2023湖州高二下学期期末数学试题含解析

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2022学年第二学期期末调研测试卷
高二数学
本试卷共6页，22小题，满分150分.考试用时120分钟.
注意事项：
1.答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上.
2.作答选择题时，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上.不按以上要求作答的答案无效.
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先解不等式化简集合，再由交集运算求解即可.
【详解】由，故，
∴，
故选：B.
2. 已知复数满足（i是虚数单位），则复数的共轭复数（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据复数的除法得到复数，再根据共轭复数即可求得结果.
【详解】∵，∴，
∴复数的共轭复数为.
故选：D．
3. 设，，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据对数的运算性质化简可得，结合对数函数的单调性即可求解.
【详解】由对数的运算性质，可得：
，
，
，
因为，则，
所以.
故选：A．
4. 国家于2021年8月20日表决通过了关于修改人口与计划生育法的决定，修改后的人口计生法规定，国家提倡适龄婚育､优生优育，一对夫妻可以生育三个子女，该政策被称为三孩政策.某个家庭积极响应该政策，一共生育了三个小孩，假定生男孩和生女孩是等可能的，记事件：该家庭既有男孩又有女孩；事件：该家庭最多有一个男孩；事件：该家庭最多有一个女孩.则下列说法正确的是（ ）
A. 事件与事件互斥但不对立 B. 事件与事件互斥且对立
C. 事件与事件相互独立 D. 事件与事件相互独立
【答案】D
【解析】
【分析】利用互斥事件、对立事件的意义可判断选项A，B；利用独立事件的定义可判断C,D
【详解】有三个小孩的家庭的样本空间可记为：
={(男，男，男)，(男，男，女)，(男，女，男)，(女，男，男)，(男，女，女)，(女，男，女)，(女，女，男)，(女，女，女)}，
事件={(男，男，女)，(男，女，男)，(女，男，男)，(男，女，女)，(女，男，女)，(女，女，男)}
事件={(男，女，女)，(女，男，女)，(女，女，男)，(女，女，女)}，
事件={(男，男，男)，(男，男，女)，(男，女，男)，(女，男，男)}，
对于A，,且，所以事件B与事件C互斥且对立，故A不正确；
对于B，{(男，女，女)，(女，男，女)，(女，女，男)}，所以事件与事件不互斥，故B不正确；
对于C，事件有4个样本点，事件有4个样本点，事件有0个样本点，，显然有，即事件与事件不相互独立，故C不正确；
对于D，事件有6个样本点，事件有4个样本点，事件有3个样本点，，显然有，即事件与事件相互独立，故D正确；
故选：D
5. 已知函数对任意都有，则当取到最大值时，函数图象的一条对称轴是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先根据，得到，结合，得到的范围，求出的范围，进而得到的最大值，再利用整体法求出函数的对称轴，得到答案.
【详解】，,，
，，
，所以的最大值为，
当时，令，
解得，
当时，对称轴为，故A正确；
若，则，故B错误；
若，则，故C错误；
若，则，故D错误；
故选：A.
6. 已知单位向量，满足，则在上的投影向量是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先将两边平方得到向量的数量积，再根据在方向上的投影向量公式得出结果.
【详解】由已知得，
因为，所以，即.
所以在方向上投影向量为.
故选：D．
7. 7个人站成一排准备照一张合影，其中甲、乙要求相邻，丙、丁要求分开，则不同的排法有（ ）
A. 400种 B. 720种 C. 960种 D. 1200种
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意，结合捆绑法分别计算甲、乙要求相邻的排法和甲、乙要求相邻且丙、丁也相邻的排法，再相减即可求解.
【详解】根据题意，可知甲、乙要求相邻的排法有种，
而甲、乙要求相邻且丙、丁也相邻的排法有种，
故甲、乙要求相邻，丙、丁分开的排法有种.
故选：C.
8. 已知函数的定义域为，若为偶函数，为奇函数，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据奇偶性可求得函数是以4为周期函数，再利用赋值法求函数值，即可判断.
【详解】函数为奇函数，则，可得
函数为偶函数，则，可得，
所以，即，即，
即，故函数是以4为周期的函数，
由，令，得，知，
则，故C正确；
其它选项，根据题目中的条件无法确定函数值的结果，故ABD不一定成立.
故选：C.
二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，至少有两个是符合题目要求的，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.
9. 2023年6月18日，很多商场都在搞“618”促销活动.市物价局派人对5个商场某商品同一天的销售量及其价格进行调查，得到该商品的售价元和销售量件之间的一组数据（如表所示），用最小二乘法求得关于的经验回归直线是，相关系数，则下列说法正确的有（ ）

