2023年四川省巴中市中考数学试卷（含解析）

2023年四川省巴中市中考数学试卷

一、选择题（本大题共12小题，共48.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  下列各数为无理数的是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  如图所示图形中为圆柱的是(    )

A.  B.  C.  D.

3.  下列运算正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

4.  下列说法正确的是(    )

A. 多边形的外角和为 B.
C.  D. 可能性很小的事情是不可能发生的

5.  一次函数的函数值随增大而减小，则的取值范围是(    )

A.  B.  C.  D.

6.  某同学学习了正方体的表面展开图后，在如图所示的正方体的表面展开图上写下了“传承红色文化”六个字，还原成正方体后，“红”的对面是(    )

A. 传 B. 承 C. 文 D. 化

7.  若满足，则代数式的值为(    )

A.  B.  C.  D.

8.  如图，是的外接圆，若，则(    )

A.
B.
C.
D.

9.  某学校课后兴趣小组在开展手工制作活动中，美术老师要求用张卡纸制作圆柱体包装盒，准备把这些卡纸分成两部分，一部分做侧面，另一部分做底面已知每张卡纸可以裁出个侧面，或者裁出个底面，如果个侧面和个底面可以做成一个包装盒，这些卡纸最多可以做成包装盒的个数为(    )

A.  B.  C.  D.

10.  如图，在中，，，、分别为、中点，连接、相交于点，点在上，且：：，则四边形的面积为(    )

A.  B.  C.  D.

11.  我国南宋时期数学家杨辉于年写下的详解九章算法，书中记载的图表给出了展开式的系数规律．

当代数式的值为时，则的值为(    )

A.  B.  C. 或 D. 或

12.  在平面直角坐标系中，直线与抛物线交于、两点，设，，则下列结论正确的个数为(    )
．
．
当线段长取最小值时，则的面积为．
若点，则．

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）

13.  在，，，四个数中，最小的实数是______ ．

14.  已知为正整数，点在第一象限中，则 ______ ．

15.  这组数据，，，，，的中位数是______ ．

16.  关于的分式方程有增根，则 ______ ．

17.  如图，已知正方形和正方形，点在上，与交于点，，正方形的边长为，则的长为______ ．

18.  规定：如果两个函数的图象关于轴对称，那么称这两个函数互为“函数”例如：函数与互为“函数”若函数的图象与轴只有一个交点，则它的“函数”图象与轴的交点坐标为______ ．

三、解答题（本大题共7小题，共84.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

19.  本小题分
计算：．
求不等式组的解集．
先化简，再求值，其中的值是方程的根．

20.  本小题分
如图，已知等边，，为中点以为圆心，适当长为半径画弧，交于点，交于点，分别以、为圆心，大于为半径画弧，两弧交于点，作射线交于点过点作交射线于点，连接、．
求证：四边形是菱形．
若，求的面积．

21.  本小题分
年全国教育工作会议提出要把开展读书活动作为一件大事来抓，引导学生爱读书，读好书，善读书某校为了推进这项工作，对全校学生一周内平均读书时间进行抽样调查，将调查结果的数据分成、、、、五个等级并绘制成表格和扇形统计图如下．

求统计图表中 ______ ， ______ ．
已知该校共有名学生，试估计该校每周读书时间至少小时的人数为______ ．
该校每月末从每个班读书时间在等级的学生中选取名学生参加读书心得交流会，九年级某班共有名男生名女生的读书时间在等级，现从这名学生中选取名参加交流会，用画树状图或列表的方法求该班恰好选出名男生名女生参加交流会的概率．

22.  本小题分
如图，已知等腰，，以为直径作交于点，过作于点，交延长线于点．
求证：是的切线．
若，，求图中阴影部分的面积结果用表示．

23.  本小题分
如图，正比例函数与反比例函数的图象交于、两点，的横坐标为，的纵坐标为．
求反比例函数的表达式．
观察图象，直接写出不等式的解集．
将直线向上平移个单位，交双曲线于、两点，交坐标轴于点、，连接、，若的面积为，求直线的表达式．

