广东省佛山市三水中学2019-2020学年高一下学期第二次统考数学试题 Word版含解析

www.ks5u.com三水中学高一级2019-2020学年度下学期第二次统考

数学科试题

满分：150分  考试时间：120分钟     命题人：     审题人：

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，1~10题只有一项是符合题意的；11~12题有多项是符合题意的，请把你认为正确的答案填写在答题框内.）

1.不等式的解集为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】

直接利用因式分解法解不等式得解.

【详解】因为，所以或.

所以不等式的解集为.

故选：B

【点睛】本题主要考查一元二次不等式的解法，意在考查学生对该知识的理解掌握水平，属于基础题.

2.已知数列……那么是这个数列的第（    ）项.

A. 23 B. 24 C. 19 D. 25

【答案】D

【解析】

【分析】

设题中的数列为为，则数列构成以2为首项，以4为公差的等差数列，求得 的通项公式，可得．令，求得的值，可得结论．

【详解】解：由题意可得，设数列、、、、的通项为，

则数列构成以2为首项，以4为公差的等差数列，

，

．

令，求得，故是这个数列的第25项，

故选：．

【点睛】本题主要考查数列的表示方法，等差数列的定义、通项公式，属于基础题．

3.满足的的个数是（    ）

A. 0 B. 1 C. 2 D. 3

【答案】B

【解析】

【分析】

根据正弦定理，求出，进而求出角，即可判断其解的个数.

【详解】由正弦定理得

，

，

所以的个数是1个.

故选:B.

点睛】本题考查正弦定理解三角形，属于基础题.

4.在某学校组织的校园十佳歌手评选活动中，八位评委为某学生的演出打出的分数的茎叶统计图如图所示.去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数与方差分别为（    ）

A. 85， B. 86， C. 85，3 D. 86，3

【答案】D

【解析】

【分析】

由茎叶图写出8个数据，去掉79和92，然后利用平均数和方差公式计算即可.

【详解】解：由茎叶图可知，8个数据中最大值为92，最小值为79，去掉后还剩下的数据为：84，84，85，87，88，88，

所以平均数为，

方差为

故选：D

【点睛】此题考查了茎叶图，平均数，方差，属于基础题.

5.设为等差数列的前n项和，，则的值为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】

设的公差为，根据求出和的关系，代入计算即可.

【详解】设的公差为，

则，

得，

所以，

故选：A.

【点睛】本题考查等差数列的通项公式及求和公式，是基础题.

6.在中，内角的对边是，若，，则等于（）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

由，得，又，所以，则；故选C.

7.设中，三个角对应的三边分别是，且成等比数列，则角的取值范围是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】

由已知条件结合等比数列知识，代入余弦定理进行化简，求出范围

【详解】∵a，b，c成等比数列，∴b2=ac，由余弦定理，得cosB=又B∈（0，π），∴B∈（0，.

故选C.

【点睛】本题利用等比数列，余弦定理表示cosB，结合不等式得出cosB的范围即可得出角B的范围.

8.在中，角的对边分别为，向量，，若，则一定是（    ）

A. 锐角三角形 B. 等腰三角形

C. 直角三角形 D. 等腰三角形或直角三角形

【答案】D

【解析】

【分析】

根据向量垂直的坐标表示得，再根据正弦定理边化角以及二倍角的正弦公式可得，根据为三角形的内角可得，或，进一步可得答案.

【详解】因，所以，

所以，由正弦定理可知，所以．

又，且，所以，或，

所以，或．

则是等腰三角形或直角三角形．

故选：D．

【点睛】本题考查了平面向量垂直的坐标表示，考查了正弦定理，二倍角的正弦公式，属于基础题.

9.已知数列为等差数列，首项，若，则使得的的最大值为（    ）

A. 2007 B. 2008 C. 2009 D. 2010

【答案】B

【解析】

【分析】

根据等差数列的首项和性质,结合可判断出,.结合等差数列的前n项和公式,即可判断的最大项.

