艺术生高考数学真题演练 专题02 函数的概念与基本初等函数I（教师版）

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专题02 函数的概念与基本初等函数I
1．【2019年高考全国Ⅰ卷文数】已知，则
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】
即
则．
故选B．
【名师点睛】本题考查指数和对数大小的比较，考查了数学运算的素养．采取中间量法，根据指数函数和对数函数的单调性即可比较大小．
2．【2019年高考全国Ⅱ卷文数】设f(x)为奇函数，且当x≥0时，f(x)=，则当x<0时，f(x)=
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】由题意知是奇函数，且当x≥0时，f(x)=，
则当时，，则，
得．
故选D．
【名师点睛】本题考查分段函数的奇偶性和解析式，渗透了数学抽象和数学运算素养．采取代换法，利用转化与化归的思想解题．
3．【2019年高考全国Ⅲ卷文数】函数在[0，2π]的零点个数为
A．2 B．3
C．4 D．5
【答案】B
【解析】由，
得或，
，或．
在的零点个数是3.
故选B．
【名师点睛】本题考查在一定范围内的函数的零点个数，渗透了直观想象和数学运算素养，直接求出函数的零点可得答案.
4．【2019年高考天津文数】已知，则a，b，c的大小关系为
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】∵，
，
，
∴.
故选A.
【名师点睛】利用指数函数、对数函数的单调性时，要根据底数与的大小进行判断.
5．【2019年高考北京文数】下列函数中，在区间（0，+）上单调递增的是
A． B．y=
C． D．
【答案】A
【解析】易知函数，在区间上单调递减，
函数在区间上单调递增.
故选A.
【名师点睛】本题考查简单的指数函数、对数函数、幂函数的单调性，注重对重要知识、基础知识的考查，蕴含数形结合思想，属于容易题.
6．【2019年高考全国Ⅰ卷文数】函数f(x)=在的图像大致为
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】由，得是奇函数，其图象关于原点对称．
又，
可知应为D选项中的图象．
故选D．
【名师点睛】本题考查函数的性质与图象的识别，渗透了逻辑推理、直观想象和数学运算素养．采取性质法和赋值法，利用数形结合思想解题．
7．【2019年高考北京文数】在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述．两颗星的星等与亮度满足，其中星等为的星的亮度为（k=1,2）．已知太阳的星等是–26.7，天狼星的星等是–1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为
A．1010.1 B．10.1
C．lg10.1 D．10−10.1
【答案】A
【解析】两颗星的星等与亮度满足，
令，
则
从而.
故选A.
【名师点睛】本题以天文学问题为背景，考查考生的数学应用意识､信息处理能力､阅读理解能力以及对数的运算.
8．【2019年高考浙江】在同一直角坐标系中，函数，(a>0，且a≠1)的图象可能是

【答案】D
【解析】当时，函数的图象过定点且单调递减，则函数的图象过定点且单调递增，函数的图象过定点且单调递减，D选项符合；
当时，函数的图象过定点且单调递增，则函数的图象过定点且单调递减，函数的图象过定点且单调递增，各选项均不符合.
综上，选D.
【名师点睛】易出现的错误：一是指数函数、对数函数的图象和性质掌握不熟练，导致判断失误；二是不能通过讨论的不同取值范围，认识函数的单调性.
9．【2019年高考全国Ⅲ卷文数】设是定义域为R的偶函数，且在单调递减，则
A．（log3）＞（）＞（）
B．（log3）＞（）＞（）
C．（）＞（）＞（log3）
D．（）＞（）＞（log3）
【答案】C
【解析】是定义域为的偶函数，．
，
又在(0，+∞)上单调递减，
∴，
即.
故选C．
【名师点睛】本题主要考查函数的奇偶性、单调性，先利用函数的奇偶性化为同一区间，再利用中间量比较自变量的大小，最后根据单调性得到答案．
10．【2019年高考天津文数】已知函数若关于x的方程恰有两个互异的实数解，则a的取值范围为
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】作出函数的图象，
以及直线，如图，

关于x的方程恰有两个互异的实数解，
即为和的图象有两个交点，
平移直线，考虑直线经过点和时，有两个交点，可得或，
考虑直线与在时相切，，
由，解得（舍去），
所以的取值范围是.
