高考数学一轮复习基础版讲义（适合艺术生、基础生一轮复习）——对数与对数函数

第10讲 对数与对数函数

一、对数与对数运算

1．对数的概念

（1）对数：一般地，如果，那么数 x叫做以a为底 N的对数，记作，其中a叫做对数的底数，N叫做真数.

（2）牢记两个重要对数：常用对数，以10为底的对数lgN；自然对数，以无理数e=2.71828…为底数的对数lnN.

（3）对数式与指数式的互化：.

2．对数的性质

根据对数的概念，知对数具有以下性质：

（1）负数和零没有对数，即；

（2）1的对数等于0，即；

（3）底数的对数等于1，即；

（4）对数恒等式.

3．对数的运算性质

如果，那么：

（1）；

（2）；

（3）.

4．对数的换底公式

对数的换底公式：.

换底公式将底数不同的对数转化为底数相同的对数，进而进行化简、计算或证明.换底公式应用时究竟换成什么为底，由已知条件来确定，一般换成以10为底的常用对数或以e为底的自然对数.

换底公式的变形及推广：

（1）；

（2）；

（3）(其中a，b，c均大于0且不等于1，d>0).

二、对数函数及其性质

1．对数函数的概念

一般地，我们把函数叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是.

2．对数函数的图象

一般地，对数函数的图象与性质如下表所示：

三、对数函数的性质

一般地，对数函数的性质如下表所示：

考点一 对数概念与对数运算

1．（嘉兴市第五高级中学高二期中）已知函数，则（    ）

A．0 B．1 C．2 D．3

【答案】C

【详解】

根据函数解析式可知.

故选：C

2．（上海高一专题练习）若log32=x，则3x+9x的值为（    ）

A．6 B．3 C． D．

【答案】A

【详解】

由log32=x得3x=2，因此9x=(3x)2=4，所以3x+9x=2+4=6.

故选：A.

3．（广东高一单元测试）已知，则的值为（    ）

A．3 B．6 C．9 D．

【答案】A

【详解】

解：由，得，

故选：A

4．（湖南娄底一中高二期中）已知函数，若，则等于（ ）

A． B． C．或 D．2

【答案】A

【详解】

解：当时，，∴；

当时，，∴（舍去）．

∴．

故选：A．

5．（全国）若3x＝2，则x等于（    ）

A．log23 B．log32 C．32 D．23

【答案】B

【详解】

，.

故选：B.

6．（陕西省黄陵县中学高一期末）已知，则x等于（    ）

A． B．4 C．16 D．2

【答案】C

【详解】

由对数与指数式运算可得.

故选：C.

7．（全国）以下对数式中，与指数式等价的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【详解】

根据指数式和对数式的关系，等价于.

故选：A.

8．（全国）已知且，，则（    ）

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】B

【详解】

由指对数的互化公式，因为，所以.

故选：B.

9．（吉林延边二中高二月考（文））已知函数，则（    ）

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】B

【详解】

∵，

∴.

故选：B.

10．（长丰县凤麟中学高二期中（文））等于（    ）

A． B． C．4 D．5

【答案】C

【详解】

故选：C

11．（太原市第五十六中学校高二月考（文））下列等式成立的是（   ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【详解】

对于A：，故A不正确；

对于B：，故B不正确；

对于C：∵,∴，故C正确，

对于D：，故D不正确，

故选： C.

12．（普宁市第二中学高三月考）已知函数，则（    ）

A． B．1 C． D．0

【答案】C

【详解】

．

故选：C.

13．（全国高一专题练习）（   ）

A． B． C． D．

【答案】C

【详解】

.

故选：C.

14．（长丰北城衡安学校高二月考（理））若函数．则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【详解】

，则，因此，.

故选：A.

15．（北京大兴区·高一期末）等于（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【详解】

.

故选：B.

16．（定远县育才学校高一期末）式子的值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【详解】

.

故选：A.

