2023杭州高二下学期期末数学试题含解析

2022学年第二学期杭州市高二年级教学质量检测

数学试题卷

考生须知：

1．本试卷分试题卷和答题卷两部分．满分150分，考试时间120分钟．

2．请用黑色字迹的钢笔或签字笔在答题卡指定的区域（黑色边框）内作答，超出答题区域的作答无效！

3．考试结束，只需上交答题卡．

选择题部分（共60分）

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，有一项是符合题目要求的．

1. 直线的一个方向向量是（    ）

A.  B.  C.  D.

2. 若是空间的一个基底，则也可以作为该空间基底的是（    ）

A.  B. ，，

C. ，， D.

3. “巴赫十二平均律”是世界上通用的音乐律制，它与五度相生律、纯律并称三大律制．“十二平均律”将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于．而早在16世纪，明代朱载最早用精湛的数学方法近似计算出这个比例，为这个理论的发展做出了重要贡献．若第一个单音的频率为，则第四个单音的频率为（    ）

A.  B.  C.  D.

4. “点在圆外”是“直线与圆相交”（    ）

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件

C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件

5. 第19届亚运会将于2023年9月23日在杭州开幕，因工作需要，还需招募少量志愿者．甲、乙等4人报名参加了“莲花”、“泳镜”、“玉琮”三个场馆的各一个项目的志愿者工作，每个项目仅需1名志愿者，每人至多参加一个项目．若甲不能参加“莲花”场馆的项目，则不同的选择方案共有（    ）

A. 6种 B. 12种 C. 18种 D. 24种

6. ，两个学科兴趣小组在实验室研究某粒子的运动轨迹，共同记录到粒子的一组坐标信息．小组根据表中数据，直接对作线性回归分析，得到：回归方程，决定系数．小组先将数据按照变换，进行整理，再对，作线性回归分析，得到：回归方程，决定系数．根据统计学知识，下列方程中，最有可能是该粒子运动轨迹方程的是（    ）

A.  B.

C.  D.

7. 设，，，是半径为1的球的球面上的四个点．设，则不可能等于（    ）

A. 3 B.  C. 4 D.

8. 设椭圆的左右焦点分别为，，是椭圆上不与顶点重合的一点，记为的内心．直线交轴于点，，且，则椭圆的离心率为（    ）

A.  B.  C.  D.

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．

9. 若函数导函数的部分图像如图所示，则（    ）

A. 是的一个极大值点

B. 是一个极小值点

C. 是的一个极大值点

D. 是的一个极小值点

10. 抛掷一枚质地均匀的骰子（六个面上的数字是、、、、、），抛掷两次．设事件“两次向上的点数之和大于”，事件“两次向上的点数之积大于”，事件“两次向上的点数之和小于”，则（    ）

A. 事件与事件互斥 B.

C.  D. 事件与事件相互独立

11. 设双曲线，直线与双曲线的右支交于点，，则下列说法中正确的是（    ）

A. 双曲线离心率的最小值为4

B. 离心率最小时双曲线的渐近线方程为

C. 若直线同时与两条渐近线交于点，，则

D. 若，点处的切线与两条渐近线交于点，，则为定值

12 已知曲线，，及直线，下列说法中正确的是（    ）

A. 曲线在处的切线与曲线在处的切线平行

B. 若直线与曲线仅有一个公共点，则

C. 曲线与有且仅有一个公共点

D. 若直线与曲线交于点，，与曲线交于点，，则

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．

13. 的展开式中的系数为________．

14. 曲率是衡量曲线弯曲程度的重要指标．定义：若是的导函数，是的导函数，则曲线在点处的曲率．已知，则曲线在点处的曲率为________．

15. 已知数列满足，，数列的前项和为，且，则满足的正整数的最小值为________．

16. 设函数，则使得成立的的取值范围是________．

四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17. 如图，在四面体中，，，，，．

（1）求证：、、、四点共面．

（2）若，设是和的交点，是空间任意一点，用、、、表示．

18. 已知等差数列的前项和为，且，.

（1）求数列的通项公式.

（2）若中的部分项组成的数列是以为首项，2为公比的等比数列，求数列的前项和.

19. 如图，在三棱柱中，所有棱长均为2，，．

（1）证明：平面平面．

（2）求平面与平面的夹角的正弦值．

20. 第19届亚运会将于2023年9月23日在杭州拉开帷幕，为了更好地迎接亚运会，杭州市政府大举加强了城市交通基础设施的建设．至2023年地铁运行的里程数达到516公里，排位全国第六．同时，一张总长464公里、“四纵五横”为骨架、通达“东西南北中”十城区的快速路网也顺利完工准备接待世界各地的来宾．现杭州公共出行的主流方式为地铁、公交、打车、共享单车这四种，基本可以覆盖大众的出行需求．

（1）一个兴趣小组发现，来自不同的城市的游客选择出行的习惯会有很大差异，为了验证这一猜想该小组进行了研究．请完成下列列联表，并根据小概率值的独立性检验，分析城市规模是否与出行偏好地铁有关？（精确到0.001）

单位：人

（2）国际友人David来杭游玩，每日的行程分成段，为了更好的体验文化，相邻两段的出行方式不能相同，且选择地铁、公交、打车、共享单车的概率是等可能的．已知他每日从酒店出行的方式一定是从地铁开始，记第段行程上David坐地铁的概率为，易知，

①试证明为等比数列；

②设第次David选择共享单车的概率为，比较与的大小．

附：，．

21. 设抛物线，过焦点的直线与抛物线交于点，.当直线垂直于轴时，.

（1）求抛物线的标准方程.

（2）已知点，直线，分别与抛物线交于点，

①求证：直线过定点；

②求与面积之和的最小值.

22. 设函数，若曲线在处的切线方程为．

（1）求实数的值．

（2）证明：函数有两个零点．

（3）记是函数的导数，，为的两个零点，证明：．