高考数学一轮复习基础版讲义（适合艺术生、基础生一轮复习）——特征数及抽样方法

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第41讲 特征数及抽样方法两种抽样方法（一）简单随机抽样1.概念：一般地，从元素个数为N的总体中逐个不放回地抽取容量为的样本，如果每一次抽取时总体中的各个个体有相同的可能性被抽到，这种抽样方法叫做简单随机抽样．2.最常用的简单随机抽样的方法：抽签法和随机数法3.适用范围是：总体中的个体性质相似，无明显层次；总体容量较小，尤其是样本容量较小.（二）．分层抽样1.概念：当总体由有明显差别的几部分组成时，为了使抽取的样本更好地反映总体的情况，常采用分层抽样，将总体中各个个体按某种特征分成若干个互不交叉的几部分，每一部分叫做层，在各层中按层在总体中所占比例进行简单随机抽样或系统抽样，这种抽样方法叫做分层抽样．2.应用范围是：总体由差异明显的几部分组成的情况；分层后，在每一层抽样时可采用简单随机抽样或系统抽样．3.特征：等比例抽样二．频率分布直方图（表） 1.频率分布直方图基础概念①纵轴表示，②频率：数据落在各小组内的频率用各长长方形的面积表示③各小长方形的面积总和等于1．④分布折线图：连接频率分布直方图中各小长方形上端的中点，就得到频率分布折线图．随着样本容量的增加，作图时所分的组数增加，组距减小，相应的频率分布折线图就会越来越接近于一条光滑的曲线，统计中称之为总体密度曲线，它能够更加精细的反映出总体的分布规律．2.频率分布直方图的步骤如下(ⅰ)求极差；(ⅱ)确定组距和组数；(ⅲ)将数据分组；(ⅳ)列频率分布表；(ⅴ)画频率分布直方图．频率分布直方图能很容易地表示大量数据，非常直观地表明分布的形状．三．茎叶图1.概念：当数据有两位有效数字时，用中间的数字表示十位数，即第一个有效数字，两边的数字表示个位数，即第二个有效数字，它的中间部分像植物的茎，两边部分像植物茎上长出来的叶子，因此通常把这样的图叫做茎叶图．当数据有三位有效数字，前两位相对比较集中时，常以前两位为茎，第三位(个位)为叶(其余类推)．2.两个突出的优点：其一是统计图上没有原始数据的损失，所有信息都可以从这个茎叶图中得到，其二是在比赛时随时记录，方便记录与表示．四．样本的数字特征特征数具体数字算法频率分布直方图（表）众数次数出现最多的数字频率最大或最高组的中间值中位数样本数据中，将数据按大小排列，位于最中间的数据．如果数据的个数为偶数，就取当中两个数据的平均数作为中位数频率等于0.5时的横坐标平均数所有数字之和除以总个数每个小矩形面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和方差平均数反映了数据取值的平均水平，标准差、方差描述了一组数据波动的大小．标准差、方差越大，数据的离散程度越大，越不稳定；标准差、方差越小，数据的离散程度越小，越稳定 【题型一：三种抽样法】1．（石嘴山市第三中学高二月考）下列说法正确的个数是（    ）.②总体的个体数不多时宜用简单随机抽样法；②在对总体均分后的每一部分进行抽样时，采用的是简单随机抽样；③西货商场的抽奖活动是抽签法；④整个抽样过程中，每个个体被抽取的机率相等（有剔除时例外）.A．1 B．2 C．3 D．42．（全国高一课时练习）关于简单随机抽样，下列说法中正确的是（    ）①它要求被抽取样本的总体的个数有限；②它是从总体中逐个地进行抽取；③它是一种不放回抽样；④它是一种等可能性抽样．A．①②③④ B．③④ C．①②③ D．①③④3．（广州大学附属中学高二月考）某工厂利用随机数表对生产的50个零件进行抽样测试，先将50个零件进行编号，编号分别为01，02，…，50，从中抽取5个样本，下面提供随机数表的第1行到第2行：若从表中第1行第9列开始向右依次读取数据，则得到的第4个样本编号是（    ）A．10 B．05 C．09 D．204．（全国高三专题练习（文））采用系统抽样方法从960人中抽取32人做问卷调查，为此将他们随机编号1，2，……，960，分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为29，则抽到的32人中，编号落入区间的人数为（    ）A．10 B．14 C．15 D．165．（河南商丘·高一月考）从个体编号为的总体中，用系统抽样(等距)的方法抽取个个体，若抽取的第一个个体的编号为则抽取的最后一个个体的编号为（  ）A． B． C． D．6．