24.  本小题分
综合与实践．
提出问题如图，在和中，，且，，连接，连接交的延长线于点．
的度数是______ ．
： ______ ．
类比探究如图，在和中，，且，，连接、并延长交于点．
的度数是______ ；
： ______ ．
问题解决如图，在等边中，于点，点在线段上不与重合，以为边在的左侧构造等边，将绕着点在平面内顺时针旋转任意角度如图，为的中点，为的中点．
说明为等腰三角形．
求的度数．

 

25.  本小题分
在平面直角坐标系中，抛物线经过点和，其顶点的横坐标为．
求抛物线的表达式．
若直线与轴交于点，在第一象限内与抛物线交于点，当取何值时，使得有最大值，并求出最大值．
若点为抛物线的对称轴上一动点，将抛物线向左平移个单位长度后，为平移后抛物线上一动点在的条件下求得的点，是否能与、、构成平行四边形？若能构成，求出点坐标；若不能构成，请说明理由．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：，
；；均为有理数，是无理数．
故选：．
明确无理数是无限不循环小数；有理数分为整数和分数．
本题考查实数的分类，明确无理数是无限不循环小数；有理数分为整数和分数．题目难度较小，多为考卷中第一题．
 

2.【答案】 

【解析】解：由圆柱的特征可知，选项是圆柱．
故选：．
根据圆柱的特点进行判断即可．
本题主要考查的是认识立体图形，认识常见几何图形是解题的关键．
 

3.【答案】 

【解析】解：、与，不是同类项，不能合并，故本选项计算错误，不符合题意；
B、，计算正确，符合题意；
C、，故本选项计算错误，不符合题意；
D、当时，，故本选项计算错误，不符合题意；
故选：．
根据二次根式的乘法、合并同类项、完全平方公式、绝对值的性质计算，判断即可．
本题考查的是二次根式的乘法、合并同类项、完全平方公式、绝对值的性质，掌握相关的运算法则和性质是解题的关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：、多边形的外角和等于，故选项符合题意；
B、，故选项不符合题意；
C、，故选项不符合题意；
D、可能性很小的事情是有可能发生的，故选项不符合题意．
故选：．
根据多边形的外角和等于，提公因式法分解因式，科学记数法的方法以及随机事件的定义逐一分析解答即可．
本题考查了多边形的外角和定理，提公因式法分解因式，科学记数法以及随机事件的定义，熟练掌握相关的定理以及定义是解题的关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：一次函数的函数值随增大而减小，
，
，
故选：．
根据一次函数的函数值随增大而减小得到，从而求出的取值范围．
本题主要考查了一次函数图象的性质，熟知：对于一次函数为常数，，当，随增大而增大；当时，随增大而减小．
 

6.【答案】 

【解析】解：根据图示知：“传”与“文”相对；
“承”与“色”相对；
“红”与“化”相对．
故选：．
根据正方体的平面展开图的特点，相对的两个面中间一定隔着一个小正方形，且没有公共的顶点，结合展开图很容易找到与“红”字所在面相对的面上的汉字．
本题考查灵活运用正方体的相对面解答问题，解决本题的关键是根据正方体的平面展开图的特点，相对的两个面中间一定隔着一个小正方形，且没有公共的顶点．
 

7.【答案】 

【解析】解：，
，
．
故选：．
首先将已知条件转化为，再利用提取公因式将转化为，然后整体代入即可得出答案．
此题主要考查了因式分解的应用，解答此题的关键是熟练掌握提取公因式，整体代入求值．
 

8.【答案】 

【解析】解：连接，
，
，
，
．
故选：．
由圆周角定理求得的度数，再根据等腰三角形的两个底角相等和三角形的内角和定理可得结论．
本题考查了圆周角定理：同弧所对的圆周角是所对的圆心角的一半．解题时，借用了等腰三角形的两个底角相等和三角形的内角和定理．
 

