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2024高考数学大一轮复习Word版题库(人教A版文)第十章 算法初步、统计与统计案例、概率 第5节 随机事件的概率
展开这是一份2024高考数学大一轮复习Word版题库(人教A版文)第十章 算法初步、统计与统计案例、概率 第5节 随机事件的概率,共15页。试卷主要包含了事件的关系与运算,概率的几个基本性质等内容,欢迎下载使用。
1.概率与频率
(1)频率:在相同的条件S下重复n次试验,观察某一事件A是否出现,称n次试验中事件A出现的次数nA为事件A出现的频数,称事件A出现的比例fn(A)=eq \f(nA,n)为事件A出现的频率.
(2)概率:对于给定的随机事件A,由于事件A发生的频率fn(A)随着试验次数的增加稳定于概率P(A),因此可以用频率fn(A)来估计概率P(A).
2.事件的关系与运算
3.概率的几个基本性质
(1)概率的取值范围:0≤P(A)≤1.
(2)必然事件的概率P(E)=1.
(3)不可能事件的概率P(F)=0.
(4)互斥事件概率的加法公式
①如果事件A与事件B互斥,则P(A∪B)=P(A)+P(B).
②若事件B与事件A互为对立事件,则P(A)=1-P(B).
1.从集合的角度理解互斥事件和对立事件
(1)几个事件彼此互斥,是指由各个事件所含的结果组成的集合的交集为空集.
(2)事件A的对立事件eq \(A,\s\up6(-))所含的结果组成的集合,是全集中由事件A所含的结果组成的集合的补集.
2.概率加法公式的推广
当一个事件包含多个结果且各个结果彼此互斥时, 要用到概率加法公式的推广,即P(A1∪A2∪…∪An)=P(A1)+P(A2)+…+P(An).
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)事件发生的频率与概率是相同的.( )
(2)在大量的重复试验中,概率是频率的稳定值.( )
(3)若随机事件A发生的概率为P(A),则0≤P(A)≤1.( )
(4)6张奖券中只有一张有奖,甲、乙先后各抽取一张,则甲中奖的概率小于乙中奖的概率.( )
答案 (1)× (2)√ (3)√ (4)×
2.下列事件中,不是随机事件的是( )
A.长度为3,4,5的三条线段可以构成一个直角三角形
B.经过有信号灯的路口,遇上红灯
C.下周六是晴天
D.一枚硬币抛掷两次,两次都正面向上
答案 A
3.容量为20的样本数据,分组后的频数如下表:
则样本数据落在区间[10,40)的频率为( )
答案 B
解析 由表知[10,40)的频数为2+3+4=9,
所以样本数据落在区间[10,40)的频率为eq \f(9,20)=0.45.
4.(易错题)某小组有3名男生和2名女生,从中任选2名同学去参加演讲比赛,事件“至少有一名女生”与事件“全是男生”( )
A.是互斥事件,不是对立事件
B.是对立事件,不是互斥事件
C.既是互斥事件,也是对立事件
D.既不是互斥事件也不是对立事件
答案 C
解析 “至少有一名女生”包括“一男一女”和“两名女生”两种情况,这两种情况再加上“全是男生”构成全集,且不能同时发生,故“至少有一名女生”与“全是男生”既是互斥事件,也是对立事件.
5.若某群体中的成员只用现金支付的概率为0.45,既用现金支付也用非现金支付的概率为0.15,则不用现金支付的概率为( )
A.0.3 B.0.4 C.0.6 D.0.7
答案 B
解析 某群体中的成员分为只用现金支付、既用现金支付也用非现金支付、不用现金支付,它们彼此是互斥事件,所以不用现金支付的概率为1-(0.15+0.45)=0.4.
6.抛掷一枚均匀的骰子(骰子的六个面上分别标有1,2,3,4,5,6个点)一次,观察掷出向上的点数,设事件A为掷出向上为偶数点,事件B为掷出向上为3点,则P(A∪B)=________.
答案 eq \f(2,3)
解析 事件A为掷出向上为偶数点,所以P(A)=eq \f(1,2).事件B为掷出向上为3点,所以P(B)=eq \f(1,6),又事件A,B是互斥事件,所以P(A∪B)=P(A)+P(B)=eq \f(2,3).