故选D.
【名师点睛】根据方程实数根的个数确定参数的取值范围，常把其转化为曲线的交点个数问题，特别是其中一个函数的图象为直线时常用此法.
11．【2018年高考全国Ⅲ卷文数】下列函数中，其图象与函数的图象关于直线对称的是
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】函数过定点（1，0），（1，0）关于直线x=1对称的点还是（1，0），只有的图象过此点.
故选项B正确.
【名师点睛】本题主要考查函数的对称性和函数的图象，属于中档题.求解时，确定函数过定点（1，0）及其关于直线x=1对称的点，代入选项验证即可.
12．【2018年高考全国Ⅰ卷文数】设函数，则满足的x的取值范围是
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】将函数的图象画出来，

观察图象可知会有，解得，
所以满足的x的取值范围是.
故选D．
【名师点睛】该题考查的是通过函数值的大小来推断自变量的大小关系，从而求得相关的参数的值的问题，在求解的过程中，需要利用函数解析式画出函数图象，从而得到要出现函数值的大小，绝对不是常函数，从而确定出自变量所处的位置，结合函数值的大小，确定出自变量的大小，从而得到其等价的不等式组，最后求得结果.
13．【2018年高考全国Ⅱ卷文数】函数的图像大致为

【答案】B
【解析】为奇函数，舍去A；
，∴舍去D；
时，，单调递增，舍去C.
因此选B.
【名师点睛】有关函数图象识别问题的常见题型及解题思路：（1）由函数的定义域，判断图象左右的位置，由函数的值域，判断图象的上下位置；（2）由函数的单调性，判断图象的变化趋势；（3）由函数的奇偶性，判断图象的对称性；（4）由函数的周期性，判断图象的周期性.
14．【2018年高考全国Ⅲ卷文数】函数的图像大致为

【答案】D
【解析】函数图象过定点，排除A，B；
令，
则，
由得，得或，此时函数单调递增，
由得，得或，此时函数单调递减，排除C.
故选D.
【名师点睛】本题主要考查函数的图象的识别和判断，利用函数图象过的定点及由导数判断函数的单调性是解决本题的关键.
15．【2018年高考浙江】函数y=sin2x的图象可能是
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】令，
因为，
所以为奇函数，排除选项A,B;
因为时，，所以排除选项C，
故选D．
【名师点睛】先研究函数的奇偶性，再研究函数在上的符号，即可判断选择.有关函数图象的识别问题的常见题型及解题思路：
（1）由函数的定义域，判断图象的左、右位置，由函数的值域，判断图象的上、下位置；
（2）由函数的单调性，判断图象的变化趋势；
（3）由函数的奇偶性，判断图象的对称性；
（4）由函数的周期性，判断图象的周期性．
16．【2018年高考全国Ⅰ卷文数】设函数，若为奇函数，则曲线在点处的切线方程为
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】因为函数是奇函数，所以，解得，
所以，，
所以，
所以曲线在点处的切线方程为，化简可得，
故选D．
【名师点睛】该题考查的是函数的奇偶性以及有关曲线在某个点处的切线方程的问题，在求解的过程中，首先需要确定函数解析式，此时利用到结论：多项式函数中，奇函数不存在偶次项，偶函数不存在奇次项，从而求得相应的参数值，之后利用求导公式求得，借助于导数的几何意义，结合直线方程的点斜式求得结果.
17．【2018年高考全国Ⅱ卷文数】已知是定义域为的奇函数，满足．若，则
A． B．0
C．2 D．50
【答案】C
【解析】因为是定义域为的奇函数，且，
所以,
因此，
因为，所以，
因为，从而.
故选C．
【名师点睛】先根据奇函数的性质以及对称性确定函数周期，再根据周期以及对应函数值求结果.函数的奇偶性与周期性相结合的问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行变换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解．
18．【2018年高考天津文数】已知，则的大小关系为
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】由题意可知：，即，
，即，
，即，
综上可得：.
故本题选择D选项.