9.【答案】 

【解析】解：设用张卡纸做侧面，用张卡纸做底面，
由题意得，，
解得，
用张卡纸做侧面，用张卡纸做底面，则做出侧面的数量为个，底面的数量为个，这些卡纸最多可以做成包装盒的个数为个．
故选：．
设用张卡纸做侧面，用张卡纸做底面，则做出侧面的数量为个，底面的数量为个，然后根据等量关系：底面数量侧面数量的倍，列出方程组即可．
本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程组．还需注意本题的等量关系是：底面数量侧面数量的倍．
 

10.【答案】 

【解析】解：连接，如图：

、分别为、中点，
是的中位线，
，，
∽，
，，
，
，
，
，：：，
，
，
四边形的面积为，
故选：．
连接，由、分别为、中点，可得，，即得∽，故，，可得，故，又，：：，可得，从而，
本题考查相似三角形判定与性质，三角形中位线及应用，解题的关键是掌握相似三角形的性质及应用．
 

11.【答案】 

【解析】解：根据题意得：，


，
，
开四次方得：或，
解得：或．
故选：．
观察题中的图表，表示出，根据已知代数式的值为，确定出的值即可．
此题考查了完全平方公式，以及数学常识，弄清杨辉三角中的展开式规律是解本题的关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：由题意得，满足方程；，满足方程．
依据根与系数的关系得，，，，，
、正确．
由两点间距离公式得，．
当时，最小值为．
．
正确．
由题意，，，
．
当时，；当是，与不垂直．
错误．
故选：．
由题意，将问题转化成一元二次方程问题去解决即可得解．
本题主要考查了二次函数的图象与一次函数图象的交点问题，解题时要能将问题转化成一元二次方程问题解决是关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：，
，
即，
最小的实数是，
故答案为：．
先计算，然后根据实数的大小比较法则比较各个实数即可得出最小的实数．
本题考查了实数的大小比较．熟知：正数大于，负数小于，正数大于一切负数，两个负数比较大小，绝对值大的反而小．
 

14.【答案】 

【解析】解：点在第一象限，
，
，
又为正整数，
．
故答案为：．
根据平面直角坐标系中第一象限内的点的横、纵坐标都为正数，得到，即可求出的取值范围，再根据为正整数即可得到的值．
本题主要考查了平面直角坐标系中点的坐标特征，熟知：第一象限内的点的坐标特征是，第二象限内的点的坐标特征是，第三象限内的点的坐标特征是，第四象限内的点的坐标特征是．
 

15.【答案】 

【解析】解：将这组数据重新排列为，，，，，，
所以这组数据的中位数为，
故答案为：．
先将这组数据从小到大重新排列，再根据中位数的定义求解即可．
本题考查了中位数的知识，属于基础题，解答本题的关键是熟练掌握中位数的定义．
 

16.【答案】 

【解析】解：方程两边同乘得：，
由题意得：是该整式方程的解，
，
解得：，
故答案为：．
先去分母，再根据增根的意义列方程求解．
本题考查了分式方程的增根，理解增根的意义是解题的关键．
 

17.【答案】 

【解析】解：四边形、均为正方形，
，
，
，
，
，
正方形的边长为，
，
在中，，
，
，
在中，，
，
在中，．
故答案为：．
根据同角的余角相等可得，进而得到，在中，，于是可求得，，在中，，于是可求得，在中，利用勾股定理即可求解．
本题主要考查正方形的性质、解直角三角形、勾股定理，利用同角的余角相等推出，再根据锐角三角函数和勾股定理求出相应线段的长度是解题关键．
 