【详解】数列为等差数列,若

所以与异号

首项,则公差

所以

则,所以

由等差数列前n项和公式及等差数列性质可得

所以的最大值为,即

故选:B

【点睛】本题考查了等差数列的性质应用,等差数列前n项和公式的应用,不等式性质的应用,属于中档题.

10.已知是边长为1的等边三角形，若对任意实数，不等式恒成立，则实数的取值范围是（    ）.

A.  B.

C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】

根据向量的数量积运算，将目标式转化为关于的二次不等式恒成立的问题，由，即可求得结果.

【详解】因为是边长为1的等边三角形，所以，

由两边平方得，

即，构造函数，

由题意，，

解得或.

故选：B.

【点睛】本题考查向量数量积的运算，以及二次不等式恒成立问题求参数范围的问题，属综合中档题.

11.已知是边长为2的等边三角形，，分别是、上的两点，且，，与交于点，则下列说法正确的是（    ）

A.  B.

C.  D. 在方向上的投影为

【答案】BCD

【解析】

分析】

以E为原点建立平面直角坐标系，写出所有点坐标求解即可.

【详解】由题E为AB中点，则，

以E为原点，EA，EC分别为x轴，y轴正方向建立平面直角坐标系，如图所示：

所以，，

设，∥，

所以，解得：，

即O是CE中点，，所以选项B正确；

，所以选项C正确；

因为，，所以选项A错误；

，，

在方向上的投影为，所以选项D正确.

故选：BCD

【点睛】此题考查平面向量基本运算，可以选取一组基底表示出所求向量的关系，对于特殊图形可以考虑在适当位置建立直角坐标系，利于计算.

12.意大利数学家列昂纳多·斐波那契是第一个研究了印度和阿拉伯数学理论的欧洲人，斐波那契数列被誉为是最美的数列，斐波那契数列满足：，，.若将数列的每一项按照下图方法放进格子里，每一小格子的边长为1，记前项所占的格子的面积之和为，每段螺旋线与其所在的正方形所围成的扇形面积为，则下列结论正确的是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】ABD

【解析】

分析】

根据题中递推公式，求出，，数列的前项和，数列的奇数项和，与选项对比即可.

【详解】对于A选项，因为斐波那契数列总满足，

所以，

，

，

类似的有，，

累加得，

由题知，

故选项A正确，

对于B选项，因为，，，

类似的有，

累加得，

故选项B正确，

对于C选项，因为，，，

类似的有，

累加得，

故选项C错误，

对于D选项，可知扇形面积，

故，

故选项D正确，

故选：ABD.

【点睛】本题考查了利用数列的递推公式求数列的性质，属于一般题.

二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）

13.某学校高一年级举行选课培训活动，共有1024名学生、家长、老师参加，其中家长256人．学校按学生、家长、老师分层抽样，从中抽取64人，进行某问卷调查，则抽到的家长有___人

【答案】16

【解析】

【分析】

利用分层抽样的性质，直接计算，即可求得，得到答案．

【详解】由题意，可知共有1024名学生、家长、老师参加，其中家长256人，

通过分层抽样从中抽取64人，进行某问卷调查，则抽到的家长人数为人．

故答案为16

【点睛】本题主要考查了分层抽样的应用，其中解答中熟记分层抽样的概念和性质，准确计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．

14.已知向量、满足，，且()，则_____．

【答案】

【解析】

【分析】

由条件得到，然后结合可算出答案.

【详解】因为，，所以，显然，所以

因为，所以，解得

故答案为：

【点睛】本题考查的是向量在坐标形式下的运算，较简单.

15.数列中，，其前项和为，且对任意正整数都有，则_______．

【答案】

【解析】

【分析】

直接利用数列的前项和与通项的关系式整理出数列是以为首项，为公差的等差数列，即可求出.

