02函数的概念与基本初等函数I-三年（2020-2022）高考数学真题分项汇编（全国通用）

三年专题02 函数的概念与基本初等函数Ⅰ

1．【2022年全国甲卷】函数在区间的图象大致为（       ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【解析】

【分析】

由函数的奇偶性结合指数函数、三角函数的性质逐项排除即可得解.

【详解】

令，

则，

所以为奇函数，排除BD；

又当时，，所以，排除C.

故选：A.

2．【2022年全国甲卷】已知，则（       ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】

【分析】

根据指对互化以及对数函数的单调性即可知，再利用基本不等式，换底公式可得，，然后由指数函数的单调性即可解出．

【详解】

由可得，而，所以，即，所以．

又，所以，即，

所以．综上，．

故选：A.

3．【2022年全国乙卷】如图是下列四个函数中的某个函数在区间的大致图像，则该函数是（       ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】

【分析】

由函数图像的特征结合函数的性质逐项排除即可得解.

【详解】

设，则，故排除B;

设，当时，，

所以，故排除C;

设，则，故排除D.

故选：A.

4．【2022年全国乙卷】已知函数的定义域均为R，且．若的图像关于直线对称，，则（       ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】

【分析】

根据对称性和已知条件得到，从而得到，，然后根据条件得到的值，再由题意得到从而得到的值即可求解.

【详解】

因为的图像关于直线对称，

所以，

因为，所以，即，

因为，所以，

代入得，即，

所以，

.

因为，所以，即，所以.

因为，所以，又因为，

联立得，，

所以的图像关于点中心对称，因为函数的定义域为R，

所以

因为，所以.

所以.

故选：D

【点睛】

含有对称轴或对称中心的问题往往条件比较隐蔽，考生需要根据已知条件进行恰当的转化，然后得到所需的一些数值或关系式从而解题.

5．【2022年新高考2卷】已知函数的定义域为R，且，则（       ）

A． B． C．0 D．1

【答案】A

【解析】

【分析】

根据题意赋值即可知函数的一个周期为，求出函数一个周期中的的值，即可解出．

【详解】

因为，令可得，，所以，令可得，，即，所以函数为偶函数，令得，，即有，从而可知，，故，即，所以函数的一个周期为．

因为，，，，，所以

一个周期内的．由于22除以6余4，

所以．

故选：A．

6．【2021年甲卷文科】下列函数中是增函数的为（       ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】

【分析】

根据基本初等函数的性质逐项判断后可得正确的选项.

【详解】

对于A，为上的减函数，不合题意，舍.

对于B，为上的减函数，不合题意，舍.

对于C，在为减函数，不合题意，舍.

对于D，为上的增函数，符合题意，

故选：D.

7．【2021年甲卷文科】青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量．通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据L和小数记录表的数据V的满足．已知某同学视力的五分记录法的数据为4.9，则其视力的小数记录法的数据为（       ）（）

A．1.5 B．1.2 C．0.8 D．0.6

【答案】C

【解析】

【分析】

根据关系，当时，求出，再用指数表示，即可求解.

【详解】

由，当时，，

则.

故选：C.

8．【2021年甲卷文科】设是定义域为R的奇函数，且.若，则（       ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】

【分析】

由题意利用函数的奇偶性和函数的递推关系即可求得的值.

【详解】

由题意可得：，

而，

故.

故选：C.

【点睛】

关键点点睛：本题主要考查了函数的奇偶性和函数的递推关系式，灵活利用所给的条件进行转化是解决本题的关键.

