人教A版 (2019)6.3 二项式定理精品综合训练题

§6.3　二项式定理

6.3.1　二项式定理

学习目标　1.能用计数原理证明二项式定理.2.掌握二项式定理及其展开式的通项公式.3.会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题．

知识点一　二项式定理

(a＋b)n＝Can＋Can－1b＋Can－2b2＋…＋Can－kbk＋…＋Cbn(n∈N*)．

(1)这个公式叫做二项式定理．

(2)展开式：等号右边的多项式叫做(a＋b)n的二项展开式，展开式中一共有n＋1项．

(3)二项式系数：各项的系数C(k∈{0,1,2，…，n})叫做二项式系数．

知识点二　二项展开式的通项

(a＋b)n展开式的第k＋1项叫做二项展开式的通项，记作Tk＋1＝Can－kbk.

思考　二项式系数与二项展开式中项的系数相同吗？

答案　一般不同．前者仅为C，而后者是字母前的系数，故可能不同．

1．(a＋b)n展开式中共有n项．(　×　)

2．在公式中，交换a，b的顺序对各项没有影响．(　×　)

3．Can－kbk是(a＋b)n展开式中的第k项．(　×　)

4．(a－b)n与(a＋b)n的二项展开式的二项式系数相同．(　√　)

5．二项式(a＋b)n与(b＋a)n的展开式中第k＋1项相同．(　×　)

一、二项式定理的正用、逆用

例1　(1)求4的展开式．

解　方法一　4＝C(3)4＋C(3)3·＋C(3)22＋C(3)3＋C4＝81x2＋108x＋54＋＋.

方法二　4＝4＝(1＋3x)4＝·[1＋C·3x＋C(3x)2＋C(3x)3＋C(3x)4]＝(1＋12x＋54x2＋108x3＋81x4)＝＋＋54＋108x＋81x2.

(2)化简：C(x＋1)n－C(x＋1)n－1＋C(x＋1)n－2－…＋(－1)kC(x＋1)n－k＋…＋(－1)nC.

解　原式＝C(x＋1)n＋C(x＋1)n－1(－1)＋C(x＋1)n－2(－1)2＋…＋C(x＋1)n－k(－1)k＋…＋C(－1)n＝[(x＋1)＋(－1)]n＝xn.

延伸探究

若(1＋)4＝a＋b(a，b为有理数)，则a＋b＝________.

答案　44

解析　∵(1＋)4＝1＋C×()1＋C×()2＋C×()3＋C×()4＝1＋4＋18＋12＋9＝28＋16，∴a＝28，b＝16，∴a＋b＝28＋16＝44.

反思感悟　(1)(a＋b)n的二项展开式有n＋1项，是和的形式，各项的幂指数规律是：①各项的次数和等于n；②字母a按降幂排列，从第一项起，次数由n逐项减1直到0；字母b按升幂排列，从第一项起，次数由0逐项加1直到n.

(2)逆用二项式定理可以化简多项式，体现的是整体思想．注意分析已知多项式的特点，向二项展开式的形式靠拢．

跟踪训练1　化简：(x－1)5＋5(x－1)4＋10(x－1)3＋10(x－1)2＋5(x－1)．

解　原式＝C(x－1)5＋C(x－1)4＋C(x－1)3＋C(x－1)2＋C(x－1)＋C－1＝[(x－1)＋1]5－1＝x5－1.

二、二项展开式的通项的应用

例2　若n展开式中前三项系数成等差数列，求：

(1)展开式中含x的一次项；

(2)展开式中所有的有理项．

解　(1)由已知可得C＋C·＝2C·，

即n2－9n＋8＝0，解得n＝8或n＝1(舍去)．

Tk＋1＝C()8－k·k＝C·2－k·，

令4－k＝1，解得k＝4.

所以含x的一次项为T5＝C2－4x＝x.