【详解】解：数列，，为数列的前项的和，且对任意，都有，则，

整理得（常数），故：数列是以为首项，为公差的等差数列．

则，故．

故答案为：

【点睛】本题考查的知识要点：数列的前项和与通项关系式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力，属于基础题型．

16.已知、，且，则的取值范围是___.

【答案】

【解析】

【分析】

由题意可得，将题中等式变形为，在等式两边同时乘以，利用基本不等式可得出关于的二次不等式，解此二次不等式可得出的取值范围.

【详解】、，，，，

，

所以，即，

，解得.

当且仅当时，；当且仅当时，.

因此，的取值范围是.

故答案：.

【点睛】本题考查利用基本不等式求代数式的取值范围，利用基本不等式构造二次不等式是解题的关键，考查计算能力，属于中等题.

三、解答题（本大题共6小题，第17、18题满分10分，第22题满分14分，其余小题满分12分，共70.0分）

17.已知.

（1）求与的夹角θ；

（2）若＝，＝，求△ABC的面积．

【答案】(1) (2) 3

【解析】

【分析】

（1）根据，结合，利用平面向量的数量积运算求得，然后再利用向量的夹角公式求解.

（2）根据与的夹角θ＝，得到∠ABC＝π－＝，再结合 ＝，＝，代入三角形面积公式求解.

【详解】（1）因为，

所以

又，

所以，

所以，

所以

又0≤θ≤π，

所以θ＝.

 （2）因为与的夹角θ＝，

所以∠ABC＝π－＝.

又＝，＝，

所以.

【点睛】本题主要考查平面向量的数量积运算以及向量夹角的求法和三角形面积问题，还考查了运算求解的能力，属于中档题.

18.已知在等比数列中，，且是和的等差中项.

（1）求数列的通项公式；

（2）若数列满足，求的前项和.

【答案】（1）；（2）.

【解析】

【分析】

（1）设等比数列的公比为，根据已知条件得出关于的方程，求出的值，然后利用等比数列的通项公式可求出数列的通项公式；

（2）求出数列的通项公式，然后利用分组求和法结合等差和等比数列的求和公式可计算出.

【详解】（1）设等比数列的公比为，则，则，，

由于是和的等差中项，即，即，解得.

因此，数列的通项公式为；

（2），

.

【点睛】本题考查等比数列通项公式的计算，同时也考查了分组求和法，考查计算能力，属于基础题.

19.随着移动互联网的发展，与餐饮美食相关的手机软件层出不穷，现从某市使用和两款订餐软件的商家中分别随机抽取100个商家，对它们的“平均送达时间”进行统计，得到频率分布直方图如下：

（1）使用订餐软件的商家中“平均送达时间”不超过30分钟的商家有多少个？

（2）试估计该市使用款订餐软件的商家的“平均送达时间”的众数及中位数；

（3）如果以“平均送达时间”的平均数作为决策依据，从和两款订餐软件中选择一款订餐，你会选择哪款？

【答案】（1）40个（2）55；（3）款

【解析】

【分析】

（1）根据频率分布直方图计算出概率即可求出频数．

（2）利用频率分布直方图能求出使用款订餐软件的商家中“平均送达时间”的众数，中位数．

（3）使用款订餐软件的商家中“平均送达时间”的平均数为35，小于款订餐软件的商家中“平均送达时间”的平均数40，以“平均送达时间”的平均数作为决策依据，从和两款订餐软件中选择款订餐．

【详解】解:（1）使用款订餐软件的商家中“平均送达时间”不超过30分钟的商家共有个.

（2）依题意可得，使用款订餐软件的商家中“平均送达时间”的众数为55，

由频率分布直方图可判断中位数位于

设中位数为，则，解得.

（3）使用款订餐软件的商家中“平均送达时间”的平均数为

使用款订餐软件的商家中“平均送达时间”的平均数为

 所以选款订餐软件.

