2023年湖南省永州市中考数学试卷（含解析）

2023年湖南省永州市中考数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  我国古代数学名著九章算术中对正负数的概念注有“今两算得失相反，要令正负以名之”如：粮库把运进吨粮食记为“”，则“”表示(    )

A. 运出吨粮食 B. 亏损吨粮食 C. 卖掉吨粮食 D. 吃掉吨粮食

2.  企业标志反映了思想、理念等企业文化，在设计上特别注重对称美下列企业标志图为中心对称图形的是(    )

A.  B.  C.  D.

3.  下列多边形中，内角和等于的是(    )

A.  B.  C.  D.

4.  关于的一元一次方程的解为，则的值为(    )

A.  B.  C.  D.

5.  下列各式计算结果正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

6.  下列几何体中，其三视图的主视图和左视图都为三角形的是(    )

A.  B.
C.  D.

7.  某年人均可支收入为万元，年达到万元，若年至年间每年人均可支配收入的增长率都为，则下面所列方程正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

8.  今年月，某班准备从在希望的田野上、我和我的祖国、十送红军三首歌曲中选择两首进行排练，参加永州市即将举办的“唱响新时代，筑梦新征程”合唱选拔赛，那么该班恰好选中前面两首歌曲的概率是(    )

A.  B.  C.  D.

9.  已知点在反比例函数的图象上，其中，为常数，且，则点一定在(    )

A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限

10.  如图，在中，，以为圆心，任意长为半径画弧，分别交，于点，，再分别以，为圆心，大于的定长为半径画弧，两弧交于点，作射线交于点，作，垂足为，则下列结论不正确的是(    )

A.  B.
C.  D. 一定经过的内心

二、填空题（本大题共8小题，共32.0分）

11.  ，，三个数中最小的数为______ ．

12.  与的公因式为______ ．

13.  已知为正整数，写出一个使在实数范围内没有意义的值是______ ．

14.  甲、乙两队学生参加学校拉拉队选拔，两队队员的平均身高均为，甲队队员的身高的方差为，乙队队员身高的方差为若要求拉拉队身高比较整齐，应选择______ 队较好．

15.  如图，，，，则 ______ 度

16.  若关于的分式方程为常数有增根，则增根是______ ．

17.  已知扇形的半径为，面积为，则扇形圆心角的度数为______ 度

18.  如图，是一个盛有水的容器的横截面，的半径为，水的最深处到水面的距离为，则水面的宽度为______ ．

三、解答题（本大题共8小题，共78.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

19.  本小题分
解关于的不等式组：．

20.  本小题分
先化简，再求值：，其中．

21.  本小题分
如图，已知四边形是平行四边形，其对角线相交于点，，，．
是直角三角形吗？请说明理由；
求证：四边形是菱形．

22.  本小题分
今年月日是第个全国中小学生安全教育日某市面向中小学生举行了一次关于心理健康、预防欺凌、防溺水、应急疏散等安全专题知识竞赛，共有名学生参加本次竞赛为了解本次竞赛成绩情况，随机抽取了名学生的成绩成绩均为整数，满分为分分成四个组：组、组、组、组，并绘制如图所示频数分布图．

______ ；所抽取的名学生成绩的中位数在第______ 组；
若成绩在第组才为优秀，则所抽取的名学生中成绩为优秀的频率为______ ；
试估计名参赛学生中，成绩大于或等于分的人数．

23.  本小题分
永州市道县陈树湘纪念馆中陈列的陈树湘雕像高米如图所示寓意陈树湘为中国举命“断肠明志”牺牲时的年龄为岁如图，以线段代表陈树湘雕像，一参观者在水平地面上处为陈树湘雕像拍照，相机支架高米，在相机处观测雕像顶端的仰角为，然后将相机支架移到处拍照，在相机处观测雕像顶端的仰角为，求、两点间的距离结果精确到米，参考数据：．

 