9．【2021年甲卷理科】设函数的定义域为R，为奇函数，为偶函数，当时，．若，则（       ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】

【分析】

通过是奇函数和是偶函数条件，可以确定出函数解析式，进而利用定义或周期性结论，即可得到答案．

【详解】

因为是奇函数，所以①；

因为是偶函数，所以②．

令，由①得：，由②得：，

因为，所以，

令，由①得：，所以．

思路一：从定义入手．

所以．

思路二：从周期性入手

由两个对称性可知，函数的周期．

所以．

故选：D．

【点睛】

在解决函数性质类问题的时候，我们通常可以借助一些二级结论，求出其周期性进而达到简便计算的效果．

10．【2021年乙卷文科】设函数，则下列函数中为奇函数的是（       ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】

【分析】

分别求出选项的函数解析式，再利用奇函数的定义即可.

【详解】

由题意可得，

对于A，不是奇函数；

对于B，是奇函数；

对于C，，定义域不关于原点对称，不是奇函数；

对于D，，定义域不关于原点对称，不是奇函数.

故选：B

【点睛】

本题主要考查奇函数定义，考查学生对概念的理解，是一道容易题.

11．【2021年乙卷理科】设，，．则（       ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】

【分析】

利用对数的运算和对数函数的单调性不难对a,b的大小作出判定，对于a与c，b与c的大小关系，将0.01换成x,分别构造函数,，利用导数分析其在0的右侧包括0.01的较小范围内的单调性，结合f(0)=0,g(0)=0即可得出a与c，b与c的大小关系.

【详解】

,

所以;

下面比较与的大小关系.

记,则,，

由于

所以当0<x<2时，,即,,

所以在上单调递增，

所以,即,即;

令,则,,

由于，在x>0时,,

所以,即函数在[0,+∞)上单调递减，所以,即,即b<c;

综上，,

故选：B.

【点睛】

本题考查比较大小问题，难度较大，关键难点是将各个值中的共同的量用变量替换，构造函数，利用导数研究相应函数的单调性，进而比较大小，这样的问题，凭借近似估计计算往往是无法解决的.

12．【2021年新高考2卷】已知，，，则下列判断正确的是（       ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】

【分析】

对数函数的单调性可比较、与的大小关系，由此可得出结论.

【详解】

，即.

故选：C.

13．【2021年新高考2卷】已知函数的定义域为，为偶函数，为奇函数，则（       ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】

【分析】

推导出函数是以为周期的周期函数，由已知条件得出，结合已知条件可得出结论.

【详解】

因为函数为偶函数，则，可得，

因为函数为奇函数，则，所以，，

所以，，即，

故函数是以为周期的周期函数，

因为函数为奇函数，则，

故，其它三个选项未知.

故选：B.

14．【2020年新课标1卷理科】若，则（       ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】

【分析】

设，利用作差法结合的单调性即可得到答案.

【详解】

设，则为增函数，因为

所以，

所以，所以.

，

当时，，此时，有

当时，，此时，有，所以C、D错误.

故选：B.

【点晴】

本题主要考查函数与方程的综合应用，涉及到构造函数，利用函数的单调性比较大小，是一道中档题.

15．【2020年新课标1卷文科】设，则（       ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】

【分析】

根据已知等式，利用指数对数运算性质即可得解

【详解】

由可得，所以，

所以有，

故选：B.

【点睛】

本题考查的是有关指对式的运算的问题，涉及到的知识点有对数的运算法则，指数的运算法则，属于基础题目.

16．【2020年新课标2卷理科】设函数，则f(x)（       ）

A．是偶函数，且在单调递增 B．是奇函数，且在单调递减

C．是偶函数，且在单调递增 D．是奇函数，且在单调递减

【答案】D

【解析】

【分析】

根据奇偶性的定义可判断出为奇函数，排除AC；当时，利用函数单调性的性质可判断出单调递增，排除B；当时，利用复合函数单调性可判断出单调递减，从而得到结果.

【详解】

由得定义域为，关于坐标原点对称，

又，

为定义域上的奇函数，可排除AC；

当时，，

在上单调递增，在上单调递减，

在上单调递增，排除B；

当时，，

在上单调递减，在定义域内单调递增，

根据复合函数单调性可知：在上单调递减，D正确.