(2)令4－k∈Z，且0≤k≤8，则k＝0,4,8，所以含x的有理项分别为T1＝x4，T5＝x，T9＝.

反思感悟　求二项展开式的特定项的常用方法

(1)对于常数项，隐含条件是字母的指数为0(即0次项)．

(2)对于有理项，一般是先写出通项公式，求其所有的字母的指数恰好都是整数的项．解这类问题必须合并通项公式中同一字母的指数，根据具体要求，令其属于整数集，再根据数的整除性来求解．

(3)对于二项展开式中的整式项，其通项公式中同一字母的指数应是非负整数，求解方式与求有理项一致．

跟踪训练2　在6的展开式中，求：

(1)第3项的二项式系数及系数；

(2)含x2的项．

解　(1)第3项的二项式系数为C＝15，

又T3＝C(2)42＝240x，

所以第3项的系数为240.

(2)Tk＋1＝C(2)6－kk＝(－1)k26－kCx3－k，

令3－k＝2，解得k＝1，

所以含x2的项为第2项，且T2＝－192x2.

三、求两个多项式积的特定项

例3　(1)已知(1＋ax)(1＋x)5的展开式中，含x2的项的系数为5，则a等于(　　)

A．－4  B．－3  C．－2  D．－1

(2)(1＋2x)3(1－x)4的展开式中，含x项的系数为(　　)

A．10  B．－10  C．2  D．－2

答案　(1)D　(2)C

解析　(1)由二项式定理得(1＋x)5的展开式的通项为Tk＋1＝C·xk，所以(1＋ax)(1＋x)5的展开式中含x2的项的系数为C＋C·a＝5，所以a＝－1，故选D.

(2)(1＋2x)3(1－x)4的展开式中含x项的系数是由两个因式相乘而得到的，即第一个因式的常数项和一次项分别乘第二个因式的一次项与常数项，为C·(2x)0·C·(－x)1＋C·(2x)1·C·14·(－x)0，其系数为C×C×(－1)＋C×2×C＝－4＋6＝2.

反思感悟　求多项式积的特定项的方法——“双通法”

所谓的“双通法”是根据多项式与多项式的乘法法则得到(a＋bx)n(s＋tx)m的展开式中一般项为：Tk＋1·Tr＋1＝Can－k(bx)k·Csm－r(tx)r，再依据题目中对指数的特殊要求，确定r与k所满足的条件，进而求出r，k的取值情况．

跟踪训练3　(x－y)(x＋y)8的展开式中x2y7的系数为________．(用数字作答)

答案　－20

解析　由二项展开式的通项公式可知，含x2y7的项可表示为x·Cxy7－y·Cx2y6，故(x－y)(x＋y)8的展开式中x2y7的系数为C－C＝8－28＝－20.

四、二项式定理的应用

例4　(1)试求2 01910除以8的余数；

(2)求证：32n＋2－8n－9(n∈N*)能被64整除．

(1)解　2 01910＝(8×252＋3)10.

∵其展开式中除末项为310外，其余的各项均含有8这个因数，

∴2 01910除以8的余数与310除以8的余数相同．

又∵310＝95＝(8＋1)5，其展开式中除末项为1外，其余的各项均含有8这个因数，

∴310除以8的余数为1，即2 01910除以8的余数也为1.

(2)证明　32n＋2－8n－9＝(8＋1)n＋1－8n－9

＝C8n＋1＋C8n＋…＋C－8n－9

＝C8n＋1＋C8n＋…＋C82＋(n＋1)×8＋1－8n－9

＝C8n＋1＋C8n＋…＋C82.①

①式中的每一项都含有82这个因数，故原式能被64整除．

反思感悟　利用二项式定理可以解决求余数和整除的问题，通常需将底数化成两数的和与差的形式，且这种转化形式与除数有密切的关系．

跟踪训练4　(1)已知n∈N*，求证：1＋2＋22＋…＋25n－1能被31整除．

证明　1＋2＋22＋23＋…＋25n－1＝＝25n－1＝32n－1＝(31＋1)n－1＝31n＋C×31n－1＋…＋C×31＋1－1＝31×(31n－1＋C×31n－2＋…＋C)，

显然括号内的数为正整数，故原式能被31整除．

(2)求0.9986的近似值，使误差小于0.001.