【名师点睛】由题意结合对数的性质，对数函数的单调性和指数的性质整理计算即可确定a,b,c的大小关系.对于指数幂的大小的比较，我们通常都是运用指数函数的单调性，但很多时候，因幂的底数或指数不相同，不能直接利用函数的单调性进行比较．这就必须掌握一些特殊方法．在进行指数幂的大小比较时，若底数不同，则首先考虑将其转化成同底数，然后再根据指数函数的单调性进行判断．对于不同底而同指数的指数幂的大小的比较，利用图象法求解，既快捷，又准确．
19．【2017年高考全国Ⅱ卷文数】函数的单调递增区间是
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】要使函数有意义，则，解得：或，
结合二次函数的单调性、对数函数的单调性和复合函数同增异减的原则可得函数的单调递增区间为.
故选D.
【名师点睛】求函数单调区间的常用方法：(1)定义法和导数法，通过解相应不等式得单调区间；(2)图象法，由图象确定函数的单调区间需注意两点：一是单调区间必须是函数定义域的子集：二是图象不连续的单调区间要分开写，用“和”或“，”连接，不能用“∪”连接；(3)利用复合函数“同增异减”的原则，此时需先确定函数的单调性.
20．【2017年高考全国Ⅰ卷文数】函数的部分图像大致为
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】由题意知，函数为奇函数，故排除B；
当时，，故排除D；
当时，，故排除A．
故选C．
【名师点睛】函数图像问题首先关注定义域，从图像的对称性，分析函数的奇偶性，根据函数的奇偶性排除部分选择项，从图像的最高点、最低点，分析函数的最值、极值，利用特值检验，较难的需要研究单调性、极值等，从图像的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等．
21．【2017年高考全国Ⅲ卷文数】函数的部分图像大致为

【答案】D
【解析】当时，，故排除A,C；
当时，，故排除B,满足条件的只有D.
故选D.
【名师点睛】（1）运用函数性质研究函数图像时，先要正确理解和把握函数相关性质本身的含义及其应用方向.（2）在运用函数性质特别是奇偶性、周期、对称性、单调性、最值、零点时，要注意用好其与条件的相互关系，结合特征进行等价转化进行研究.如奇偶性可实现自变量正负转化，周期可实现自变量大小转化，单调性可实现去，即将函数值的大小关系转化为自变量的大小关系.
22．【2017年高考浙江】若函数f(x)=x2+ ax+b在区间[0，1]上的最大值是M，最小值是m，则M – m
A．与a有关，且与b有关 B．与a有关，但与b无关
C．与a无关，且与b无关 D．与a无关，但与b有关
【答案】B
【解析】因为最值在中取，所以最值之差一定与无关.
故选B．
【名师点睛】对于二次函数的最值或值域问题，通常先判断函数图象对称轴与所给自变量闭区间的关系，结合图象，当函数图象开口向上时，若对称轴在区间的左边，则函数在所给区间内单调递增；若对称轴在区间的右边，则函数在所给区间内单调递减；若对称轴在区间内，则函数图象顶点的纵坐标为最小值，区间端点距离对称轴较远的一端取得函数的最大值．
23．【2017年高考北京文数】已知函数，则
A．是偶函数，且在R上是增函数 B．是奇函数，且在R上是增函数
C．是偶函数，且在R上是减函数 D．是奇函数，且在R上是减函数
【答案】B
【解析】，所以该函数是奇函数，
并且是增函数，是减函数，根据增函数−减函数=增函数，可知该函数是增函数.
故选B.
【名师点睛】本题属于基础题型，根据与的关系就可以判断出函数的奇偶性，判断函数单调性的方法：（1）利用平时学习过的基本初等函数的单调性；（2）利用函数图象判断函数的单调性；（3）利用函数的四则运算判断函数的单调性，如：增函数+增函数=增函数，增函数−减函数=增函数；（4）利用导数判断函数的单调性.
24．【2017年高考天津文数】已知奇函数在上是增函数．若，则，，的大小关系为
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】由题意可得，且，，
所以，
结合函数的单调性可得，
即，即．
故选C．
【名师点睛】比较大小是高考的常见题型，指数式、对数式的大小比较要结合指数函数、对数函数，借助指数函数和对数函数的图象，利用函数的单调性、奇偶性等进行大小比较，要特别关注灵活利用函数的奇偶性和单调性，数形结合进行大小比较或解不等式．
25．【2017年高考全国Ⅰ卷文数】已知函数，则
A．在（0，2）单调递增 B．在（0，2）单调递减
C．的图像关于直线x=1对称 D．的图像关于点（1，0）对称
【答案】C
【解析】由题意知，，所以的图像关于直线对称，故C正确，D错误；
又（），由复合函数的单调性可知在上单调递增，在上单调递减，所以A，B错误.