故选：D.

【点睛】

本题考查函数奇偶性和单调性的判断；判断奇偶性的方法是在定义域关于原点对称的前提下，根据与的关系得到结论；判断单调性的关键是能够根据自变量的范围化简函数，根据单调性的性质和复合函数“同增异减”性得到结论.

17．【2020年新课标2卷理科】若，则（       ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】

【分析】

将不等式变为，根据的单调性知，以此去判断各个选项中真数与的大小关系，进而得到结果.

【详解】

由得：，

令，

为上的增函数，为上的减函数，为上的增函数，

，

，，，则A正确，B错误；

与的大小不确定，故CD无法确定.

故选：A.

【点睛】

本题考查对数式的大小的判断问题，解题关键是能够通过构造函数的方式，利用函数的单调性得到的大小关系，考查了转化与化归的数学思想.

18．【2020年新课标2卷文科】设函数,则（       ）

A．是奇函数，且在(0,+∞)单调递增 B．是奇函数，且在(0,+∞)单调递减

C．是偶函数，且在(0,+∞)单调递增 D．是偶函数，且在(0,+∞)单调递减

【答案】A

【解析】

【分析】

根据函数的解析式可知函数的定义域为，利用定义可得出函数为奇函数，

再根据函数的单调性法则，即可解出．

【详解】

因为函数定义域为，其关于原点对称，而，

所以函数为奇函数．

又因为函数在上单调递增，在上单调递增，

而在上单调递减，在上单调递减，

所以函数在上单调递增，在上单调递增．

故选：A．

【点睛】

本题主要考查利用函数的解析式研究函数的性质，属于基础题．

19．【2020年新课标3卷理科】Logistic模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域．有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I(t)(t的单位：天)的Logistic模型：，其中K为最大确诊病例数．当I()=0.95K时，标志着已初步遏制疫情，则约为（       ）（ln19≈3）

A．60 B．63 C．66 D．69

【答案】C

【解析】

【分析】

将代入函数结合求得即可得解.

【详解】

，所以，则，

所以，，解得.

故选：C.

【点睛】

本题考查对数的运算，考查指数与对数的互化，考查计算能力，属于中等题.

20．【2020年新课标3卷理科】已知55<84，134<85．设a=log53，b=log85，c=log138，则（       ）

A．a<b<c B．b<a<c C．b<c<a D．c<a<b

【答案】A

【解析】

【分析】

由题意可得、、，利用作商法以及基本不等式可得出、的大小关系，由，得，结合可得出，由，得，结合，可得出，综合可得出、、的大小关系.

【详解】

由题意可知、、，，；

由，得，由，得，，可得；

由，得，由，得，，可得.

综上所述，.

故选：A.

【点睛】

本题考查对数式的大小比较，涉及基本不等式、对数式与指数式的互化以及指数函数单调性的应用，考查推理能力，属于中等题.

21．【2020年新课标3卷文科】设，，，则（       ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】

【分析】

分别将,改写为，，再利用单调性比较即可.

【详解】

因为，，

所以.

故选：A.

【点晴】

本题考查对数式大小的比较，考查学生转化与化归的思想，是一道中档题.

22．【2020年新高考1卷（山东卷）】基本再生数R0与世代间隔T是新冠肺炎的流行病学基本参数.基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间.在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：描述累计感染病例数I(t)随时间t(单位:天)的变化规律，指数增长率r与R0，T近似满足R0 =1+rT.有学者基于已有数据估计出R0=3.28，T=6.据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间约为(ln2≈0.69) （       ）

A．1.2天 B．1.8天

C．2.5天 D．3.5天

【答案】B

【解析】

【分析】

根据题意可得，设在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间为天，根据，解得即可得结果.

【详解】

因为，，，所以，所以，

设在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间为天，

则，所以，所以，

所以天.

故选：B.

【点睛】

本题考查了指数型函数模型的应用，考查了指数式化对数式，属于基础题.