考点一 随机事件的关系
1.把红、黄、蓝、白4张纸牌随机地分发给甲、乙、丙、丁四人,每个人分得一张,事件“甲分得红牌”与“乙分得红牌”( )
A.是对立事件
B.是不可能事件
C.是互斥但不对立事件
D.不是互斥事件
答案 C
解析 显然两个事件不可能同时发生,但两者可能同时不发生,因为红牌可以分给丙、丁两人,综上,这两个事件为互斥但不对立事件.
2.设条件甲:“事件A与事件B是对立事件”,结论乙:“概率满足P(A)+P(B)=1”,则甲是乙的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
答案 A
解析 若事件A与事件B是对立事件,则A∪B为必然事件,再由概率的加法公式得P(A)+P(B)=1;满足P(A)+P(B)=1,但A,B不一定是对立事件,如:投掷一枚硬币3次,事件A:“至少出现一次正面”,事件B:“出现3次正面”,则P(A)=eq \f(7,8),P(B)=eq \f(1,8),满足P(A)+P(B)=1,但A,B不是对立事件.
3.对飞机连续射击两次,每次发射一枚炮弹,设A={两次都击中飞机},B={两次都没击中飞机},C={恰有一次击中飞机},D={至少有一次击中飞机},其中彼此互斥的事件是________________,互为对立事件的是________________.
答案 A与B,A与C,B与C,B与D B与D
解析 由于事件A与B不可能同时发生,故A与B是互斥事件;同理可得,A与C,B与C,B与D也是互斥事件.
综上可得,A与B,A与C,B与C,B与D都是互斥事件.
在上述互斥事件中,再根据B,D还满足B∪D为必然事件,故B与D是对立事件.
感悟提升 判别互斥事件、对立事件要准确把握互斥事件与对立事件的概念:(1)互斥事件是不可能同时发生的事件,但也可以同时不发生;(2)对立事件是特殊的互斥事件,特殊在对立的两个事件不可能都不发生,即有且仅有一个发生.
考点二 随机事件的频率与概率
例1 (2020·全国Ⅰ卷)某厂接受了一项加工业务,加工出来的产品(单位:件)按标准分为A,B,C,D四个等级.加工业务约定:对于A级品、B级品、C级品,厂家每件分别收取加工费90元、50元、20元;对于D级品,厂家每件要赔偿原料损失费50元.该厂有甲、乙两个分厂可承接加工业务.甲分厂加工成本费为25元/件,乙分厂加工成本费为20元/件.厂家为决定由哪个分厂承接加工业务,在两个分厂各试加工了100件这种产品,并统计了这些产品的等级,整理如下:
甲分厂产品等级的频数分布表
乙分厂产品等级的频数分布表
(1)分别估计甲、乙两分厂加工出来的一件产品为A级品的概率;
(2)分别求甲、乙两分厂加工出来的100件产品的平均利润,以平均利润为依据,厂家应选哪个分厂承接加工业务?
解 (1)由试加工产品等级的频数分布表知,
甲分厂加工出来的一件产品为A级品的概率的估计值为eq \f(40,100)=0.4;
乙分厂加工出来的一件产品为A级品的概率的估计值为eq \f(28,100)=0.28.
(2)由数据知甲分厂加工出来的100件产品利润的频数分布表为
因此甲分厂加工出来的100件产品的平均利润为eq \f(65×40+25×20-5×20-75×20,100)=15.
由数据知乙分厂加工出来的100件产品利润的频数分布表为
因此乙分厂加工出来的100件产品的平均利润为eq \f(70×28+30×17+0×34-70×21,100)=10.
比较甲、乙两分厂加工的产品的平均利润,厂家应选甲分厂承接加工业务.
感悟提升 1.频率反映了一个随机事件出现的频繁程度,频率是随机的,而概率是一个确定的值,通常用概率来反映随机事件发生的可能性的大小,有时也用频率来作为随机事件概率的估计值.
2.利用概率的统计定义求事件的概率,即通过大量的重复试验,事件发生的频率会逐步趋近于某一个常数,这个常数就是概率.