17．（盐城市伍佑中学高三开学考试）已知，则等于（    ）

A．1 B．2 C．5 D．10

【答案】A

【详解】

因为，所以，，

所以，，

所以.

故选：A

18．（黑龙江哈尔滨市·哈尔滨三中（文））的值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【详解】

原式

.

故选：B

19．（福建福州·高一期末）若，求（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【详解】

解：因为，所以，

所以.

故选：A.

20．（全国高一单元测试）已知，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【详解】

解：若，

可得，，

则

，

故选：A．

考点二 对数函数与定义域

1．（上海高一专题练习）对数函数的图像过点M(125，3)，则此对数函数的解析式为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【详解】

设函数解析式为y＝logax(a>0，且a≠1)．

由于对数函数的图像过点M(125，3)，

所以3＝loga125，得a＝5.

所以对数函数的解析式为y＝log5x.

故选：A.

2．（全国高一课时练习）给出下列函数：

①；②；③；④.

其中是对数函数的有（    ）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

【答案】A

【详解】

①②不是对数函数，因为对数的真数不是仅有自变量x；

③不是对数函数，因为对数的底数不是常数；④是对数函数．

故选:A.

3．（全国高一课时练习）若某对数函数的图象过点，则该对数函数的解析式为（    ）

A． B．

C．或 D．不确定

【答案】A

【详解】

设函数为，依题可知，，解得，所以该对数函数的解析式为．

故选：A．

4．（浙江高三专题练习）设a与b均为实数，且，已知函数的图象如图所示，则的值为（    ）

A．6 B．8 C．10 D．12

【答案】C

【详解】

解：令，

由图可知：，，

即，

解得：，

故，

故选：C.

5．（莆田锦江中学高一期末）已知函数，若图象过点，则的值为（    ）

A． B．2 C． D．

【答案】B

【详解】

因为函数的 图象过点，

所以，

则，

所以，，

故选：B.

6．（全国高一课时练习）下列函数表达式中，是对数函数的有（    ）

①；②；③；④；⑤；⑥．

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

【答案】B

【详解】

形如（且）的函数为对数函数，

故③④为对数函数，

所以共有个.

故选：B

7．（全国高一课前预习）下列函数是对数函数的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【详解】

由对数函数的定义：形如且的形式，则函数为对数函数，只有D符合.

故选D   

8．（全国高一）函数 为对数函数，则等于

A．3 B． C． D．

【答案】B

【详解】

因为函数 为对数函数，

所以函数系数为1，即即或，

因为对数函数底数大于0，

所以，，

所以．

9．（全国（文））函数的定义域是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【详解】

由题意，有，解得.

∴函数定义域为.

故选：B.

10．（奉新县第一中学高一月考）函数的定义域为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【详解】

对于函数，有，解得.

因此，函数的定义域为.

故选：C.

11．（厦门市松柏中学高二开学考试）函数的定义域为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【详解】

由题意可得：，解得：，

所以函数的定义域为，

故选：B.

12．（威海市第一中学高二月考）函数的定义域是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

解：的定义域为，即.

故选：B

13．（天津市武清区杨村第一中学）函数的定义域为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【详解】

依题意，，解得，

所以所求定义域为.

故选：B

14．（大庆市东风中学高二期末（文））函数的定义域是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【详解】

由题意得解得或.

所以原函数的定义域为.

故选：C.

15．（贵溪市实验中学）函数的定义域是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【详解】

由，得，所以函数的定义域为.

故选：C

16．（安徽省泗县第一中学（理））已知集合，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【详解】

因为，或，

则，，

因此

故选：C.

17．（全国高一单元测试）函数的定义域为 （    ）

A．           B． 

C．           D．

【答案】D

【详解】

解：函数的定义域为：，即或，

所以定义域为：.

故选：D.

18．（全国高一专题练习）已知函数，则的定义域为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【详解】

由函数的定义域满足：

解得：或

故的定义域为

故选：B

19．（射阳县第二中学高一开学考试）函数的定义域为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【详解】

由题意可得，解得，

因此，函数的定义域为.