23．【2020年新高考1卷（山东卷）】若定义在的奇函数f(x)在单调递减，且f(2)=0，则满足的x的取值范围是（       ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【解析】

【分析】

首先根据函数奇偶性与单调性，得到函数在相应区间上的符号，再根据两个数的乘积大于等于零，分类转化为对应自变量不等式，最后求并集得结果.

【详解】

因为定义在上的奇函数在上单调递减，且，

所以在上也是单调递减，且，，

所以当时，，当时，，

所以由可得：

或或

解得或，

所以满足的的取值范围是，

故选：D.

【点睛】

本题考查利用函数奇偶性与单调性解抽象函数不等式，考查分类讨论思想方法，属中档题.

24．【2020年新高考2卷（海南卷）】已知函数在上单调递增，则的取值范围是（       ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】

【分析】

首先求出的定义域，然后求出的单调递增区间即可.

【详解】

由得或

所以的定义域为

因为在上单调递增

所以在上单调递增

所以

故选：D

【点睛】

在求函数的单调区间时一定要先求函数的定义域.

25．【2022年新高考1卷】已知函数及其导函数的定义域均为，记，若，均为偶函数，则（       ）

A． B． C． D．

【答案】BC

【解析】

【分析】

转化题设条件为函数的对称性，结合原函数与导函数图象的关系，根据函数的性质逐项判断即可得解.

【详解】

因为，均为偶函数，

所以即，，

所以，，则，故C正确；

函数，的图象分别关于直线对称，

又，且函数可导，

所以，

所以，所以，

所以，，故B正确，D错误；

若函数满足题设条件，则函数（C为常数）也满足题设条件，所以无法确定的函数值，故A错误.

故选：BC.

【点睛】

关键点点睛：解决本题的关键是转化题干条件为抽象函数的性质，准确把握原函数与导函数图象间的关系，准确把握函数的性质（必要时结合图象）即可得解.

26．【2021年新高考2卷】设正整数，其中，记．则（       ）

A． B．

C． D．

【答案】ACD

【解析】

【分析】

利用的定义可判断ACD选项的正误，利用特殊值法可判断B选项的正误.

【详解】

对于A选项，，，

所以，，A选项正确；

对于B选项，取，，，

而，则，即，B选项错误；

对于C选项，，

所以，，

，

所以，，因此，，C选项正确；

对于D选项，，故，D选项正确.

故选：ACD.

27．【2022年全国乙卷】若是奇函数，则_____，______．

【答案】     ；     ．

【解析】

【分析】

根据奇函数的定义即可求出．

【详解】

因为函数为奇函数，所以其定义域关于原点对称．

由可得，，所以，解得：，即函数的定义域为，再由可得，．即，在定义域内满足，符合题意．

故答案为：；．

28．【2021年新高考1卷】已知函数是偶函数，则______.

【答案】1

【解析】

【分析】

利用偶函数的定义可求参数的值.

【详解】

因为，故，

因为为偶函数，故，

时，整理得到，

故，

故答案为：1

29．【2021年新高考1卷】函数的最小值为______.

【答案】1

【解析】

【分析】

由解析式知定义域为，讨论、、，并结合导数研究的单调性，即可求最小值.

【详解】

由题设知：定义域为，

∴当时，，此时单调递减；

当时，，有，此时单调递减；

当时，，有，此时单调递增；

又在各分段的界点处连续，

∴综上有：时，单调递减，时，单调递增；

∴

故答案为：1.

30．【2021年新高考2卷】写出一个同时具有下列性质①②③的函数_______．

①；②当时，；③是奇函数．

【答案】（答案不唯一，均满足）

【解析】

【分析】

根据幂函数的性质可得所求的.

【详解】

取，则，满足①，

，时有，满足②，

的定义域为，

又，故是奇函数，满足③.

故答案为：（答案不唯一，均满足）