故选C．
【名师点睛】如果函数，，满足，恒有，那么函数的图像有对称轴；如果函数，，满足，恒有，那么函数的图像有对称中心．
26．【2017年高考山东文数】设,若,则
A．2 B．4
C．6 D．8
【答案】C
【解析】由时是增函数可知,
若,则,所以,
由得,解得,
则.
故选C.
【名师点睛】求分段函数的函数值,首先要确定自变量的范围,然后选定相应关系式，代入求解；当给出函数值或函数值的取值范围求自变量的值或自变量的取值范围时,应根据每一段解析式分别求解,但要注意检验所求自变量的值或取值范围是否符合相应段的自变量的值或取值范围．
27．【2017年高考北京文数】根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M约为3361，而可观测宇宙中普通物质的原子总数N约为1080.则下列各数中与最接近的是
（参考数据：lg3≈0.48）
A．1033 B．1053 
C．1073 D．1093
【答案】D
【解析】设，两边取对数，
，
所以，即最接近.
故选D．
【名师点睛】本题考查了转化与化归能力，本题以实际问题的形式给出，但本质就是对数的运算关系，以及指数与对数运算的关系，难点是令，并想到两边同时取对数进行求解，对数运算公式包含，，.
28．【2017年高考天津文数】已知函数设，若关于的不等式在上恒成立，则的取值范围是
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】当，且时，即，即，
显然上式不成立，
由此可排除选项B、C、D.
故选A．
【名师点睛】涉及分段函数问题要遵循分段处理的原则，分别对的两种不同情况进行讨论，针对每种情况根据的范围，利用极端原理，求出对应的的取值范围．本题具有较好的区分度，所给解析采用了排除法，解题步骤比较简捷，口算即可得出答案，解题时能够节省不少时间．当然，本题也可画出函数图象，采用数形结合的方法进行求解．
29．【2017年高考全国Ⅲ卷文数】已知函数有唯一零点，则a=
A． B．
C． D．1
【答案】C
【解析】由，得

，
所以，
即为图象的对称轴.
由题意，有唯一零点，所以的零点只能为，即，
解得.
故选C.
【名师点睛】本题主要考查函数的图象与性质、函数的零点，意在考查考生的运算求解能力与数形结合能力.
30．【2017年高考山东文数】若函数（是自然对数的底数）在的定义域上单调递增，则称函数具有M性质.下列函数中具有M性质的是
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】对于A，在R上单调递增，故具有性质；
对于B，，令，则，
∴当或时，，当时，，
∴在，上单调递增，在上单调递减，
故不具有性质；
对于C，在R上单调递减，故不具有性质；
对于D，易知在定义域内有增有减，故不具有性质．
故选A.
【名师点睛】本题考查新定义问题，属于创新题，符合新高考的动向，它考查学生的阅读理解能力，接受新思维的能力，考查学生分析问题与解决问题的能力，新定义的概念实质上只是一个载体，解决新问题时，只要通过这个载体把问题转化为我们已经熟悉的知识即可．
31．【2019年高考浙江】已知，函数．若函数恰有3个零点，则
A．a<–1，b<0 B．a<–1，b>0
C．a>–1，b<0 D．a>–1，b>0
【答案】C
【解析】当x＜0时，y＝f（x）﹣ax﹣b＝x﹣ax﹣b＝（1﹣a）x﹣b＝0，得x=b1-a，
则y＝f（x）﹣ax﹣b最多有一个零点；
当x≥0时，y＝f（x）﹣ax﹣b=13x3-12（a+1）x2+ax﹣ax﹣b=13x3-12（a+1）x2﹣b，
，
当a+1≤0，即a≤﹣1时，y′≥0，
y＝f（x）﹣ax﹣b在[0，+∞）上单调递增，
则y＝f（x）﹣ax﹣b最多有一个零点，不合题意；
当a+1＞0，即a>﹣1时，
令y′＞0得x∈(a+1，+∞），此时函数单调递增，
令y′＜0得x∈[0，a+1），此时函数单调递减，
则函数最多有2个零点.