18.【答案】或 

【解析】解：当时，函数解析式为，
它的“函数”解析式为，它们的图象与轴都只有一个交点，
它的“函数”图象与轴的交点坐标为；
当时，此函数为二次函数，
若二次函数的图象与轴只有一个交点，
则二次函数的顶点在轴上，
即，
解得，
二次函数的解析式为，
它的“函数”解析式为，
令，
则，
解得，
二次函数的“函数”图象与轴的交点坐标为，
综上，它的“函数”图象与轴的交点坐标为或．
故答案为：或．
根据关于轴对称的图形的对称点的坐标特点，分情况讨论求出它的“函数”图象与轴的交点坐标．
本题考查了新定义，二次函数与轴的交点坐标，坐标与图形变换----轴对称，求一次函数解析式和二次函数解析式，理解题意，采用分类讨论的思想是解题的关键．
 

19.【答案】解：


；
解不等式得，；
解不等式得，，
原不等式组的解集为；


，
解方程得，，
，
，，
，
原式． 

【解析】根据绝对值的定义，负整数指数幂，特殊角的三角函数，计算即可；
根据不等式组的解法解不等式组即可；
根据整式的混合运算化简后代入的值计算即可．
本题考查了一元二次方程的解，实数的运算，分式的化简和求值，解一元一次不等式，正确地进行运算是解题的关键．
 

20.【答案】证明：是等边三角形，
，，
，
，
为中点．
，
，
是等边三角形，
，
由作图知，平分，
，
，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
四边形是菱形；
解：是等边三角形，，
，，，
，
，
四边形是菱形，
，，
在中，，
，
，
． 

【解析】根据等边三角形的性质得到是的中点，求得是等边三角形，得到，由作图知，平分，根据角平分线的定义得到，根据平行线的性质得到，求得，推出四边形是平行四边形，根据菱形的判定定理即可得到结论；
根据等边三角形的性质得到，，，根据菱形的性质得到，，根据三角形的面积公式即可得到结论．
本题考查了作图基本作图，角平分线的定义，菱形的判定，解直角三角形，平行四边形的判定和性质等边三角形的性质，熟练掌握菱形的判定定理是解题的关键．
 

21.【答案】    人 

【解析】解：样本容量为，
，
，即，
故答案为：，；
估计该校每周读书时间至少小时的人数为人，
故答案为：人；
根据题意列表如下：

由表格可知，共有种等可能出现的结果，其中该班恰好选出名男生名女生参加交流会的结果有种，
所以该班恰好选出名男生名女生参加交流会的概率为．
先根据等级人数及其所占百分比求出样本容量，再根据各等级人数之和等于总人数可求得的值，用等级人数除以总人数看求得的值；
用总人数乘以样本中、组人数和占被调查人数的比例即可得出答案；
列表得出所有等可能结果，从表格中找到选出名男生名女生参加交流会的结果，再根据概率公式列式计算即可．
此题考查的是用列表法求概率以及频数分布表、扇形统计图等知识．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
 

22.【答案】证明：如图，连接，
，
，
，
，
，
，
，
，
是的半径，
是的切线；
解：如图，连接，
设的半径为，
在中，，，
，
，
，
，
，
，
，为的中点，
是的中位线，
是中点，
，
是的的直径，
，
，
，
，
，
，
阴影部分的面积四边形的面积扇形的面积

． 

【解析】连接，根据等腰三角形的性质证明，进而可以得到结论；
连接，根据勾股定理求出，根据锐角三角函数可得，然后证明是的中位线，求出，根据阴影部分的面积四边形的面积扇形的面积，代入值即可．
本题考查了切线的判定和性质，等腰三角形的性质，三角形中位线定理，圆周角定理，扇形面积计算等知识点，能综合运用定理进行推理是解此题的关键．
 

23.【答案】解：正比例函数与反比例函数的图象交于、两点，
、关于原点对称，
的横坐标为，的纵坐标为，
，，
点在反比例函数的图象上，
，
，
反比例函数的表达式为；
观察函数图象，可知：当或时，正比例函数的图象在反比例函数的图象下方，
不等式的解集为或；
方法一：连接，作轴于点，
在直线上，
，解得，
直线的表达式为，
，
，
，
，
，
，
，
直线为．
方法二：
连接，作轴于，
在直线上，
，
直线的表达式为，
，
，
，
，
，
，
设直线的表达式为，
代入点的坐标得，
解得，
直线为． 

