数学必修 第一册3.2 函数的基本性质第2课时习题

这是一份数学必修 第一册3.2 函数的基本性质第2课时习题，共9页。试卷主要包含了已知函数f=x+1x等内容，欢迎下载使用。
第三章　第2课时　函数的最大(小)值A级  必备知识基础练1.[探究点一]函数f(x)=的值域为(　　)A. B.[-1,2] C. D.2.[探究点二]函数f(x)=的最大值是(　　)A. B. C. D.3.[探究点二]已知函数y=(k≠0),在区间[3,8]上的最大值为1,则k的值为(　　)A.1 B.-6 C.1或-6 D.64.[探究点三(角度2)·2023北京西城期末]“空气质量指数(AQI)”是定量描述空气质量状况的无量纲指数.当AQI大于200时,表示空气重度污染,不宜开展户外活动.某地某天0~24时的空气质量指数y随时间t变化的趋势由函数y=描述,则该天适宜开展户外活动的时长至多为(　　)A.5小时 B.6小时 C.7小时 D.8小时5.[探究点二](多选题)已知函数f(x)=x2的值域是[0,4],则它的定义域可能是(　　)A.[-1,2] B.[-3,2] C.[-1,1] D.[-2,1]6.[探究点三(角度1)]已知函数f(x)=(x>0),则函数f(x)在(0,+∞)上　　　　(填“单调递增”或“单调递减”).若f(x)在上的值域是,则a的值是　　　　. 7.已知函数f(x)=x+.(1)根据定义证明f(x)在区间[1,+∞)上单调递增;(2)若对∀x∈[2,4],恒有f(x)≤2m-1,求实数m的取值范围. B级  关键能力提升练8.已知函数y=x2-4x+3在区间[a,b]上的值域为[-1,3],则b-a的取值范围是(　　)A.[0,2] B.[0,4]C.(-∞,4] D.[2,4]9.某公司在甲、乙两地同时销售一种品牌车,利润(单位:万元)分别为L1=-x2+21x和L2=2x,其中销售量为x(单位:辆).若该公司在两地共销售15辆,则能获得的最大利润为(　　)A.90万元 B.120万元C.120.25万元 D.60万元10.(多选题)已知函数f(x)=-2x+1,x∈[-2,2],g(x)=x2-2x,x∈[0,3],则下列结论正确的是(　　)A.∀x∈[-2,2],f(x)>a恒成立,则实数a的取值范围是(-∞,-3)B.∃x∈[-2,2],f(x)>a,则实数a的取值范围是(-∞,-3)C.∃x∈[0,3],g(x)=a,则实数a的取值范围是[-1,3]D.∀x∈[-2,2],∃t∈[0,3],f(x)=g(t)11.已知函数y=x2-2x+3在区间[0,m]上有最大值3,最小值2,则实数m的取值范围是　　　　　. 12.用min{a,b}表示a,b两个数中的最小值.设f(x)=min{x+2,10-x}(x≥0),则f(x)的最大值为　　　　　. 13.设函数f(x)=当a=1时,f(x)的最小值是　　　　　;若f(x)≥a2恒成立,则a的取值范围是　　　　　. 14.某商场就一新款儿童玩具进行促销活动,活动时长是30天,这30天内第x(1≤x≤30,x∈N*)天的销售单价(单位:元/件)为p(x)=销售量(单位:件)为q(x)=n-x,1≤x≤30,x∈N*,且第20天的销售额为1 800元(销售额=销售单价×销售量).(1)求n的值,并求出第5天的销售额;(2)求这30天内单日销售额的最大值. C级  学科素养创新练15.在①∀x∈[-2,2],②∃x∈[1,3]这两个条件中任选一个,补充到下面问题的横线中,并求解该问题.已知函数f(x)=x2+ax+4.(1)当a=-2时,求f(x)在区间[-2,2]上的值域;(2)若　　　　　,f(x)≥0,求实数a的取值范围.  答案：1.A　解析 f(x)==1-,当x∈时,结合图象(图略)可知,函数f(x)单调递增,所以当x=时,函数取得最小值,最小值为f=1-=1-2=-1;当x=2时,函数取得最大值,最大值为f(2)=1-,即函数f(x)的值域为,故选A.2.C　解析 因为1-x(1-x)=x2-x+1=2+,所以.故f(x)的最大值为.3.A　解析 由题意,当k>0时,函数y=在区间[3,8]上单调递减,∵函数在区间[3,8]上的最大值为1,∴=1,解得k=1;当k<0时,函数y=在区间[3,8]上单调递增,∵函数在区间[3,8]上的最大值为1,∴=1,解得k=6(舍去),故选A.4.C　解析 由题意知适宜开展户外活动的时间为解得9≤t≤12或12<t≤16,故适宜开展户外活动的时长至多为7小时.故选C.5.AD　解析 ∵f(x)的值域是[0,4],∴0≤x2≤4,∴-2≤x≤2.∴结合选项,f(x)的定义域可能是[-1,2],[-2,1].∵f(-3)=9,f(x)在[-1,1]上的最大值为1,∴[-3,2]和[-1,1]不可能是f(x)的定义域.故选AD.6.