根据题意，函数y＝f（x）﹣ax﹣b恰有3个零点⇔函数y＝f（x）﹣ax﹣b在（﹣∞，0）上有一个零点，在[0，+∞）上有2个零点，
如图：

∴b1-a＜0且，
解得b＜0，1﹣a＞0，b＞-16（a+1）3，
则a>–1，b<0.
故选C．
【名师点睛】本题考查函数与方程，导数的应用.当x＜0时，y＝f（x）﹣ax﹣b＝x﹣ax﹣b＝（1﹣a）x﹣b最多有一个零点；当x≥0时，y＝f（x）﹣ax﹣b=13x3-12（a+1）x2﹣b，利用导数研究函数的单调性，根据单调性画出函数的草图，从而结合题意可列不等式组求解．
32．【2019年高考江苏】函数的定义域是 ▲ .
【答案】
【解析】由题意得到关于x的不等式，解不等式可得函数的定义域.
由已知得,即，解得，
故函数的定义域为.
【名师点睛】求函数的定义域，其实质就是以函数解析式有意义为准则，列出不等式或不等式组，然后求出它们的解集即可．
33．【2018年高考全国Ⅰ卷文数】已知函数，若，则________．
【答案】
【解析】根据题意有，可得，
所以.
故答案是.
【名师点睛】该题考查的是有关已知某个自变量对应函数值的大小，来确定有关参数值的问题，在求解的过程中，需要将自变量代入函数解析式，求解即可得结果，属于基础题目.
34．【2018年高考江苏】函数的定义域为________．
【答案】[2，+∞）
【解析】要使函数有意义，则需，
解得，
即函数的定义域为.
【名师点睛】求给定函数的定义域往往需转化为解不等式（组）的问题.求解本题时，根据偶次根式下被开方数非负列不等式，解对数不等式得函数定义域.
35．【2018年高考全国Ⅲ卷文数】已知函数，，则________．
【答案】
【解析】由题意得，
,
则.
故答案为−2.
【名师点睛】本题主要考查函数的性质，由函数解析式计算发现是关键，属于中档题.
36．【2017年高考江苏】记函数的定义域为．在区间上随机取一个数，则的概率是 ．
【答案】
【解析】由，即，得，
根据几何概型的概率计算公式得的概率是．
【名师点睛】（1）当试验的结果构成的区域为长度、面积或体积等时，应考虑使用几何概型求解．
（2）利用几何概型求概率时，关键是试验的全部结果构成的区域和事件发生的区域的寻找，有时需要设出变量，在坐标系中表示所需要的区域．
（3）几何概型有两个特点：①无限性，②等可能性．基本事件可以抽象为点，尽管这些点是无限的，但它们所占据的区域都是有限的，因此可用“比例解法”求解几何概型的概率．
37．【2017年高考全国Ⅱ卷文数】已知函数是定义在上的奇函数，当时，,则 .
【答案】12
【解析】.
【名师点睛】(1)已知函数的奇偶性求函数值或解析式，首先抓住奇偶性讨论函数在各个区间上的解析式，或充分利用奇偶性得出关于的方程，从而可得的值或解析式.
(2)已知函数的奇偶性求参数，一般采用待定系数法求解，根据得到关于待求参数的恒等式，由系数的对等性得参数的值或方程(组)，进而得出参数的值.
38．【2017年高考山东文数】已知f(x)是定义在R上的偶函数,且f(x+4)=f(x-2).若当时,,则f(919)= ______ .
【答案】
【解析】由f(x+4)=f(x-2)可知,是周期函数,且,
所以.
【名师点睛】与函数奇偶性有关问题的解决方法：
①已知函数的奇偶性,求函数值：将待求值利用奇偶性转化为已知区间上的函数值求解．
②已知函数的奇偶性求解析式：将待求区间上的自变量,转化到已知区间上,再利用奇偶性求出,或充分利用奇偶性构造关于f(x)的方程(组),从而得到f(x)的解析式．
39．【2019年高考浙江】已知，函数，若存在，使得，则实数的最大值是___________.