解　0.9986＝(1－0.002)6＝1＋C·(－0.002)＋C·(－0.002)2＋…＋C·(－0.002)6.

由题意知T3＝C(－0.002)2＝15×0.0022＝0.000 06<0.001，

且第3项以后(包括第3项)的项的绝对值都远小于0.001，

故0.9986＝(1－0.002)6≈1－6×0.002＝0.988.

1.5的展开式中含x3项的二项式系数为(　　)

A．－10  B．10  C．－5  D．5

答案　D

2.5的展开式中的常数项为(　　)

A．80  B．－80  C．40  D．－40

答案　C

3．设S＝(x－1)3＋3(x－1)2＋3(x－1)＋1，则S等于(　　)

A．x3  B．－x3  C．(1－x)3  D．(x－1)3

答案　A

4．若(x＋2)n的展开式共有12项，则n＝________.

答案　11

5．C·2n＋C·2n－1＋…＋C·2n－k＋…＋C＝________.

答案　3n

解析　原式＝(2＋1)n＝3n.

1．知识清单：

(1)二项式定理．

(2)二项展开式的通项公式．

2．方法归纳：转化化归．

3．常见误区：二项式系数与系数的区别，Can－kbk是展开式的第k＋1项．

1．1－2C＋4C－8C＋…＋(－2)nC等于(　　)

A．1  B．－1  C．(－1)n  D．3n

答案　C

解析　原式＝(1－2)n＝(－1)n.

2.6的展开式中的常数项为(　　)

A．60  B．－60  C．250  D．－250

答案　A

解析　6的展开式中的常数项为C()4·2＝60.

3.9的展开式中的第4项是(　　)

A．56x3  B．84x3  C．56x4  D．84x4

答案　B

解析　由通项知T4＝Cx63＝84x3.

4．(x－y)10的展开式中x6y4的系数是(　　)

A．840  B．－840  C．210  D．－210

答案　A

解析　在通项Tk＋1＝C(－y)kx10－k中，令k＝4，即得(x－y)10的展开式中x6y4项的系数为C×(－)4＝840.

5．在(1－x)5－(1－x)6的展开式中，含x3的项的系数是(　　)

A．－5  B．5  C．－10  D．10

答案　D

解析　(1－x)5中x3的系数为－C＝－10，－(1－x)6中x3的系数为－C·(－1)3＝20，故(1－x)5－(1－x)6的展开式中x3的系数为10.

6．若(x＋a)10的展开式中，x7的系数为15，则a＝______.(用数字填写答案)

答案　

解析　二项展开式的通项为Tk＋1＝Cx10－kak，当10－k＝7时，k＝3，T4＝Ca3x7，则Ca3＝15，故a＝.

7．如果n的展开式中，x2项为第3项，则自然数n＝________，其x2项的系数为________．

答案　8　28

解析　Tk＋1＝C()n－kk＝C，由题意知，k＝2时，＝2，∴n＝8，此时该项的系数为C＝28.

8．在(＋1)5的展开式中常数项等于________．

答案　9

解析　二项式(＋1)5的展开式的通项为

Tk＋1＝C()5－k＝C(k＝0,1,2，…，5)，

∴(＋1)5展开式中的常数项为C＋(－1)×C＝10－1＝9.

9．已知n的展开式中第3项的系数比第2项的系数大162.

(1)求n的值；

(2)求展开式中含x3的项，并指出该项的二项式系数．

解　(1)因为T3＝C()n－22＝4C，

T2＝C()n－1＝－2C，

依题意得4C＋2C＝162，所以2C＋C＝81，

所以n2＝81，又n∈N*，故n＝9.