90
95
100
105
110

11
10
8
6
5

A. 变量与负相关且相关性较强 B.
C. 当时，的估计值为14.5 D. 相应于点的残差为0.4
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据相关性、相关系数判断A，利用样本中心点判断B，将代入回归直线方程判断C，求得时的估计值，进而求得对应的残差，从而判断D.
【详解】对A，由回归直线可得变量，线性负相关，且由相关系数可知相关性强，故A正确；
对B，由题可得，，
故回归直线恒过点，故，即，故B正确；
对C，当时，，故C错误；
对D，相应于点的残差，故D正确.
故选：ABD.
10. 已知函数的图象是由函数的图象向右平移个单位得到，则（ ）
A. 的最小正周期为π
B. 在区间上单调递增
C. 的图象关于直线对称
D. 的图象关于点对称
【答案】AD
【解析】
【分析】用二倍角公式化简，向右平移后得，分别代入正弦函数的单调区间，对称轴，对称中心分别对四个选项判断即可.
【详解】因为，向右平移个单位得，则最小正周期为，故A选项正确；
令，解得，所以单调递增区间为，故B选项错误；
令解得，故C选项错误；
令解得所以函数的对称中心为，故D选项正确.
故选：AD
11. 已知，，且，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】BC
【解析】
【分析】用特值法判断A；推出范围，结合指数函数的单调性判断B；利用基本不等式判断C；利用对数的运算性质结合基本不等式判断D.
【详解】对于A，当时，，故A错误；
对于B，，，且，则，
所以，则，故B正确；
对于C，，仅当取等号，
又，则，故C正确；
对于D，，仅当取等号，故D错误.
故选：BC.
12. 已知函数，，，函数图象在点处的切线与在点处的切线互相垂直，且分别与轴交于、两点，则（ ）
A. 为定值 B. 为定值
C. 直线的斜率取值范围是 D. 的取值范围是
【答案】ACD
【解析】
【分析】结合导数的几何意义可得，即可判断AB；结合基本不等式可判断C；结合直线方程及两点间距离公式可得，化简可判断D.
【详解】当时，，导数为，
可得在点处的斜率为，
切线AM的方程为，
令，可得，即，
当时，，导数，
可得在点处的斜率为，
令，可得，即，
由的图象在A，B处的切线相互垂直，可得，
即为，故A正确，B错误；
直线的斜率，
因为，所以上面不等式中的等号不成立 ，故C正确；
，
，故D正确.
故答案为：ACD.
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 已知的展开式中含有常数项，则的一个可能取值是______．
【答案】4、8、12、16（任选一个为答案）
【解析】
【分析】根据二项式定理展开上述式子，找到满足题意的关于的取值规律，即可求出答案.
【详解】根据二项式定理展开可得，
因为展开式中含有常数项，所以，
由此可得当为4的倍数时，即可满足题意，又因，故可取4、8、12、16.
故答案为：4、8、12、16（任选一个为答案）
14. 设随机变量服从正态分布，的分布密度曲线如图所示，若，则______，______.