【解析】利用利用反比例函数中心对称性，可求出、的坐标，进而可求出反比例函数的表达式；
观察函数图象，根据两函数图象的上下位置关系，找出不等式的解集；
方法一：连接，作轴于点，求得直线的解析式，根据平行线间的距离相等得出，即可求得，从而求得直线为．
方法二：连接，作轴于，求得直线的解析式，根据平行线间的距离相等得出，即可求得，从而求得直线为．
本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了反比例函数的对称性，待定系数法求一次函数和反比例函数的解析式，平行线间的距离相等，三角形的面积，根据三角形面积求得、点的坐标是解题的关键．
 

24.【答案】  ：    ： 

【解析】解：，
，
．
又，，
≌．
，
，
，
，
即：，
．
故的度数是．
由得≌，
．
故BD：：．
，，
，
又，
∽，
，．
，
．
∽，
，
．
故的度数是．
由得：∽．
：：，
，且，
，
．
．
解：连接、，延长交于点，交于点．
在等边中，又于点，
为的中点，
又为的中点，为的中点，
、分别是在、的中位线，
，．
，
．
．
在和中，
，
≌．
．
．
为等腰三角形．
≌，
，
由规律可知：，
，
又，，
．
从图形可辩知，这个是手拉手全等或相似模型，按模型的相关结论解题．
稍有变化，受前两问的启发，连接、完成手拉手的构造，再结合三角形中位线知识解题．
本题考查了全等三角形的判定与性质及相似三角形的判定及性质．方法灵活多变，需要较强的构造能力．
 

25.【答案】解：抛物线的顶点横坐标为，
抛物线的对称轴为直线．
点的坐标为，
抛物线与轴的另一交点坐标为．
将，，代入得：，
解得：，
抛物线的表达式为；
直线与轴交于点，在第一象限内与抛物线交于点，
点的坐标为，点的坐标为，
，，
，
，且，
当时，有最大值，最大值为；
，
抛物线向左平移个单位长度后的表达式为．
当时，，
点的坐标为
假设存在以，，，为顶点的平行四边形，设点的坐标为，点的坐标为．
当为对角线时，对角线，互相平分，
，
解得：，
点的坐标为；
当为对角线时，对角线，互相平分，
，
解得：，
点的坐标为；
当为对角线时，对角线，互相平分，
，
解得：，
点的坐标为
综上所述，存在以，，，为顶点的平行四边形，点的坐标为或或 

【解析】由抛物线顶点横坐标，可得出抛物线的对称轴为直线，结合点的坐标，可得出抛物线与轴另一交点的坐标，结合点的坐标，再利用待定系数法，即可求出抛物线的表达式；
由“直线与轴交于点，在第一象限内与抛物线交于点”，可得出点，的坐标，进而可得出，的值，代入中，可得出，再利用二次函数的性质，即可解决最值问题；
利用平移的性质，可得出平移后抛物线的表达式为，利用二次函数图象上点的坐标特征，可求出点的坐标，假设存在以，，，为顶点的平行四边形，设点的坐标为，点的坐标为，分为对角线、为对角线及为对角线三种情况考虑，由平行四边形的对角线互相平分，可得出关于的一元一次方程，解之可得出值，再将其代入点的坐标中，即可得出结论．
本题考查了二次函数图象上点的坐标特征、待定系数法求二次函数解析式、二次函数的性质以及平行四边形的判定与性质，解题的关键是：根据点的坐标，利用待定系数法求出抛物线的表达式；利用二次函数的性质，求出的最大值；利用平行四边形的性质对角线互相平分，找出关于的一元一次方程．