（内蒙古集宁二中）采用系统抽样方法，从个体数为1001的总体中抽取一个容量为40的样本，则在抽取过程中，被剔除的个体数与抽样间隔分别为（    ）A．1，25 B．1，20 C．3，20 D．3，257．（广西梧州·蒙山中学高一月考）某初级中学有学生270人，其中一年级108人，二、三年级各81人，现要抽取10人参加某项调査，考虑选用简单随机抽样、分层抽样和系统抽样三种方案，使用简单随机抽样和分层抽样时，将学生按一、二、三年级依次统一编号为1，2，…，270;使用系统抽样时，将学生统一随机编号为1，2，．．．，270，并将整个编号依次分为10段．如果抽到的号码有下列四种情况:①7，34，61，88，115，142，169，196，223，250;    ②5，9，100，107，111，121，180，195，200，265;③11，38，65，92，119，146，173，200，227，254;      ④30，57，84，111，138，165，192，219，246，270．关于上述样本的下列结论中，正确的是（    ）A．②、③都不能为系统抽样 B．②、④都不能为分层抽样C．①、④都可能为系统抽样 D．①、③都可能为分层抽样8．（大同市平城中学校高一月考）我国古代数学名著《九章算术》有一抽样问题：“今有某地北面若干人，西面有7488人，南面有6912人，这三面要征调300人，而北面共征调108人（用分层简单抽样的方法），则北面共有多少人（    ）A．8000 B．8100 C．8200 D．83009．（陕西省黄陵县中学高一月考）某校高二年级有男生600人，女生500人，为了解该年级学生的体育达标情况，从男生中任意抽取30人，从女生中任意抽取25人进行调查．这种抽样方法是（    ）A．系统抽样法 B．抽签法C．随机数法 D．分层抽样法10．（渭南市尚德中学高一月考）甲、乙两套设备生产的同类型产品共4 800件，采用分层抽样的方法从中抽取一个容量为80的样本进行质量检测．若样本中有50件产品由甲设备生产，则乙设备生产的产品总数为（    ）件.A．1800 B．1600 C．1900 D．100011．（崇仁县第二中学（文））某校选修乒乓球课程的学生中，高一年级有50名，高二年级有30名.现用分层抽样的方法在这80名学生中抽取一个样本，已知在高一年级的学生中抽取了10名，则在高二年级的学生中应抽取的人数为（    ）A．6 B．8 C．10 D．1212．（黑龙江让胡路·大庆中学）从一个容量为（，）的总体中抽取一个容量为的样本，当选取简单随机抽样方法抽取样本时，总体中每个个体被抽中的可能性是，则选取分层随机抽样方法抽取样本时，总体中每个个体被抽中的可能性是（    ）A． B． C． D．13．（罗平县第二中学）某奶制品工厂某天甲、乙、丙、丁四类奶制品的产量分别为2000盒、1250盒、1250盒、500盒．若按产量比例用分层随机抽样的方法抽取一个样本容量为60的样本，则样本中甲类奶制品的数量为（　　）A．6盒 B．15盒 C．20盒 D．24盒【题型二：频率分布直方图】1．（广西南宁·高三模拟预测（文））北京舞蹈学院为了解大一舞蹈专业新生的体重情况，对报到的1000名舞蹈专业生的数据（单位：）进行统计，得到如图所示的体重频率分布直方图，则体重在以上的人数为（    ）A．100 B．150 C．200 D．2502．（天津市第四十七中学高三月考）天津中学为了调查该校学生对于新冠肺炎防控的了解情况，组织了一次新冠肺炎防控知识竞赛，并从该学校1500名参赛学生中随机抽取了100名学生，并统计了这100名学生成绩情况（满分100分，其中80分及以上为优秀），得到了样本频率分布直方图（如图），根据频率分布直方图推测，这1500名学生中竞赛成绩为优秀的学生人数大约为（    ）A．120 B．360 C．420 D．4803．（沙坪坝·重庆南开中学）某部门为了了解一批树苗的生长情况，在棵树苗中随机抽取棵，统计这棵树苗的高度，将所得个高度数据分为组：，，，，，，，并绘制了频率分布直方图（如图），那么根据该图可推测，在这棵树苗中高度小于cm的树苗棵数是（    ）A．360 B．600 C．840 D．13204．（江苏南京·高二月考）为了解学生在课外活动方面的支出情况，抽取了个同学进行调查，结果显示这些学生的支出金额（单位：元）都在内，其中支出金额在内的学生有234人，频率分布直方图如图所示，则等于（    ）A．300 B．320 C．340 D．3605．