训练1 如图,A地到火车站共有两条路径L1和L2,现随机抽取100位从A地到达火车站的人进行调查,调查结果如下:
(1)试估计40分钟内不能赶到火车站的概率;
(2)分别求通过路径L1和L2所用时间落在上表中各时间段内的频率;
(3)现甲、乙两人分别有40分钟和50分钟时间用于赶往火车站,为了尽最大可能在允许的时间内赶到火车站,试通过计算说明,他们应如何选择各自的路径.
解 (1)由已知共调查了100人,其中40分钟内不能赶到火车站的有12+12+16+4=44(人),
∴用频率估计相应的概率为p=eq \f(44,100)=0.44.
(2)选择L1的有60人,选择L2的有40人,
故由调查结果得频率为
(3)设A1,A2分别表示甲选择L1和L2时,在40分钟内赶到火车站;B1,B2分别表示乙选择L1和L2时,在50分钟内赶到火车站.
由(2)知P(A1)=0.1+0.2+0.3=0.6,
P(A2)=0.1+0.4=0.5,
∵P(A1)>P(A2),∴甲应选择L1.
同理,P(B1)=0.1+0.2+0.3+0.2=0.8,
P(B2)=0.1+0.4+0.4=0.9,
∵P(B1)<P(B2),∴乙应选择L2.
考点三 互斥事件与对立事件的概率
例2 经统计,在某储蓄所一个营业窗口等候的人数相应的概率如下:
求:(1)至多2人排队等候的概率;
(2)至少3人排队等候的概率.
解 记“无人排队等候”为事件A,“1人排队等候”为事件B,“2人排队等候”为事件C,“3人排队等候”为事件D,“4人排队等候”为事件E,“5人及5人以上排队等候”为事件F,则事件A,B,C,D,E,F彼此互斥.
(1)记“至多2人排队等候”为事件G,
则G=A∪B∪C,
所以P(G)=P(A∪B∪C)
=P(A)+P(B)+P(C)
=0.1+0.16+0.3=0.56.
(2)法一 记“至少3人排队等候”为事件H,
则H=D∪E∪F,
所以P(H)=P(D∪E∪F)=P(D)+P(E)+P(F)=0.3+0.1+0.04=0.44.
法二 记“至少3人排队等候”为事件H,则其对立事件为事件G,
所以P(H)=1-P(G)=0.44.
感悟提升 求复杂的互斥事件的概率一般有两种方法:一是直接求解法,将所求事件的概率分解为一些彼此互斥的事件的概率再求和;二是间接法,先求该事件的对立事件的概率,再由P(A)=1-P(eq \(A,\s\up6(-)))求解.当题目涉及“至多”、“至少”型问题,多考虑间接法.
训练2 (1)某产品分甲、乙、丙三级,其中乙、丙两级均属次品,在正常生产情况下,出现乙级品和丙级品的概率分别是5%和3%,则抽检一件是正品(甲级)的概率为( )
(2)甲、乙两人下棋,两人下成和棋的概率是eq \f(1,2),乙获胜的概率是eq \f(1,3),则乙不输的概率是________.
答案 (1)C (2)eq \f(5,6)
解析 (1)记“抽检的产品是甲级品”为事件A,“乙级品”为事件B,“丙级品”为事件C,这三个事件彼此互斥,因而所求概率为P(A)=1-P(B)-P(C)=1-5%-3%=92%=0.92.
(2)乙不输包含两人下成和棋和乙获胜,且它们是互斥事件,所以乙不输的概率为eq \f(1,2)+eq \f(1,3)=eq \f(5,6).
1.下列说法正确的是( )
A.甲、乙二人比赛,甲胜的概率为eq \f(3,5),则比赛5场,甲胜3场
B.某医院治疗一种疾病的治愈率为10%,前9个病人没有治愈,则第10个病人一定治愈
C.随机试验的频率与概率相等
D.天气预报中,预报明天降水概率为90%,是指降水的可能性是90%
答案 D
解析 由概率的意义知D正确.
2.设事件A,B,已知P(A)=eq \f(1,5),P(B)=eq \f(1,3),P(A∪B)=eq \f(8,15),则A,B之间的关系一定为( )
A.两个任意事件 B.互斥事件
C.非互斥事件 D.对立事件
答案 B
解析 因为P(A)+P(B)=eq \f(1,5)+eq \f(1,3)=eq \f(8,15)=P(A∪B),所以A,B之间的关系一定为互斥事件.
