的坐标为：或或．
【点睛】本题是二次函数综合题，考查了二次函数的性质，待定系数法求解析式，全等三角形的性质等知识，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键．