人教A版 (2019)选择性必修 第一册3.1 椭圆随堂练习题

第三章　培优课　椭圆的综合问题及应用

A级  必备知识基础练

1.[探究点一]直线y=x-1被椭圆2x2+y2=4所截得的弦的中点坐标是(　　)

A. B.

C. D.

2.[探究点三]已知F1,F2是椭圆+y2=1的两个焦点,P为椭圆上一动点,则使|PF1|·|PF2|取最大值的点P为(　　)

A.(-2,0) B.(0,1)

C.(2,0) D.(0,1)或(0,-1)

3.[探究点四]若AB是过椭圆=1(a>b>0)中心的一条弦,M是椭圆上任意一点,且AM,BM与两坐标轴均不平行,kAM,kBM分别表示直线AM,BM的斜率,则kAM·kBM等于(　　)

A.- B.- 

C.- D.-

4.[探究点二]过椭圆+y2=1的右焦点且与椭圆长轴垂直的直线与椭圆相交于A,B两点,则|AB|=　　　　　. 

5.[探究点二]若直线mx+ny=4与圆x2+y2=4没有交点,则过点P(m,n)的直线与椭圆=1的交点个数为　　　　　. 

6.[探究点四]已知F1为椭圆C:+y2=1的左焦点,直线l:y=x-1与椭圆C交于A,B两点,那么|F1A|+|F1B|的值为　　　　　. 

7.[探究点一][2023山西阳泉期末]已知椭圆的中心在坐标原点,一个焦点为F(2,0),该椭圆被直线x+3y-4=0所截得的弦的中点的横坐标为1,则该椭圆的标准方程为　　　　　.

8.[探究点三]已知椭圆C:=1(a>b>0)的离心率为,P是C上一点,F1,F2是C的两个焦点,且|PF1|+|PF2|=4.

(1)求椭圆C的方程;

(2)设直线y=x+n交椭圆C于A,B两点,O为坐标原点,求△OAB面积的最大值.

B级  关键能力提升练

9.已知椭圆=1(a>b>0)的短轴长为2,上顶点为A,左顶点为B,F1,F2分别是椭圆的左、右焦点,且△F1AB的面积为,点P为椭圆上的任意一点,则的取值范围为(　　)

A.[1,2] B.[] 

C.[,4] D.[1,4]

10.直线y=x+2与椭圆=1(m>0且m≠3)有两个公共点,则m的取值范围是(　　)

A.(1,+∞) B.(1,3)∪(3,+∞)

C.(3,+∞) D.(0,3)∪(3,+∞)

11.A为椭圆C:=1(a>b>0)的右顶点,P为椭圆C上一点(不与A重合),若=0(O是坐标原点),则(c为半焦距)的取值范围是(　　)

A. B. 

C. D.以上说法都不对

12.已知椭圆C:=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,以F2为圆心的圆过椭圆C的中心,且与C在第一象限交于点P.若直线PF1恰好与圆F2相切于点P,则C的离心率为(　　)

A.-1 B. 

C. D.

13.(多选题)设A,B是椭圆C:=1长轴的两个顶点,若C上存在点P满足∠APB= 120°,则k的取值可以是(　　)

A. B.2 

C.6 D.12

14.椭圆=1的左、右焦点分别为F1,F2,弦AB过点F1,若△ABF2的内切圆周长为π,A,B两点的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),则|y1-y2|的值为(　　)

A. B. 

C. D.

15.已知P是椭圆=1(a>b>0)上的一点,F1,F2分别为椭圆的左、右焦点,∠F1PF2= 120°,且|PF1|=3|PF2|,则椭圆的离心率为　　　　　. 

16.已知椭圆C:=1(a>b>0)过点P,离心率是.

(1)求椭圆C的标准方程;

(2)若直线l与椭圆C交于A,B两点,线段AB的中点为M,求直线l与坐标轴围成三角形的面积.

C级  学科素养创新练

17.有一椭圆形溜冰场,长轴长是100 m,短轴长是60 m.现要在这个溜冰场上划定一个各顶点都在溜冰场边界上的矩形,且使这个矩形的面积最大,试确定这个矩形的顶点的位置.这时矩形的周长是多少?

答案：

1.A　由消去y得2x2+(x-1)2=4,即3x2-2x-3=0,

∴弦的中点的横坐标是x=,

代入直线方程y=x-1中,得y=-,

∴弦的中点坐标是.

2.D　由椭圆的定义得|PF1|+|PF2|=2a=4,

所以|PF1|·|PF2|≤=4,

当且仅当PF1=PF2=2,即点P坐标为(0,-1)或(0,1)时,等号成立.故选D.

3.B　(方法1)设A(x1,y1),M(x0,y0),x0≠±x1,

则B(-x1,-y1),

kAM·kBM===-.

(方法2)因为四个选项为定值,取A(a,0),B(-a,0),M(0,b),可得kAM·kBM=-.

4.1　因为在+y2=1中,a2=4,b2=1,

所以c2=3,所以右焦点的坐标为(,0),

将x=代入+y2=1得y=±,故|AB|=1.