3.某射手在一次射击中,射中10环,9环,8环的概率分别是0.2,0.3,0.1,则该射手在一次射击中不够8环的概率为( )
A.0.9 B.0.3
C.0.6 D.0.4
答案 D
解析 设“该射手在一次射击中不够8环”为事件A,则事件A的对立事件eq \(A,\s\up6(-))是“该射手在一次射击中不小于8环”.
∵事件eq \(A,\s\up6(-))包括射中10环,9环,8环,这三个事件是互斥的,
∴P(eq \(A,\s\up6(-)))=0.2+0.3+0.1=0.6,
∴P(A)=1-P(eq \(A,\s\up6(-)))=1-0.6=0.4,即该射手在一次射击中不够8环的概率为0.4.
4.(2021·太原模拟)已知随机事件A和B互斥,且P(A∪B)=0.7,P(B)=0.2,则P(eq \(A,\s\up6(-)))=( )
A.0.5 B.0.1 C.0.7 D.0.8
答案 A
解析 ∵随机事件A和B互斥,且P(A∪B)=0.7,P(B)=0.2,∴P(A)=P(A∪B)-P(B)=0.7-0.2=0.5,∴P(eq \(A,\s\up6(-)))=1-P(A)=1-0.5=0.5.
5.围棋盒子中有多粒黑子和白子,已知从中取出2粒都是黑子的概率是eq \f(1,7),都是白子的概率是eq \f(12,35).则从中任意取出2粒恰好是同一色的概率是( )
A.eq \f(1,7) B.eq \f(12,35) C.eq \f(17,35) D.1
答案 C
解析 设“从中取出2粒都是黑子”为事件A,“从中取出2粒都是白子”为事件B,“任意取出2粒恰好是同一色”为事件C,
则C=A∪B,且事件A与B互斥.
由于P(A)=eq \f(1,7),P(B)=eq \f(12,35).
所以P(C)=P(A)+P(B)=eq \f(1,7)+eq \f(12,35)=eq \f(17,35).
6.设A与B是互斥事件,A,B的对立事件分别记为eq \(A,\s\up6(-)),eq \(B,\s\up6(-)),则下列说法正确的是( )
A.A与eq \(B,\s\up6(-))互斥
B.eq \(A,\s\up6(-))与eq \(B,\s\up6(-))互斥
C.P(A+B)=P(A)+P(B)
D.P(eq \(A,\s\up6(-))+eq \(B,\s\up6(-)))=1
答案 C
解析 根据互斥事件的定义可知,A与eq \(B,\s\up6(-)),eq \(A,\s\up6(-))与eq \(B,\s\up6(-))都有可能同时发生,所以A与eq \(B,\s\up6(-))互斥,eq \(A,\s\up6(-))与eq \(B,\s\up6(-))互斥是不正确的;P(A+B)=P(A)+P(B)正确;eq \(A,\s\up6(-))与eq \(B,\s\up6(-))既不一定互斥,也不一定对立,所以D项错误.故选C.
7.根据某医疗研究所的调查,某地区居民血型的分布为:O型50%,A型15%,B型30%,AB型5%.现有一血液为A型病人需要输血,若在该地区任选一人,那么能为病人输血的概率为( )
A.15% B.20% C.45% D.65%
答案 D
解析 因为某地区居民血型的分布为O型50%,A型15%,B型30%,AB型5%,现在能为A型病人输血的有O型和A型,故为病人输血的概率为50%+15%=65%,故选D.
8.抛掷一个质地均匀的骰子的试验,事件A表示“小于5的偶数点出现”,事件B表示“小于5的点数出现”,则一次试验中,事件A+eq \(B,\s\up6(-))发生的概率为( )
A.eq \f(1,3) B.eq \f(1,2) C.eq \f(2,3) D.eq \f(5,6)
答案 C
解析 掷一个骰子的试验有6种可能结果,依题意P(A)=eq \f(2,6)=eq \f(1,3),P(B)=eq \f(4,6)=eq \f(2,3),
所以P(eq \(B,\s\up6(-)))=1-P(B)=1-eq \f(2,3)=eq \f(1,3),
因为eq \(B,\s\up6(-))表示“出现5点或6点”的事件,所以事件A与eq \(B,\s\up6(-))互斥,从而P(A+eq \(B,\s\up6(-)))=P(A)+P(eq \(B,\s\up6(-)))=eq \f(1,3)+eq \f(1,3)=eq \f(2,3).