【答案】 ①. ②. ##
【解析】
【分析】由密度曲线可知，，根据正态分布的性质计算可得.
【详解】由的分布密度曲线关于对称，可知，，
又，所以，.
故答案为：；
15. 湖州地区甲、乙、丙三所学科基地学校的数学强基小组人数之比为，三所学校共有数学强基学生48人，在一次统一考试中，所有学生的成绩平均分为117，方差为21.5．已知甲、乙两所学校的数学强基小组学生的平均分分别为118和114，方差分别为15和21，则丙学校的学生成绩的方差是______.
【答案】12
【解析】
【分析】根据按比例分配分层随机抽样总样本平均数与方差的计算公式求解.
【详解】甲、乙、丙三所学科基地学校的数学强基小组人数之比为，三所学校共有数学强基学生48人，
则甲校的数学强基小组人数24；乙校的数学强基小组人数为16；丙校的数学强基小组人数8，
把甲校的数学强基小组学生的平均分记为，方差记为；
把乙校的数学强基小组学生的平均分记为，方差记为；
把丙校的数学强基小组学生的平均分记为，方差记为；
把所有学生的平均分记为，方差记为．
根据按比例分配分层随机抽样总样本平均数与各层样本平均数的关系，
可得，即，解得，
因此，，
即，
解得.
故答案为：12.
16. 在四面体中，，，且，，异面直线，所成角为，则该四面体外接球的表面积是______.
【答案】或
【解析】
【分析】由题意将四面体补成一个直三棱柱，由此可求出外接球的半径，求得答案.
【详解】如图：过B作且，连接，过A作且，连接，
因为，所以，又，面 ，
所以面，所以可以将四面体补成一个如图所示的直三棱柱，
所以四面体与直三棱柱有共同的外接球，
且球心位于底面外心沿方向的处，即，（设四面体的外接球半径为R， 的外接圆半径为r，）.

因为异面直线，所成角为，所以或，
当时， ，
当时， ，则，
则 ，
所以该四面体外接球的半径或，
则外接球的表面积为.或，
故答案为：或
【点睛】几何体外接球球心的求法：
（1）将几何体置入长方体或直棱柱中找球心；
（2）利用几何法找到几何体各个顶点距离相等的点即为球心；
（3）设球心坐标，根据到各顶点的距离相等解方程组得到球心坐标.
四、解答题：本题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. 设袋子中装有大小相同的6个红球和4个白球，现从袋中任取4个小球（每球取出的机会均等）.
（1）求取出的4个小球中红球个数比白球个数多的概率；
（2）若取出一个红球记2分，取出一个白球记1分，记表示取出的4个球的总得分，求随机变量的分布列和数学期望.
【答案】（1）
（2）分布列见解析，数学期望
【解析】
【分析】（1）取出的4个小球中红球个数比白球个数多的事件分为：3个红球1白球、4个红球，结合古典概型公式求解；
（2）由题意所有可能的取值为：，求出对应概率，得随机变量的分布列，利用数学期望公式计算期望.
【小问1详解】
取出的4个小球中红球个数比白球个数多的事件分为：3个红球1白球、4个红球，
则.
【小问2详解】
由题意所有可能的取值为：，
，
所以随机变量的分布列为

4
5
6
7
8






随机变量的数学期望为
18. 已知函数（且）.
（1）求函数的奇偶性；
（2）若关于的方程有实数解，求实数的取值范围.
【答案】（1）奇函数 （2）
【解析】
【分析】（1）求出函数的定义域，利用函数奇偶性的定义可得出结论；
（2）由可得出，求出函数在上的值域，可得出实数的取值范围.
【小问1详解】
解：对于函数，有，则，解得，
所以函数的定义域为，
，故函数为奇函数.
【小问2详解】
解：由可得，
则，
令，其中，
因为函数、在上为增函数，故函数在上为增函数，
当时，，
因此，实数的取值范围是.
19. 第19届亚运会将于2023年9月23日在杭州开幕，本次亚运会共设40个大项，61个分项，482个小项．为调查学生对亚运会项目的了解情况，某大学进行了一次抽样调查，若被调查的男女生人数均为，统计得到以下列联表，经过计算可得.

男生
女生
合计
了解



不了解



合计




（1）求的值，并判断有多大的把握认为该校学生对亚运会项目的了解情况与性别有关；
（2）①为弄清学生不了解亚运会项目的原因，采用分层抽样的方法从抽取的不了解亚运会项目的学生中随机抽取9人，再从这9人中抽取3人进行面对面交流，“至少抽到一名女生”的概率；
②将频率视为概率，用样本估计总体，从该校全体学生中随机抽取10人，记其中对亚运会项目了解的人数为，求随机变量的数学期望.
附表：