（嘉峪关市第一中学高一期中）在高一（1）班组织的“我爱古诗词”的调研考试中，全班40名学生的成绩数据（均为整数且都在）统计为如下的频率分布直方图，则第四小组（成绩分布在）的频率为（    ）A．0.001 B．0.01 C．0.03 D．0.36．（北京牛栏山一中）某工厂对一批元件进行抽样检测.经检测，抽出的元件的长度（单位：mm）全部介于93至105之间.将抽出的元件的长度以2为组距分成6组：[93，95），[95，97），[97，99），[99，101），[101，103），[103，105]，得到如图所示的频率分布直方图.若长度在[97，103）内的元件为合格品，根据频率分布直方图，估计这批元件的不合格率是（    ）A．80% B．11% C．20% D．14.5%7．（陕西韩城·高一期末）抽样统计某校部分学生的物理测试成绩，得到样本频率分布直方图如图所示，若满分为100分，规定不低于60分为及格，则及格率是（    ）A． B．C． D．8．（河南商丘·）某校高三年级共有名学生选修地理，某次考试地理成绩均在分之间，分数统计后绘成频率分布直方图，如图所示，则成绩在分的学生人数为（    ）A． B． C． D．9．（陕西铜川·高一期末）某班50名学生在一次百米测试中，成绩全部不小于13秒且小于19秒，将测试结果按如下方式分成六组：第一组，成绩大于等于13秒且小于14秒；第二组，成绩大于等于14秒且小于15秒；…；第六组，成绩大于等于18秒且小于19秒，如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图，设成绩小于17秒的学生人数占全班总人数的百分比为，成绩大于等于15秒且小于17秒的学生人数为，则从频率分布直方图中可分析出和的值分别是（    ）A．，35 B．，45C．，35 D．，4510．（全国高一专题练习）学校为了调查学生在课外读物方面的支出情况，抽取了一个容量为的样本，其频率分布直方图如图所示，其中支出在的同学有人，则的值为（    ）A． B． C． D．【题型三：平均数、众数、中位数】1．（全国高一课时练习）下面表格记录了甲、乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩（单位：分）.已知甲组数据的中位数为15，乙组数据的平均数为16.8，则的值分别为（    ）甲组912x2427乙组91518y24 A．15，18 B．14，19 C．16，17 D．13，102．（全国）阳澄湖大闸蟹在国内外享誉盛名，某超市从批发商那里购得10000只大闸蟹，这批大闸蟹的平均重量是100克.现在某超市员工随机抽取了一个样本容量为100的样本，检测得这100只大闸蟹的平均重量为克，则以下说法正确的是（    ）A．大于100 B．等于100 C．小于100 D．以上都有可能3．（吉林长春外国语学校高二开学考试）甲组数据为：5，12，16，21，25，37，乙组数据为：1，6，14，18，38，39，则甲、乙的平均数、极差及中位数相同的是（    ）A．极差 B．平均数 C．中位数 D．都不相同4．（北京101中学高一期中）一组数据的平均数为，方差为，将这组数据的每个数都乘以得到一组新数据，则下列说法正确的是（    ）A．这组新数据的平均数为 B．这组新数据的平均数为C．这组新数据的方差为 D．这组新数据的标准差为5．（山西省长治市第二中学校高一月考）在发生某公共卫生事件期间，我国有关机构规定：该事件在一段时间没有发生规模群体感染的标志为“连续10天每天新增加疑似病例不超过7人”．根据过去10天甲、乙、丙、丁四地新增疑似病例数据，一定符合该标志的是（    ）A．甲地总体均值为3，中位数为4 B．乙地总体均值为2，总体方差大于0C．丙地总体均值为2，总体方差为3 D．丁地中位数为3，众数为36．（全国高三月考（文））某大学共有名学生，为了了解学生课外图书阅读量情况，该校随机地从全校学生中抽取名，统计他们每年阅读的书籍数量，由此来估计全体学生当年的阅读书籍数量的情况，下列估计中正确的是（    ）（注：同一组数据用该组区间的中点值作为代表）A．众数为 B．平均数为C．中位数为 D．该校读书不低于本的人数约为人7．（甘肃张掖市第二中学高三月考（理））联合国《生物多样性公约》第十五次缔约方大会（COP15）将于2021年10月11日至15日和2022年上半年分两阶段在中国昆明举行．