【答案】
【解析】存在，使得，
即有，
化为，
可得，
即，
由，可得.
则实数的最大值是.
【名师点睛】本题考查函数的解析式及二次函数，结合函数的解析式可得，去绝对值化简，结合二次函数的最值及不等式的性质可求解.
40．【2019年高考北京文数】李明自主创业，在网上经营一家水果店，销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃，价格依次为60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒．为增加销量，李明对这四种水果进行促销：一次购买水果的总价达到120元，顾客就少付x元．每笔订单顾客网上支付成功后，李明会得到支付款的80%．
①当x=10时，顾客一次购买草莓和西瓜各1盒，需要支付__________元；
②在促销活动中，为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则x的最大值为__________．
【答案】①130；②15
【解析】①时，顾客一次购买草莓和西瓜各一盒，需要支付元.
②设顾客一次购买水果的促销前总价为元，
当元时，李明得到的金额为，符合要求；
当元时，有恒成立，
即，
因为，所以的最大值为.
综上，①130；②15.
【名师点睛】本题主要考查函数的最值，不等式的性质及恒成立，数学的应用意识，数学式子变形与运算求解能力.以实际生活为背景，创设问题情境，考查学生身边的数学，考查学生的数学建模素养.
41．【2018年高考浙江】我国古代数学著作《张邱建算经》中记载百鸡问题：“今有鸡翁一，值钱五；鸡母一，值钱三；鸡雏三，值钱一。凡百钱，买鸡百只，问鸡翁、母、雏各几何？”设鸡翁，鸡母，鸡雏个数分别为，，，则当时，___________，___________．
【答案】8；11
【解析】∵z=81,∴x+y=195x+3y=73,∴x=8y=11.
故答案为8；11.
【名师点睛】本题主要考查考生的运算求解能力，考查的数学核心素养是数学运算.
42．【2018年高考江苏】函数满足，且在区间上， 则的值为________．
【答案】
【解析】由得函数的周期为4，
所以
因此
【名师点睛】(1)求分段函数的函数值，要先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，当出现的形式时，应从内到外依次求值.
(2)求某条件下自变量的值，先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记代入检验，看所求的自变量的值是否满足相应段自变量的取值范围.
43．【2017年高考江苏】某公司一年购买某种货物600吨，每次购买吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则的值是 ▲ ．
【答案】30
【解析】总费用为，
当且仅当，即时等号成立．
【名师点睛】在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误．
44．【2017年高考北京文数】已知，，且x+y=1，则的取值范围是_________．
【答案】
【解析】，
所以当时，取最大值1；
当时，取最小值.
因此的取值范围为.
【名师点睛】本题考查了转化与化归的能力，除了像本题的方法，即转化为二次函数求取值范围，也可以转化为几何关系求取值范围，即，表示线段，那么的几何意义就是线段上的点到原点距离的平方，这样会更加简单.
45．【2018年高考江苏】若函数f(x)=2x3-ax2+1(a∈R)在(0,+∞)内有且只有一个零点，则f(x)在[-1,1]上的最大值与最小值的和为________．
【答案】–3
【解析】由得或，
因为函数在上有且仅有一个零点且，所以，
因此解得.
从而函数在上单调递增，在上单调递减，所以 ，
则
故答案为.
【名师点睛】对于函数零点的个数问题，可利用函数的单调性、草图确定其中参数的取值条件．从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；从图象的对称性，分析函数的奇偶性；从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等．
46．【2018年高考浙江】已知λ∈R，函数f(x)=，当λ=2时，不等式f(x)<0的解集是___________．若函数f(x)恰有2个零点，则λ的取值范围是___________．
【答案】(1,4)；
【解析】由题意得或，所以或，即，故不等式f(x)<0的解集是
当时，，此时，即在上有两个零点；当时，，由在上只能有一个零点得.综上，的取值范围为.