故选：A.

20．（全国高一课时练习）函数的定义域为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【详解】

由解得.

所以函数的定义域为.

故选：A

考点三 对数函数的图象

1．（河北）函数的大致图象为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【详解】

当时，，排除C、D.

当时，，排除B.

故选:A.

2．（镇远县文德民族中学校高一月考）函数的图象过定点（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【详解】

对于函数，令，可得，则，

因此，函数的图象过定点.

故选：C.

3．（全国高一专题练习）函数的图象必过的点是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【详解】

，则当，即时，是与的值无关的定值，

故函数的图形必过的点是.

故选：D.

4．（全国高一专题练习）已知函数是定义在上的奇函数，且当x＞0时，，则函数的图象为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【详解】

由f(x)是R上的奇函数，即函数图象关于原点对称，排除A、B．又x＞0时f(x)＝ln(x＋1)，排除C.

故选：D．

5．（贵州）函数的图象经过（    ）

A．（0，1） B．（1，0） C．（0，0） D．（2，0）

【答案】C

【详解】

解方程，得.

所以函数的图象过定点.

故选：C.

6．（吉林长春·高三（理））如图，①②③④中不属于函数，，的一个是（    ）

A．① B．② C．③ D．④

【答案】B

【详解】

解：由对数函数图象特征及与的图象关于轴对称，

可确定②不是已知函数图象.

故选：B.

7．（全国高一专题练习）函数的大致图象为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【详解】

解：因为，所以函数的定义域为，即图象在时无值，排除B、D选项；当时，，所以A选项正确．

故选：A

8．（蚌埠田家炳中学高二月考（文））已知函数，则其大致图象为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【详解】

由题得函数的定义域为，所以选项D错误；

当时，，所以选项B正确，选项A,C错误.

故选：B

9．（浙江高一单元测试）已知函数，其图象大致为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【详解】

由，知：关于原点对称，排除B、D；当时，，排除C.

故选：A

10．（全国高一专题练习）已知函数（且）的图象必经过定点P，则P点坐标是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【详解】

令，解得，所以，因此函数的图象 过定点．

故选：C．

11．（河南漯河·高一期末）我国著名数学家华罗庚先生曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔离分家万事休．”在数学学习和研究中，我们要学会以形助数．则在同一直角坐标系中，与的图像可能是（   ）

A． B． 

C． D．

【答案】B

【详解】

是定义域为R的增函数，

：-x>0，则x<0.

结合选项只有B符合.

故选：B

12．（浙江高一期末）幂函数，指数函数，对数函数是生活中三类常见基本的初等函数，可以刻画客观世界不同的变化规律．已知函数，，的图象如图所示，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【详解】

由图象可得曲线①为对数函数，在定义域为为增函数，则，

曲线②为指数函数，为减函数，则

曲线③为幂函数，在上为减函数，则

所以

故选：A

13．（上海普陀·曹杨二中高一期末）函数与在同一坐标系中的图象可能是（    ）

A． B．

C．D．

【答案】B

【详解】

由对数和指数函数的性质可得且，

当时，过点在上单调递减，过点在单调递减，所以排除选项C，

当时，过点在上单调递增，过点在单调递增，所以排除选项AD，

故选：B.

14．（安徽宿州·高一期末）已知函数是幂函数，则函数(，且)的图象所过定点的坐标是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【详解】

因为函数是幂函数，

所以，因此，

所以，

由可得，，

所以函数(，且)的图象所过定点的坐标是.

故选：A.

考点三 对数函数的单调性

1．（广东高三月考）已知，，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【详解】

，

∴.

故选：B

2．（河南高一月考）已知，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【详解】

，

所以.

故选：B.