24.  本小题分
小明观察到一个水龙头因损坏而不断地向外滴水，为探究其漏水造成的浪费情况，小明用一个带有刻度的量筒放在水龙头下面装水，每隔一分钟记录量筒中的总水量，但由于操作延误，开始计时的时候量筒中已经有少量水，因而得到如表的一组数据：

探究：根据上表中的数据，请判断和为常数哪一个能正确反映总水量与时间的函数关系？并求出关于的表达式；
应用：
请你估算小明在第分钟测量时量筒的总水量是多少毫升？
一个人一天大约饮用毫升水，请你估算这个水龙头一个月按天计的漏水量可供一人饮用多少天．

25.  本小题分
如图，以为直径的是的外接圆，延长到点使得，点在的延长线上，点在线段上，交于，交于．
求证：是的切线；
若，，，求的长；
若，求证：．

26.  本小题分
如图，抛物线为常数经过点，
顶点坐标为，点为抛物线上的动点，轴于，且．
求抛物线的表达式；
如图，直线：交于点，求的最大值；
如图，四边形为正方形，交轴于点，交的延长线于，且，，求点的横坐标．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：“”表示运出吨粮食，
故选：．
根据正数和负数的含义求解即可．
本题考查了正数和负数，数字常识，熟练掌握正数和负数的含义是解题的关键．
 

2.【答案】 

【解析】解：选项A、、中的图形都不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形．
选项C中的图形能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以是中心对称图形．
故选：．
根据中心对称图形的概念判断．把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．
本题考查的是中心对称图形，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度后与自身重合．
 

3.【答案】 

【解析】解：三角形的内角和为，
则不符合题意；
B.四边形的内角和为，
则符合题意；
C.五边形的内角和为，
则不符合题意；
D.六边形的内角和为，
则不符合题意；
故选：．
根据三角形内角和，四边形的内角和与多边形内角和将各图形的内角和计算后进行判断即可．
本题主要考查多边形的内角和公式，此为基础且重要知识点，必须熟练掌握．
 

4.【答案】 

【解析】解：是关于的一元一次方程的解，
，
，
故选：．
根据方程的解的定义把代入方程即可求出的值．
本题主要考查了一元一次方程的解的定义，熟知：使方程左右两边相等的未知数的值是方程的解．
 

5.【答案】 

【解析】解：，
选项A不符合题意；
，
选项B不符合题意；
，
选项C不符合题意；
，
选项D符合题意；
故选：．
分别利用合并同类项法则，算术平方根的意义，积的乘方法则和负指数幂的意义对每个选项进行分析，即可得出答案．
本题考查了合并同类项，算术平方根的意义，积的乘方法则和负指数幂的意义，掌握这些法则和意义是解决问题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：、主视图和左视图都为矩形的，所以选项不符合题意；
B、主视图和左视图都为矩形的，所以选项不符合题意；
C、主视图为矩形，左视图为圆，所以选项不符合题意；
D、主视图和左视图均为等腰三角形，所以符合题意．
故选：．
找到从正面和左面看所得到的图形，得出主视图和左视图均是三角形的即可．
本题考查了简单几何体的三视图：画物体的主视图的口诀为：主、俯：长对正；主、左：高平齐；俯、左：宽相等．记住常见的几何体的三视图．
 

7.【答案】 

【解析】解：根据题意得．
故选：．
利用年间每年人均可支配收入年间每年人均可支配收入每年人均可支配收入的增长率，即可得出关于的一元二次方程，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：设在希望的田野上、我和我的祖国、十送红军．
列表如下：

由上表可知，所有可能结果共有种，且每种结果出现的可能性相等，其中恰好选中前面两首歌曲的结果有种，
则恰好选中前面两首歌曲的概率为．
故选：．
列出表格，得出所有等可能的结果共有种，其中恰好选中前面两首歌曲的结果有种，再由概率公式求解即可．
此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
 