单调递增　　解析 由于函数y=-在区间(0,+∞)上是增函数,因此函数f(x)=(x>0)在(0,+∞)上单调递增,所以函数f(x)在上单调递增,∴f=-2=,且f(2)==2,解得a=.7.解 (1)任取x1,x2∈[1,+∞),且x1<x2,则f(x2)-f(x1)=x2+-x1-=(x2-x1)+=(x2-x1)=.因为x2>x1≥1,所以x2-x1>0且x1x2>1,所以>0,则f(x2)-f(x1)>0,即f(x1)<f(x2).所以f(x)在区间[1,+∞)上单调递增.(2)由(1)可得函数f(x)在区间[2,4]上单调递增,所以f(x)max=f(4)=.所以2m-1≥,解得m≥,所以实数m的取值范围是[,+∞).8.D　解析 ∵y=x2-4x+3=(x-2)2-1,画出图象如图所示,当x=0或x=4时,x2-4x+3=3,当x=2时,x2-4x+3=-1,结合二次函数的性质可得,b-a的最小值为2,b-a的最大值为4.故选D.9.B　解析 设该公司在甲地销售x辆车,则在乙地销售(15-x)辆车,利润为y万元,根据题意,总利润y=-x2+21x+2(15-x)(0≤x≤15,x∈N),整理得y=-x2+19x+30.因为该函数图象的对称轴为直线x=,开口向下,又x∈N,所以当x=9或x=10时,y取得最大值120万元.10.AC　解析 在A中,因为f(x)=-2x+1,x∈[-2,2]是减函数,所以当x=2时,函数取得最小值,最小值为-3,因此a<-3,A正确;在B中,因为f(x)=-2x+1,x∈[-2,2]是减函数,所以当x=-2时,函数取得最大值,最大值为5,因此a<5,B错误;在C中,g(x)=x2-2x=(x-1)2-1,x∈[0,3],∴当x=1时,函数取得最小值,最小值为-1,当x=3时,函数取得最大值,最大值为3,故函数g(x)的值域为[-1,3],由g(x)=a有解,知a∈[-1,3],C正确;在D中,∀x∈[-2,2],∃t∈[0,3],f(x)=g(t)等价于f(x)的值域是g(t)的值域的子集,而f(x)的值域是[-3,5],g(t)的值域是[-1,3],D错误.故选AC.11.[1,2]　 解析 y=x2-2x+3=(x-1)2+2,令(x-1)2+2=3,得x=0或x=2.作出函数图象如图所示,由图象知,实数m的取值范围是[1,2]. 12.6　解析 在同一平面直角坐标系中画出函数y=x+2和y=10-x的图象.根据min{x+2,10-x}(x≥0)的含义可知,f(x)(x≥0)的图象应为图中实线部分.解方程x+2=10-x,得x=4,此时y=6,故两图象的交点坐标为(4,6).由图象可知,函数f(x)的最大值为6.13.1　[0,]　解析 当a=1时,当x≤0时,f(x)=(x-1)2≥1;当x>0时,f(x)=x+≥2=2,当且仅当x=1时,等号成立.所以f(x)的最小值为1.当x≤0时,f(x)≥a2,即(x-a)2≥a2,即x(x-2a)≥0恒成立,所以x-2a≤0恒成立,即2a≥x恒成立,所以2a≥0,即a≥0.当x>0时,f(x)≥a2,即x+≥a2恒成立,因为x+≥2=2,当且仅当x=1时,等号成立,所以a2≤2,所以-≤a≤.综上所述,a的取值范围是[0,].14.解 (1)设单日销售额为y元,则y=p(x)·q(x)=整理得y=当x=20时,y=400-20(n+80)+80n=1 800,解得n=50,故y=当x=5时,y=2 700,即第5天的销售额为2 700元.(2)由(1)知,当1≤x≤10,x∈N*时,y=-2x2+50x+2 500单调递增,则单日销售额的最大值为-2×102+50×10+2 500=2 800(元),当10<x≤30,x∈N*时,y=x2-130x+4 000单调递减,则单日销售额的最大值为112-130×11+4 000=2 691(元).综上所述,这30天内单日销售额的最大值为2 800元.15.解 (1)当a=-2时,f(x)=x2-2x+4=(x-1)2+3,则f(x)在区间[-2,1]上单调递减,在区间[1,2]上单调递增,∴f(x)min=f(1)=3,f(-2)=12,f(2)=4,故f(x)在区间[-2,2]上的值域为[3,12].(2)若选择条件①:若a≥4,则f(x)在[-2,2]上单调递增,∴f(x)min=f(-2)=8-2a≥0,解得a≤4.又a≥4,∴a=4.若-4<a<4,则f(x)在上单调递减,在上单调递增,∴f(x)min=f=4-≥0,解得-4<a<4.若a≤-4,则f(x)在[-2,2]上单调递减,∴f(x)min=f(2)=8+2a≥0,解得a≥-4.又a≤-4,∴a=-4.综上所述,a的取值范围是[-4,4].若选择条件②:∵∃x∈[1,3],f(x)≥0,∴当x∈[1,3]时,f(x)max≥0,即f(1)≥0或f(3)≥0,解得a≥-5或a≥-.∴a≥-5,即a的取值范围为[-5,+∞).