3．（浮梁县第一中学高一月考）已知设，，，则，，的大小关系是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【详解】

解：∵，

，

，

∴，，的大小关系为．

故选：D．

4．（河南高三月考（文））设，， ，则，，的大小关系是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【详解】

由，得，

，

，

所以.

故选：D.

5．（天津河东·高二学业考试）已知，，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【详解】

，

∴.

故选：D

6．（湖北荆州·高一期中）已知集合，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【详解】

由题意，得

，

，

则；

故选：C

7．（江西省铜鼓中学高二开学考试（文））设，，，则，，的大小是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【详解】

，，.

所以.

故选：D

8．（正阳县高级中学高三（理））已知集合，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【详解】

，

，

由，故．

故选：C．

9．（九龙坡·重庆市育才中学高三月考）已知，则的单调增区间为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【详解】

因为对数函数在上是增函数，反比例函数在上也是增函数，

所以在定义域上单调递增；

又是由向左平移两个单位得到，所以的单调增区间为.

故选：A.

10．（内蒙古赤峰·高一月考（文））函数的单调递减区间是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【详解】

由题得，所以或.

函数在单调递增，在单调递减.

又函数在定义域内单调递减，

所以函数的单调递减区间是.

故选：C

11．（福建福州四中高一期中）已知函数，则函数的减区间是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【详解】

由解得或，

所以的定义域为.

函数的开口向上，对称轴为，

函数在上递减，

根据复合函数单调性同增异减可知函数的减区间是.

故选：C

12．（四川省南充市白塔中学高三月考（理））函数的单调递增区间为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【详解】

由解得，

二次函数的开口向下，对称轴为，

在上递减.

根据复合函数单调性同增异减可知的单调递增区间为.

故选：D

13．（宁夏吴忠市·吴忠中学高三月考（理））已知函数在单调递增，则的取值范围是（    ）

A．(－∞，－1] B．(－∞，2] C．[5，＋∞) D．[3，＋∞)

【答案】D

【详解】

由题意，函数满足，解得或，

设，根据二次函数的性质，可得函数在单调递增，

根据复合函数的单调性的判定方法，可得函数的单调递增区间为，

又由函数在上单调递增，可得，

即实数的取值范围是.

故选：D.

14．（贵州贵阳市·贵阳一中高三月考（理））函数的单调递减区间为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【详解】

在函数中，由得或，则的定义域为，

函数在上单调递减，在上单调递增，又在上单调递增，

于是得在上单调递减，在上单调递增，

所以函数的单调递减区间为.

故选：B

15．（静宁县第一中学高三月考（文））函数的单调递增区间是（   ）

A． B． C． D．

【答案】B

【详解】

函数的定义域需满足，解得：，

函数分为内外层函数，，，

定义域内，内层函数在区间是增函数，在区间是减函数，

根据复合函数的单调性可知，函数的单调递增区间是.

故选：B

16．（新疆维吾尔自治区阿克苏地区第二中学高一期末）函数的单调递增区间为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【详解】

对于函数，有，解得或，

故函数的定义域为，

内层函数在上单调递减，在上单调递增，

外层函数为减函数，

由复合函数的单调性可知，函数的单调递增区间为.

故选：D.

17．（海南儋州二中高一月考）函数的单调递增区间是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【详解】

对于函数，有，解得或，

即函数的定义域为，

令，则，

由在上递减，在上递增，

外层函数在上递增，

可得函数的单调递增区间是．

故选：D．

18．（江苏苏州·）若函数在上单调，则实数的取值范围是（    ）．

A． B．

C． D．

【答案】D

【详解】

解：函数在上单调，函数的定义域为，因为，在上单调递增，在上单调递减，在定义域上单调递增，

所以在上单调递增，在上单调递减，

要使函数在上单调，

，或，解得，或，即，

故选：．

19．（黑龙江哈尔滨·哈师大附中高二期末（文））函数的单调增区间为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【详解】

由题意，，解得，

又在上是增函数，在是减函数，

在上是增函数，

所以函数的单调增区间为

故选：B