9.“键盘侠”一词描述了部分网民在现实生活中胆小怕事、自私自利,却习惯在网络上大放厥词的一种现象.某地新闻栏目对该地区群众对“键盘侠”的认可程度进行调查:在随机抽取的50人中,有14人持认可态度,其余持反对态度,若该地区有9 600人,则可估计该地区对“键盘侠”持反对态度的有________人.
答案 6 912
解析 在随机抽取的50人中,持反对态度的频率为1-eq \f(14,50)=eq \f(18,25),则可估计该地区对“键盘侠”持反对态度的有9 600×eq \f(18,25)=6 912(人).
10.口袋里装有1红,2白,3黄共6个除颜色外完全相同的小球,从中取出两个球,事件A=“取出的两个球同色”,B=“取出的两个球中至少有一个黄球”,C=“取出的两个球至少有一个白球”,D=“取出的两个球不同色”,E=“取出的两个球中至多有一个白球”.下列判断中正确的序号为________.
①A与D为对立事件;②B与C是互斥事件;③C与E是对立事件;④P(C∪E)=1.
答案 ①④
解析 当取出的两个球为一黄一白时,B与C都发生,②不正确;当取出的两个球中恰有一个白球时,事件C与E都发生,③不正确;显然A与D是对立事件,①正确;C∪E为必然事件,P(C∪E)=1,④正确.
11.某城市2021年的空气质量状况如表所示:
其中污染指数T≤50时,空气质量为优;50<T≤100时,空气质量为良,100<T≤150时,空气质量为轻微污染,则该城市2021年空气质量达到良或优的概率为________.
答案 eq \f(3,5)
解析 由题意可知2021年空气质量达到良或优的概率为p=eq \f(1,10)+eq \f(1,6)+eq \f(1,3)=eq \f(3,5).
12.据统计,某食品企业在一个月内被消费者投诉次数为0,1,2的概率分别为0.4,0.5,0.1.则该企业在一个月内被消费者投诉不超过1次的概率为________.
答案 0.9
解析 法一 记“该食品企业在一个月内被消费者投诉的次数为0”为事件A,“该食品企业在一个月内被消费者投诉的次数为1”为事件B,“该食品企业在一个月内被消费者投诉的次数为2”为事件C,“该食品企业在一个月内被消费者投诉的次数不超过1”为事件D,而事件D包含事件A与B,所以P(D)=P(A)+P(B)=0.4+0.5=0.9.
法二 记“该食品企业在一个月内被消费者投诉的次数为2”为事件C,“该食品企业在一个月内被消费者投诉不超过1次”为事件D,由题意知C与D是对立事件,所以P(D)=1-P(C)=1-0.1=0.9.
13.(2020·全国Ⅱ卷)在新冠肺炎疫情防控期间,某超市开通网上销售业务,每天能完成1 200份订单的配货,由于订单量大幅增加,导致订单积压.为解决困难,许多志愿者踊跃报名参加配货工作.已知该超市某日积压500份订单未配货,预计第二天的新订单超过1 600份的概率为0.05.志愿者每人每天能完成50份订单的配货,为使第二天完成积压订单及当日订单的配货的概率不小于0.95,则至少需要志愿者( )
A.10名 B.18名 C.24名 D.32名
答案 B
解析 由题意,第二天完成积压订单及当日订单的配货的概率不小于0.95,即第二天确保完成新订单1 600份,减去超市每天能完成的1 200份,加上积压的500份,共有1 600-1 200+500=900(份),至少需要志愿者900÷50=18(名).
14.若随机事件A,B互斥,A,B发生的概率均不等于0,且P(A)=2-a,P(B)=4a-5,则实数a的取值范围是( )
A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,4),2)) B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,4),\f(3,2)))
C.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(5,4),\f(3,2))) D.eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(5,4),\f(4,3)))
答案 D
解析 由题意可得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(0
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