9.【答案】 

【解析】解：点在反比例函数的图象上，
，
，
，
点一定在第一象限．
故选：．
方法二：
反比例函数中，，
图象的两个分支在一、三象限，
点在反比例函数的图象上，
点一定在第一象限．
故选：．
把点代入反比例函数解析式，可得，由可知，可得点一定在第一象限．
考查反比例函数图象上点的坐标特征；用到的知识点为：反比例函数的比例系数大于，图象的两个分支在一、三象限；关键是得到反比例函数的比例系数的符号．
 

10.【答案】 

【解析】解：由作图知，平分，
，，
，一定经过的内心，故B不符合题意，故D不符合题意；
在与中，
，
≌，
，故A不符合题意；无法证明，故C符合题意．
故选：．
由作图知，平分，根据角平分线的性质得到，一定经过的内心，故B不符合题意，故D不符合题意；根据全等三角形的性质得到，故A不符合题意；无法证明，故C符合题意．
本题考查了作图基本作图，角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，正确地识别图形是解题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：，
最小的数是，
故答案为：．
根据有理数大小比较的法则：正数都大于；负数都小于；正数大于一切负数；两个负数，绝对值大的其值反而小求解即可．
本题考查了有理数大小比较，熟练掌握有理数大小比较的法则是解题的关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：与的公因式是．
故答案为：．
根据公因式的定义解答即可．
本题考查了公因式，能熟记公因式的定义是解此题的关键．
 

13.【答案】答案也可以是 

【解析】解：要使在实数范围内没有意义，
则，
，
为正整数，
的值是答案也可以是．
故答案为：答案也可以是．
根据二次根式没有意义即被开方数小于求解即可．
本题考查了二次根式有意义的条件，熟知二次根式有意义，则，若没有意义，则本题较简单，属于基础题．
 

14.【答案】甲 

【解析】解：，，
，
若要求拉拉队身高比较整齐，应选择甲队较好．
故答案为：甲．
根据方差的意义求解即可．
本题主要考查方差，解题的关键是掌握方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．
 

15.【答案】 

【解析】解：，，
，
，
，
．
故答案为：．
首先由得出，再由得出，据此可得出此题的答案．
此题主要考查了平行线的判定和性质，解答此题的关键是准确识图，熟练掌握平行线的判定及性质：两直线平行，同位角相等，两直线平行，内错角相等，两直线平行，同旁内角互补．
 

16.【答案】 

【解析】解：关于的分式方程为常数有增根，
，
，
故答案为：．
根据关于的分式方程为常数有增根，可知，进一步计算即可．
本题考查了分式方程的增根，熟练掌握分式方程增根的含义是解题的关键．
 

17.【答案】 

【解析】解：设扇形圆心角的度数为，
则，
解得：，
即扇形圆心角的度数为，
故答案为：．
设扇形圆心角的度数为，根据扇形面积公式列方程并解方程即可．
本题考查扇形的面积公式，此为基础且重要知识点，必须熟练掌握．
 

18.【答案】 

【解析】解：如图，过点作于点，交于点，连接，
，
由题意知，，，
，
在中，，
，
故答案为：．
过点作于点，交于点，连接，由垂径定理可得，然后在中根据勾股定理求出的长，即可得出的长．
本题考查了垂径定理，熟练掌握垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，同时需熟练掌握勾股定理．
 

19.【答案】解：解不等式得，，
解不等式得，，
所以不等式组的解集为． 

【解析】先求出不等式组中每一个不等式的解集，再求出它们的公共部分即可．
本题主要考查了解一元一次不等式组，掌握求不等式组解集的口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到无解是解题的关键．
 

20.【答案】解：


，
当时，
原式． 

【解析】先把括号里面进行通分，再把除法化为乘法，进行约分，最后代入求值．
本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则．
 