【名师点睛】根据分段函数，转化为两个不等式组，分别求解，最后求并集.先讨论一次函数零点的取法，再对应确定二次函数零点的取法，即得参数的取值范围.已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路：
(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；
(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；
(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．
47．【2018年高考天津文数】已知a∈R，函数若对任意x∈［–3，+），f(x)≤恒成立，则a的取值范围是__________．
【答案】［，2］
【解析】分类讨论：
①当时，即：，整理可得：，
由恒成立的条件可知：，其中，
结合二次函数的性质可知：当时，，则；
②当时，即：，整理可得：，
由恒成立的条件可知：，其中，
结合二次函数的性质可知：当或时，，则.
综合①②可得的取值范围是.
【名师点睛】由题意分类讨论和两种情况，结合恒成立的条件整理计算即可求得最终结果.对于恒成立问题，常用到以下两个结论：
(1)a≥f(x)恒成立⇔a≥f(x)max；
(2)a≤f(x)恒成立⇔a≤f(x)min.
有关二次函数的问题，数形结合，密切联系图象是探求解题思路的有效方法．一般从：①开口方向；②对称轴位置；③判别式；④端点函数值符号四个方面进行分析．
48．【2017年高考浙江】已知aR，函数在区间[1，4]上的最大值是5，则的取值范围是___________．
【答案】
【解析】，分类讨论：
①当时，，
函数的最大值为，舍去；
②当时，，此时命题成立；
③当时，，则：
或，
解得或．
综上可得，实数的取值范围是．
【名师点睛】本题利用基本不等式，由，得，通过对解析式中绝对值符号的处理，进行有效的分类讨论：①；②；③，问题的难点在于对分界点的确认及讨论上，属于难题．解题时，应仔细对各种情况逐一进行讨论．
49．【2017年高考江苏】已知函数，其中e是自然对数的底数．若，则实数的取值范围是 ▲ ．
【答案】
【解析】因为，所以函数是奇函数，
因为，
所以函数在上单调递增，
又，即，
所以，即，
解得，
故实数的取值范围为．
【名师点睛】解函数不等式时，首先根据函数的性质把不等式转化为的形式，然后根据函数的单调性去掉“”，转化为具体的不等式(组)，此时要注意与的取值应在函数的定义域内．
50．【2017年高考全国Ⅲ卷文数】设函数，则满足的x的取值范围是_________.
【答案】
【解析】令，
当时，；
当时，；
当时，，
写成分段函数的形式：，
函数在区间三段区间内均单调递增，
且，
可知x的取值范围是.
【名师点睛】（1）求分段函数的函数值，要先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，当出现f(f(a))的形式时，应从内到外依次求值.
（2）当给出函数值求自变量的值时，先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记要代入检验，看所求的自变量的值是否满足相应段自变量的取值范围.
51．【2019年高考江苏】设是定义在R上的两个周期函数，的周期为4，的周期为2，且是奇函数.当时，，，其中k>0.若在区间(0，9]上，关于x的方程有8个不同的实数根，则k的取值范围是 ▲ .
【答案】
【解析】作出函数，的图象，如图：

由图可知，函数的图象与的图象仅有2个交点，即在区间(0，9]上，关于x的方程有2个不同的实数根，
要使关于的方程有8个不同的实数根，
则与的图象有2个不同的交点，
由到直线的距离为1，可得，
解得，
∵两点连线的斜率，
∴，
综上可知，满足在(0,9]上有8个不同的实数根的k的取值范围为.
【名师点睛】本题考查分段函数，函数的图象，函数的性质，函数与方程，点到直线的距离，直线的斜率等，考查知识点较多，难度较大.正确作出函数，的图象，数形结合求解是解题的关键因素.
52．【2017年高考江苏】设是定义在上且周期为1的函数，在区间上，其中集合，，则方程的解的个数是_________．
【答案】8
【解析】由于，则需考虑的情况，
在此范围内，且时，设，且互质，
若，则由，可设，且互质，
因此，则，
此时左边为整数，右边为非整数，矛盾，因此，
因此不可能与每个周期内对应的部分相等，
只需考虑与每个周期的部分的交点，
画出函数图象，图中交点除外其他交点横坐标均为无理数，属于每个周期的部分，
且处，则在附近仅有一个交点，
因此方程的解的个数为8．

【名师点睛】对于方程解的个数(或函数零点个数)问题，可利用函数的值域或最值，结合函数的单调性、草图确定其中参数范围．从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；从图象的对称性，分析函数的奇偶性；从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等．