0.10
0.05
0.025
0.010
0.001

2.706
3.841
5.024
6.635
10.828
附：.
【答案】（1），有的把握认为该校学生对亚运会项目的了解情况与性别有关
（2）①；②
【解析】
【分析】（1）完善列联表，根据的计算可得出关于的等式，即可解得正整数的值，结合临界值表可得出结论；
（2）①分析可知，抽取的这9人中男生的人数为4，女生的人数为5，利用组合数结合古典概型和对立事件的概率公式可求得所求事件的概率；
②分析可知，利用二项分布的期望公式可求得的值.
【小问1详解】
被调查的男女生人数均为，其中男生中了解的有，则不了解的有，
其中女生中不了解的有，则了解的有，
列联表如下表所示：

男生
女生
合计
了解



不了解



合计



，又，可得，
因为，
所以有的把握认为该校学生对亚运会项目的了解情况与性别有关；
【小问2详解】
①采用分层抽样的方法从抽取的不了解亚运会项目的学生中随机抽取9人，
所以这9人中男生的人数为4，女生的人数为5，
再从这9人中抽取3人进行面对面交流，
“至少抽到一名女生”的概率为；
②由题意可知，故.
20. 记的内角的对边分别为，已知．
（1）求；
（2）设的中点为，若，且，求的的面积．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】(1)由可得，由正弦定理及辅助公式得,即可求得答案；
(2) 在中，由余弦定理得，；在中，由余弦定理得，，从而得，再由，可得，，由三角形面积公式求解即可.
【小问1详解】
解：由已知得，，
由正弦定理可得，，
因为，
所以,
代入上式，整理得，
又因为，，
所以，
即,
又因为，
所以，
所以，
解得；
【小问2详解】
在中，由余弦定理得，．
而，，所以，①
在中，由余弦定理得，，②
由①②两式消去a，得，
所以，
又，解得，．
所以的面积．
21. 如图，圆台的上底面的半径为1，下底面的半径为，是圆台下底面的一条直径，是圆台上底面的一条半径，为圆上一点，点，在平面的同侧，且，.

（1）证明：平面；
（2）若三棱锥的体积为，求平面与平面所成角的正弦值.
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）取AC的中点M，先证明平面PAC，再利用即可得到证明；
（2）建立空间直角坐标系，由体积得到圆台的高，再求出两个平面的法向量，利用坐标法计算即可.
【小问1详解】
证明：如图取中点，连接，

由题意，，，
又为的中位线，故，
又为直径，所以，则.
由和，得，又，
所以四边形是平行四边形，故，
又平面，故，所以，又，
又，所以平面，
由，得平面.
【小问2详解】
由三棱锥的体积为得，，
以为原点，，，所在直线分别为轴，
建立如图所示空间直角坐标系，

则，，，，.
得，，
，.
设平面的法向量，
由，令得：，.
得，
设平面的法向量，
由令得：，.
得，
则.
所以平面与平面所成角的正弦值为.
22. 已知函数，，.
（1）当时，求函数的单调区间；
（2）设函数的最小值为，求函数的最小值.
（其中是自然对数的底数）
【答案】（1）在单调递减，在单调递增
（2）0
【解析】
【分析】（1）当时，，求导，利用导数与单调性的关系求解；
（2）由题意得，，可求得，在上存在唯一零点，且，结合条件得，然后利用导数研究函数的性质求得的最小值．
小问1详解】
当时，，
由题意得，
所以，
令，则，
当时，，单调递减；当时，，单调递增，
故，则．
故当时，，当时，，
因此所求函数在单调递减，在单调递增．
【小问2详解】
由题意得，，则，
令，则，
所以在上为增函数，
又，
所以在上存在唯一零点，且，
，即．
当时，，当时，，
所以在单调递减，在单调递增，
因此，
因为，所以，所以．
由得，显然在单调递增．
因为，所以，
所以在上存在唯一零点，且，
当时，，当时，，
所以在上为减函数，在上为增函数，
所以的最小值为，
因为，所以，所以，
又，所以，
又函数在上为增函数，所以，

，
因为，所以，即在上的最小值为0．
【点睛】方法点睛：含参数的函数的最值，一般先讨论函数的单调性，再根据单调性求出最值．含参数的函数在区间上的最值通常有两类：一是动极值点定区间，二是定极值点动区间，这两类问题一般根据区间与极值点的位置关系来分类讨论．