【点睛】本题考查频率分布直方图的应用，考查概率的求法，众数、中位数、平均数的求法，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是基础题

20.在中，已知，其中角所对的边分别为．求

（1）求角的大小；

（2）若， 的面积为，求的值．

【答案】（1）；（2）1.

【解析】

试题分析：

(1)利用正弦定理角化边，结合三角函数的性质可得；

(2)由△ABC的面积可得，由余弦定理可得，结合正弦定理可得：的值是1.

试题解析：

（1） 由正弦定理，得，

∵， ∴. 即，而 

    ∴，  则

（2）由，得，

由及余弦定理得，

即，所以．

21.如图，某自行车手从O点出发，沿折线O﹣A﹣B﹣O匀速骑行，其中点A位于点O南偏东45°且与点O相距20 千米．该车手于上午8点整到达点A，8点20分骑至点C，其中点C位于点O南偏东（45°﹣α）（其中sinα= ，0°＜α＜90°）且与点O相距5 千米（假设所有路面及观测点都在同一水平面上）． 

（1）求该自行车手的骑行速度；   

（2）若点O正西方向27.5千米处有个气象观测站E，假定以点E为中心的3.5千米范围内有长时间的持续强降雨．试问：该自行车手会不会进入降雨区，并说明理由．   

【答案】（1）（2）会进入

【解析】

【分析】

（1）根据余弦定理可求出AC的长，从而可求出自行车的速度；

（2）先根据余弦定理求出cos∠OAC，再根据正弦定理可得OM，再在Rt△EHM中，求出EM的大小，比较后即可得到结论．

【详解】（1）由题意知：OA=2，OC， ∠AOC=α，sinα=．

由于0°＜α＜90°，

所以．

在△AOC中，由余弦定理得

，

所以，

所以该自行车手的行驶速度为（千米/小时）．

（2）如图，

设直线OE与AB相交于点M．

在△AOC中，由余弦定理得

cos∠OAC

从而 sin∠OAC．      

在△AOM中，由正弦定理得，

所以，

由于OE=27.5＞40=OM，

所以点M位于点O和点E之间，且ME=OE﹣OM=7.5．

过点E作EH AB于点H，

则EH为点E到直线AB的距离．

在Rt△EHM中，EH=EM•sin∠EMH=EM•sin（45°﹣∠OAC）．

所以该自行车手会进入降雨区．

【点睛】（1）解三角形应用题的一般步骤

①阅读理解题意，弄清问题的实际背景，明确已知与未知，理清量与量之间的关系．

②根据题意画出示意图，将实际问题抽象成解三角形问题的模型．

③根据题意选择正弦定理或余弦定理求解．

④将三角形问题还原为实际问题，注意实际问题中的有关单位问题、近似计算的要求等．

（2）解题中要合理应用仰角、俯角、方位角、方向角等概念建立三角函数模型．

22.已知数列的前项和，函数对任意的都有，数列满足.

（1）求数列，的通项公式；

（2）若数列满足，是数列的前项和，是否存在正实数，使不等式对于一切的恒成立？若存在请求出的取值范围；若不存在请说明理由．

【答案】(1)，;(2).

【解析】

分析：（1）利用的关系，求解；倒序相加求．

（2）先用错位相减求，分离参数，使得对于一切的恒成立，转化为求的最值．

详解：（1）                

时满足上式，故      

∵=1∴            

∵     　　　 ①

∴   　　　②

∴①+②，得.        

（2）∵，∴            

∴       　　　  ①

，       ②

①－②得               

即                               

要使得不等式恒成立，

恒成立对于一切的恒成立，

即 ，令，则

当且仅当时等号成立，故  所以为所求.

点睛：1、，一定要注意，当时要验证是否满足数列．

2、等比乘等差结构的数列用错位相减．

3、数列中的恒成立问题与函数中的恒成立问题解法一致．