为了让广大市民深入了解COP15，展现春城昆明的城市形象，2021年6月5日全国30个城市联动举行了“2021COP15春城之邀——一粒来自昆明的种子”活动，活动特别准备了2万份“神秘”花种盲盒，其中有一种花种的花卉，其植株高度的一个随机样本的频率分布直方图如图所示，根据这个样本的频率分布直方图，下面结论中不正确的是（    ）A．这种花卉的植株高度超过的估计占25%B．这种花卉的植株高度低于的估计占5%C．这种花卉的植株高度的平均数估计超过D．这种花卉的植株高度的中位数估计不超过8．（邯山区新思路学本文化辅导学校高一月考）跳水比赛共有7名裁判分别给出某选手的原始评分，评定该选手的成绩时，从7个原始评分中去掉1个最高分、1个最低分，得到5个有效评分.5个有效评分与7个原始评分相比，一定不会改变的数字特征是（    ）A．众数 B．标准差 C．中位数 D．极差9．（江苏通州·高一期中）某机构调査了10种食品的卡路里含量，结果如下：107，135，138，140，146，175，179，182，191，195.则这组数据的第25百分位数和中位数分别是（　　）A．138，160.5 B．138，146 C．138，175 D．135，160.510．（宁夏大学附属中学高二月考（文））某次数学检测中，某一题目的得分情况如下：得分（分）01234百分率（%）37.08.66.028.220.2其中众数是（    ）A．37.0% B．20.2% C．0分 D．4分11．（四川雅安·高二期末（文））某中学有10个学生社团，每个社团的人数分别是70，60，60，50，60，40，40，30，30，10，则这组数据的平均数，众数，中位数的和为（    ）A．165 B．160 C．150 D．17012．（福建省福州第一中学）福州地铁二号线“福州大学站”的一个安保员，某日将负责的车箱从中午一点开始的十班下车的人数统计如下：3､6､7､3､10､4､6､7､6､8，则这组数据的众数为（    ）A．3 B．6 C．7 D．8【题型四：方差、标准差】1．（全国高二课时练习）有甲、乙两种水稻，测得每种水稻各10株的分蘖数据，计算出样本均值，方差分别为，.由此可以估计（    ）A．甲种水稻比乙种水稻分蘖整齐B．乙种水稻比甲种水稻分蘖整齐C．甲、乙两种水稻分蘖整齐程度相同D．甲、乙两种水稻分蘖整齐程度不能比较2．（玉林市第十一中学高二月考）对某商店一个月内每天的顾客人数进行了统计，得到样本的茎叶图（如图所示），则该样本的极差是（    ）A．56 B．53 C．55 D．513．（全国（文））在五场篮球比赛中，甲、乙两名运动员得分的茎叶图如图所示.下列说法正确的是（    ）A．甲得分的中位数和极差都比乙大B．甲得分的中位数比乙小，但极差比乙大C．甲得分的中位数和极差都比乙小D．甲得分的中位数比乙大，但极差比乙小4．（咸阳百灵学校高一月考）甲､乙两个样本的方差分别为，，由此反映（    ）A．样本甲的波动比样本乙大 B．样本乙的波动比样本甲大C．样本甲和样本乙的波动一样大 D．样本甲和样本乙的波动大小无法确定5．（山西怀仁·高二期末（文））有一组样本数据，，，…，，由这组数据得到新样本数据，其中，，，…，，为非零常数，则（    ）A．两组样本数据的样本平均数相同 B．两组样本数据的样本中位数数相同C．两组样本数据的样本标准差相同 D．两组样本数据的样本极差不同6．（长春市第二十九中学）如果，，，的方差是，则，，，的方差为（    ）A．9 B．3 C． D．67．（广东惠州·高一期末）已知有样本数据2、4、5、6、8，则该样本的方差为（    ）A．5 B．4 C．2 D．08．（浙江台州·高一期末）若数据的方差为2，则的方差为（    ）A．1 B．2 C．4 D．89．（云南昆明·高二期末（文））设一组样本数据的方差为1，则数据的方差为（    ）A．36 B．7 C．6 D．110．（湖南天心·长郡中学高二期末）已知数据 的方差为 4 ， 若 ， 则新数据 的方差为（    ）A．2 B．4 C．8 D．1611．（全国高一期末）已知五个数据3，4，x，6，7的平均数是，则该样本标准差为（    ）A．1 B． C． D．212．（山西）数据，，，的平均数为4，标准差为2，则数据，，，的方差和平均数分别为（    ）A．36，14 B．14，36 C．12，19 D．4，1213．（广州大学附属中学高二开学考试）若数据，，…，的平均数为4，标准差为1，则，，…，的平均数和标准差分别为（    ）A．4，1 B．17，8 C．17，9 D．17，3