5.2　因为直线mx+ny=4与圆x2+y2=4没有交点,所以>2,所以m2+n2<4,

即点P(m,n)在以原点为圆心,以2为半径的圆内(不包含边界),

所以点P(m,n)在椭圆=1的内部,

故过点P(m,n)的直线与椭圆=1有两个交点.

6.　设A(x1,y1),B(x2,y2),

由消去y得3x2-4x=0,得x=0或x=,

不妨令A(0,-1),B.

又F1(-1,0),∴|F1A|+|F1B|=.

7.=1　设椭圆的标准方程为=1(a>b>0),

由题意,椭圆被直线x+3y-4=0所截得的弦AB的中点的坐标为(1,1),

设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=2,y1+y2=2,

由得b2(x1+x2)(x1-x2)+a2(y1+y2)(y1-y2)=0,

即2b2(x1-x2)+2a2(y1-y2)=0,

则kAB==-,∴-=-,即a2=3b2.

又a2-b2=4,∴a2=6,b2=2,

故椭圆的标准方程为=1.

8.解(1)∵|PF1|+|PF2|=4,∴2a=4,即a=2.

∵e=,∴c=,∴b2=a2-c2=2,

即椭圆C的方程为=1.

(2)设点A的坐标为(x1,y1),点B的坐标为(x2,y2),

将y=x+n代入椭圆C的方程,

整理得5x2+4nx+2n2-4=0,

Δ=32n2-20(2n2-4)>0,∴n2<10,

∴x1+x2=-,x1x2=,

∴|AB|=,点O到直线AB的距离d=,

∴S△OAB=×|AB|×d=×(10-n2+n2)=,

∴当且仅当10-n2=n2,即n2=5时,等号成立,

∴△OAB面积的最大值为.

9.D　由椭圆=1(a>b>0)的短轴长为2b=2,得b=1.

又(a-c)b=,解得a-c=2-,

∴a=2,c=,|PF1|+|PF2|=2a=4.

设|PF1|=x,则|PF2|=4-x,x∈[a-c,a+c],即x∈[2-,2+],

∴∈[1,4].

10.B　由消去y可得(3+m)x2+4mx+m=0,

∴Δ=(4m)2-4m(3+m)>0,解得m>1或m<0.

又m>0且m≠3,∴m>1且m≠3.

11.B　∵设P(x0,y0)(x0≠a),∵=0(O是坐标原点),

则点P在以OA为直径的圆上,

∴即c2-a3x0+a2b2=0,

即(c2x0-ab2)(x0-a)=0,∴x0=a,或x0=,

∵x0≠a,故x0=,∴0<<a.

∴b2<c2,即a2-c2<c2,∴,

∴的取值范围是.故选B.

12.A　如图所示,依题意得∠F1PF2=90°,|PF2|=c,

∴|PF1|=2a-c.

又|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2,

∴(2a-c)2+c2=4c2,即c2+2ac-2a2=0,

∴e2+2e-2=0,解得e=-1或e=--1(舍).故选A.

13.AD　若C上存在点P满足∠APB=120°,

则只需当点P在短轴顶点时∠APB≥120°.

故分析长半轴与短半轴的关系即可.

当焦点在x轴时,若∠APB≥120°,

则⇒0<k≤,

当焦点在y轴时,若∠APB≥120°,

则⇒k≥12.故k∈∪[12,+∞),

由选项可知,A,D符合题意.

14.A　易知△ABF2的内切圆的半径r=,

可得△ABF2的面积S=lr=×2c·|y1-y2|,其中l为△ABF2的周长,且l=4a,

代入数据解得|y1-y2|=.

15.　设|PF2|=m(m>0),则|PF1|=3m.

由∠F1PF2=120°得,|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1||PF2|cos 120°,

即4c2=9m2+m2+3m·m,因此,c=m.

又2a=|PF1|+|PF2|=4m,∴a=2m.

∴e=.

16.解(1)由已知可得=1,

c2=a2-b2,解得a=2,b=1.

∴椭圆的方程为+y2=1.

(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),易知x1≠x2,代入椭圆方程得=1,=1,

两式相减得+(y1-y2)(y1+y2)=0,

由中点坐标公式得x1+x2=1,y1+y2=1.

∴直线AB的斜率kAB==-,可得直线AB的方程为y-=-,

令x=0,可得y=,令y=0,可得x=,

则直线l与坐标轴围成的三角形面积为S=.

17.解分别以椭圆的长轴、短轴所在的直线为x轴、y轴,以长轴的中点为坐标原点O,

建立如图所示的平面直角坐标系.

设矩形ABCD的各顶点都在椭圆上.

易知矩形ABCD关于原点O及x轴、y轴对称.

已知椭圆的长轴长2a=100 m,短轴长2b=60 m,则a=50 m,b=30 m,

所以椭圆的方程为=1.

设点A的坐标为(x0,y0),x0>0,y0>0,

则=1,即(502-).

根据矩形ABCD的对称性,可知它的面积S=4x0y0.

∵(502-)=,

∴当时,取得最大值,此时S也取得最大值.

这时x0=25,y0=15.

矩形ABCD的周长为4(x0+y0)=4×(25+15)=160(m).

因此,在椭圆形溜冰场的两侧分别画一条与短轴平行且与短轴相距25 m的直线,这两条直线与椭圆的交点就是所划定的矩形的顶点,这个矩形的周长为160 m.