(2)设第k＋1项含x3项，则Tk＋1＝C()9－kk＝(－2)kC，所以＝3，k＝1，

所以含x3的项为T2＝－2Cx3＝－18x3.

二项式系数为C＝9.

10．已知m，n∈N*，f(x)＝(1＋x)m＋(1＋x)n的展开式中x的系数为19，求x2的系数的最小值及此时展开式中x7的系数．

解　由题设知，m＋n＝19，又m，n∈N*，∴1≤m≤18.

x2的系数为C＋C＝(m2－m)＋(n2－n)

＝m2－19m＋171.

∴当m＝9或10时，x2的系数有最小值为81，此时x7的系数为C＋C＝156.

11．(多选)对于二项式n(n∈N*)，下列判断正确的有(　　)

A．存在n∈N*，展开式中有常数项

B．对任意n∈N*，展开式中没有常数项

C．对任意n∈N*，展开式中没有x的一次项

D．存在n∈N*，展开式中有一次项

答案　AD

解析　二项式n的展开式的通项公式为Tk＋1＝Cx4k－n，由通项公式可知，当n＝4k(k∈N*)和n＝4k－1(k∈N*)时，展开式中分别存在常数项和一次项，故选AD.

12．已知2×1010＋a(0≤a<11)能被11整除，则实数a的值为(　　)

A．7  B．8  C．9  D．10

答案　C

解析　由于2×1010＋a＝2×(11－1)10＋a,2×1010＋a(0≤a<11)能被11整除，又根据二项展开式可知，2×(11－1)10被11除的余数为2，从而可知2＋a能被11整除，可知a＝9.

13．(x2＋2)5的展开式的常数项是(　　)

A．－3  B．－2  C．2  D．3

答案　D

解析　5的展开式的通项为Tk＋1＝C·5－k·(－1)k＝(－1)kC.

令10－2k＝2或10－2k＝0，解得k＝4或k＝5.

故(x2＋2)·5的展开式的常数项是

(－1)4×C＋2×(－1)5×C＝3.

14．已知在n的展开式中，第9项为常数项，则：

(1)n的值为________；

(2)含x的整数次幂的项有________个．

答案　(1)10　(2)6

解析　二项展开式的通项为Tk＋1＝Cn－k·k＝(－1)kn－kC.

(1)因为第9项为常数项，所以当k＝8时，2n－k＝0，

解得n＝10.

(2)要使20－k为整数，需k为偶数，由于k＝0，1,2,3，…，9,10，故符合要求的有6项，分别为展开式的第1,3,5,7,9,11项．

15．(a＋b＋c)n(n∈N*)的展开式中的项数为________．

答案　

解析　(a＋b＋c)n＝C(a＋b)n＋C(a＋b)n－1c＋…＋Ccn，所以，其展开式中的项数为(n＋1)＋n＋(n－1)＋…＋2＋1＝.

16．已知数列{an}(n为正整数)是首项为a1，公比为q的等比数列．

(1)求和：a1C－a2C＋a3C，a1C－a2C＋a3C－a4C；

(2)由(1)的结果归纳概括出关于正整数n的一个结论，并加以证明．

解　(1)a1C－a2C＋a3C＝a1－2a1q＋a1q2＝a1(1－q)2，

a1C－a2C＋a3C－a4C＝a1－3a1q＋3a1q2－a1q3

＝a1(1－q)3.

(2)归纳概括的结论为：

若数列{an}是首项为a1，公比为q的等比数列，则

a1C－a2C＋a3C－a4C＋…＋(－1)nan＋1·C

＝a1(1－q)n，n为正整数．

证明：a1C－a2C＋a3C－a4C＋…＋(－1)nan＋1·C

＝a1C－a1qC＋a1q2C－a1q3C＋…＋(－1)na1qnC

＝a1[C－qC＋q2C－q3C＋…＋(－1)nqnC]＝a1(1－q)n.