21.【答案】解：是直角三角形，理由如下：
四边形是平行四边形，，
，
，，，
，
是直角三角形，且；
证明：由可知，，
，
平行四边形是菱形． 

【解析】由平行四边形的性质得，再证，然后由勾股定理的逆定理即可得出结论；
由得，再由菱形的判定定理即可得出结论．
本题考查了菱形的判定、平行四边形的性质以及勾股定理的逆定理等知识，熟练掌握菱形的判定，由勾股定理的逆定理证出为直角三角形是解题的关键．
 

22.【答案】     

【解析】解：由题意得，，
所抽取的名学生成绩的中位数在第组．
故答案为：；；
若成绩在第组才为优秀，则所抽取的名学生中成绩为优秀的频率为．
故答案为：；
名，
答：估计名参赛学生中，成绩大于或等于分的人数约名．
用四组的频数相加可得的值，再根据中位数的定义解答即可；
根据“频率频数总数”解答即可；
用乘样本中成绩大于或等于分的人数所占比例即可．
本题考查频数分布直方图，样本估计总体的思想，中位数等知识，解决此题的关键是明确“频率频数总数”．
 

23.【答案】解：由题意得：，，米，米，，
米，
在中，，
米，
在中，，
米，
米，
米，
、两点间的距离约为米． 

【解析】根据题意可得：，，米，米，，从而可得米，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，再在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而利用线段的和差关系进行计算，即可解答．
本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．
 

24.【答案】解：根据上表中的数据，为常数能正确反映总水量与时间的函数关系，
当时，，当时，，
，
，
；
当时，，
即估算小明在第分钟测量时量筒的总水量是毫升；
当分钟时，毫升，
当时，，
天，
答：估算这个水龙头一个月按天计的漏水量可供一人饮用天． 

【解析】根据上表中的数据，可知与成一次函数关系，根据点的坐标利用待定系数法即可求出该函数关系式；
当时，求出的值即可；
当分钟时，求出的值，即可求出答案．
本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质解答．
 

25.【答案】证明：是的直径，
，
，
，
，
，
是的切线；
解：，，
∽，
，
，
解得或，
当时，，
当时，，
，即，
；
证明：是的直径，
，
，
∽，
，
，
，
，
，
，
，
∽，
，
，
，
，
． 

【解析】由是的直径得，故，由得，有，即可得证；
证明∽，则，可得，解得或，由即可得到的长；
先证明∽，则，得到，由得到，故，由同角的余角相等得，有∽，得，进一步得到，则，即可得到结论．
此题考查了相似三角形的判定和性质、圆周角定理、切线的判定定理等知识，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．
 

26.【答案】解：抛物线为常数经过点，顶点坐标为，
，
解得，
抛物线的表达式为；
过点作轴于点，如图所示，

在中，令得，
解得或，
，，
，
，
设直线的解析式为：，
，
解得，
直线的解析式为，
由在直线上，设，
在直线上，直线为，
，
，
，
由在抛物线上，知，
，
，
，
，
，
，，
当时，取最大值，最大值为；
设交于，如图：

为正方形，，
，，，
，，，
为矩形，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
∽，
，
，
，
，
，
，
设，
，，
，
设直线的解析式为，
则，
，
直线的解析式为，
，在直线上，
，
，即点横坐标为，
，，
，
，
，
，
解得或或，
，
，
点的横坐标为． 

【解析】由顶点式坐标公式和待定系数法分别求出，，值，即可求出抛物线解析式；
利用抛物线的解析式可得的坐标，求出直线的解析式，设，根据直线的解析式 得，用，表达长度，根据，将和长度代入，可将面积比转化成二次函数的形式，根据横坐标取值范围和此二次函数的图象性质即可求出的最大值；
根据正方形的性质和可求出，再利用∽相似和可推出，设，可求出直线的解析式，用表达点的横纵坐标，最后代入抛物线解析式，解方程可得答案．
本题考查的是二次函数的综合应用题，属于压轴题，解题的关键在于能否将面积问题和二次函数有效结合．